精品解析：河北省沧州市沧县中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期11月高三期中考试 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可. 【详解】函数的定义域应满足： ,解得且， 所以函数的定义域为. 故选:D. 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的结论求参数的值. 【详解】因为，由， 所以. 故选：D 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以 所以， 故选：A 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化弦为切，代入求值. 【详解】，故. 故选：D 5. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ②函数为偶函数 ③ ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象可得，易知取得最大值，可得①正确；代入解析式可得为偶函数，即②正确；求出函数关于成中心对称可知③正确，利用整体代换可知在上不单调，即④错误. 【详解】根据图象可知，解得； 且，解得； 又，结合可得； 所以； 易知，取得最大值，所以，即①正确； 又为偶函数，即②正确； 令，解得， 显然关于成中心对称，所以满足，即③正确； 当时，，显然函数在上不单调， 因此在上单调递增错误，即④错误. 故选：B 6. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，由在上有变号零点求解得答案. 【详解】函数，求导得， 依题意，在上有变号零点，由，得， 函数在上单调递减，；在上单调递增，， 所以实数的取值范围是. 故选：A 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】写出的解析式，根据正弦函数的性质确定的表达式，然后求得最小值正数即可． 【详解】由题意，它是奇函数， 则，，， ，则其最小值是， 故选：C． 8. 在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围. 【详解】由和，可得， 由正弦定理，，即， 因，故得， 因是锐角三角形，故，则有，从而，. 又由正弦定理，， 即得 于是 ， 由可得， 则，故， 故的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题. 解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角函数的周期公式结合加绝对值后的图象变化，即可得到结果. 【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确； 函数的最小正周期为，经过上下翻折后周期没有发生变化， 所以函数的最小正周期为，故B正确； 函数的最小正周期为，经过上下翻折后周期减半，变为， 所以函数的最小正周期为，故C错误； 函数的最小正周期为，经过上下翻折后周期没有发生变化， 所以函数的最小正周期为，故D正确. 故答案为：ABD. 10. 在中，，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为9 【答案】AD 【解析】 【分析】根据点在线段上，且，可得的关系，再结合基本不等式可求的最小值与的最大值. 【详解】由题意：，且三点共线，所以.故A正确，B错误； 又，所以（当且仅当即时取“”），故C错误； 由（当且仅当即时取“”），故D正确. 故选：AD 11. 过点可以作两条直线与曲线相切，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出切点的坐标，利用导数研究切点和斜率，根据切线有条，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围 【详解】设切点坐标为，，， 故斜率为，切线方程为，代入点（2，）， 得， 即， 构造函数，则， 当时，， 当或时，， 在单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 如图所示 ∴或， ，， 即或 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数（为虚数单位），若是纯虚数，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的乘法运算求解出，然后根据纯虚数的概念求解出的值. 【详解】因为为纯虚数， 所以，所以， 故答案为：. 13. 已知平面向量，，则在上的投影向量为________（结果用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】在上的投影向量为，根据平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为，， 所以，, 所以在上的投影向量为. 故答案为:. 14. 在等边三角形的三边上各取一点，满足，，，则三角形的面积的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】中，由余弦定理得，从而得， ，设，用正弦定理表示出，求出的最大值后可计算出三角形面积的最大值． 【详解】中，由余弦定理得， 所以，所以，从而 设，则，，， 在中由正弦定理得，， 中由正弦定理得，， ，其中，，取为锐角， 所以的最大值为，当时取得最大值， 而． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的值． 【答案】（1）. （2）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系，先求出，再根据数量级的定义求向量与夹角的余弦值. （2）根据求向量的模. 【小问1详解】 设与的夹角为，因为， 所以， 又，所以，所以 所以向量与夹角的余弦值为. 【小问2详解】 由， 所以． 16. （1）已知都是锐角，若，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用结合两角和与差的三角函数公式求值. （2）根据题意，确定的取值范围，进一步求出和的值，再用两角和与差的三角函数公式求值. 【详解】（1）∵已知、都是锐角，且， ∴． ∵，∴， ∴． （2）因为， 所以，即，所以， 又，所以，故，故， 故，所以 ，所以， ， 故 17. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求的最小值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析导函数的符号，得到函数的单调区间. （2）首先有两个极值点转化成导函数在上有两个不同的解，并根据韦达定理得到的关系，再把写出关于的函数，求函数的最小值就可以了. 【小问1详解】 ，则定义域为（0，） ， 当时，， 令，解得或，令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 ∵定义域为， 由（1）可知当时有两个极值点等价于在上有两个不等实根， ∴，∴ ∴ 设， 则， ∴在上单调递减，∴， 即， ∴的最小值为. 18. △的内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若是△边上的中线，且，求△面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，再由二倍角正弦公式化简即可得解； （2）根据中线的向量表示，两边平方后利用基本不等式求最值，再由三角形面积公式得解. 【小问1详解】 在△中，由， 根据正弦定理可得， 因为为△的内角可知，，且， 所以，即， 因为为△的内角，，故， 所以，即. 【小问2详解】 由题知是边的中线，所以． 两边平方得：，即， 又，故，当且仅当时等号成立． 所以， 所以△面积的最大值为. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可； （2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解； （3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解. 【小问1详解】 根据题意知，向量的相伴函数为， 当时，， 又，则，所以，故. 【小问2详解】 因为， 整理得到，故函数的相伴特征向量， 则与同向的单位向量为. 【小问3详解】 由题意得，， 在中，，，因此， 设外接圆半径为，根据正弦定理，，故， 所以 ， ， ， 代入可得， 所以当时，取得最大值． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期11月高三期中考试 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，且，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ②函数为偶函数 ③ ④在上单调递增 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③④ 6. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且函数是奇函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 8. 在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为9 11. 过点可以作两条直线与曲线相切，则实数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数（为虚数单位），若是纯虚数，则实数________． 13. 已知平面向量，，则在上的投影向量为________（结果用坐标表示） 14. 在等边三角形的三边上各取一点，满足，，，则三角形的面积的最大值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）求的值． 16. （1）已知都是锐角，若，求的值； （2）已知，求的值． 17. 设函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点，且，求的最小值． 18. △的内角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若是△边上的中线，且，求△面积的最大值． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量； （3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $