精品解析：江西省南昌市第三中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

南昌三中教育集团2024-2025学年度上学期初二数学期中测试 一．选择题（共6小题每小题3分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 5，5，10 C. 3，4，6 D. 4，5，11 2. 下列各图中，正确画出边上的高的是（ ） A. B. C D. 3. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ） A 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行，内错角相等 4. 如图，在中，平分．则、、的数量关系为（ ） A. B. C. D. 5. 在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB= A′B′，添加下列条件后能用“SAS”判定的是( )． A AC = A′C′ B. BC = B′C′ C. ∠B =∠B′ D. ∠C =∠C′ 6. 如图，等腰△中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，下列结论： ①；②；③△是等腰三角形；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共6小题每小题3分） 7. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是________边形． 8. 如图，求___________． 9. 如图，四边形四边形，若，，，则____． 10. 如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是____________． 11. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为___________ 12. 如图，在直角 中，，，点 为上一动点，连接．若，的面积为，则的最小值为_______． 三．解答题（共5小题每小题6分） 13. 已知的三边长是． （1）若，且三角形周长是小于22的偶数，求的值； （2）化简． 14. 已知点M（2a﹣b，5+a），N（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点M、N关于x轴对称，试求a，b的值； （2）若点M、N关于y轴对称，试求（b+2a）2019． 15. 如图，已知于点，交于点，且有，．求证： （1）； （2）． 16. 如图，在中，，点D，E分别为边，上的点，连接，，，．求证：． 17. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出关于直线对称的图形； （2）如图2，在直线上求作点P，使得． 四．解答题（共3小题每小题8分） 18. 如图，在中，D是上一点，过点C作，连接交于点E，．求证：． 19. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为，求的长． 20. 如图，在中，，点D为中点，连接的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 五．解答题（共2小题，每小题9分） 21. 如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知，在中，，D为边上一点，E为射线上一点，连接、． （1）如图1，若，平分．求证：； （2）若．如图2，求证：． 六．解答题（本大题共1题12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点B，且a，b满足：． （1） ， ． （2）求的度数； （3）点M为的中点，等腰的腰经过点M，，连接． ①如图1，求证：； ②如图2，取的中点N，延长交于点P，若点P的横坐标为t，请用含t的式子表示四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南昌三中教育集团2024-2025学年度上学期初二数学期中测试 一．选择题（共6小题每小题3分） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 5，5，10 C. 3，4，6 D. 4，5，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．根据两条短边之和大于最长的边和两边之差小于第三边逐项进行判断即可． 详解】解：A、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； B、，不能组成三角形，故本选项不符合题意； C、，，能组成三角形，故本选项符合题意； D、，不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列各图中，正确画出边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键．根据“点到直线的距离即为边上的高”，即可求解． 【详解】解：边上的高为点到直线的距离，即， 故选：B． 3. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ） A 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性． 故选：C． 4. 如图，在中，平分．则、、的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平分，则，再根据三角形的外角和，即可． 【详解】∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线，三角形的外角和，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和． 5. 在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB= A′B′，添加下列条件后能用“SAS”判定的是( )． A. AC = A′C′ B. BC = B′C′ C. ∠B =∠B′ D. ∠C =∠C′ 【答案】A 【解析】 【分析】本题要判定△ABC≌△A'B'C'，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，故添加AC=A′C′才能根据SAS判定两三角形全等． 【详解】添加选项A后可根据SAS判定两三角形全等，符合题意； 添加选项B后不能根据SSA判定两三角形全等，不符合题意； 添加选项C后可根据ASA判定两三角形全等，不符合题意； 添加选项D后可根据AAS判定两三角形全等，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 6. 如图，等腰△中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，下列结论： ①；②；③△是等腰三角形；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判断①；证△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判断②；根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判断③；过点N作NG⊥AC于点G，连接EN，证明∴△ABM≌△NBM得AB=NB，AM=NM，证明△ABE≌△NBE得AE=NE，再由角平分线的性质得NG=ND，设NG=x，用x表示AE，AC，AD，最后由三角形的面积计算便可判断④的正误． 【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D， ∴AB=AC，∠BCA=∠ABC=45°=∠DAC=∠DAB，AD=BD=CD， ∵BE是平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE=22.5°， ∵AB⊥AC，AD⊥BC， ∴∠BAC=90°，∠ADB=90°， ∴∠AEB=90°-∠ABE=67.5°，∠AFD=90°-∠CBE=67.5°=∠AFE， ∴∠AFE=∠AEB， ∴AF=AE， ∵M是EF的中点，AE=AF， ∴AM⊥BE，∠DAM=∠CAM=90°-∠AFE=22.5°， ∴∠DAN=∠CBE=22.5°，且∠ADB=∠ADN，AD=BD， ∴△ADN≌△BDF（ASA）， ∴DF=DN， 故①正确； ∵AB=AC，∠ACB=∠DAB=45°，∠ABF=∠CAN=22.5°， ∴△ABF≌△ACN（ASA）， ∴AF=CN，且AE=AF， ∴AE=CN， 故②正确； ∵AE=AF，M为EF的中点， ∴AM⊥EF， ∴∠AMF=90°， 同理∠ADB=90°， ∵∠BFD=∠AFE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠MBA=∠MBN， ∵AN⊥BM， ∴∠AMB=∠NMB=90°， ∴∠BNM=∠BAM=180°-∠AMB-∠ABM=180°-90°-22.5°=67.5°， ∴BA=BN， ∴AM=MN， ∵∠ADC=90°， ∴AM=MN=DM， ∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∠DAM=∠ADM， ∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°， ∴∠BMD=45°， ∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°， ∴∠MDN=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DNM， ∴DM=MN， ∴△DMN是等腰三角形，故③正确； 过点N作NG⊥AC于点G，连接EN， ∵∠CAN=∠DAN，CD⊥AD， ∴NG=ND， ∵AM⊥BE， ∴∠AMB=∠NMB=90°， ∵∠ABM=∠NBM， ∴∠BAM=90°-∠ABM=∠BNM=90°-∠NBM， ∵BM=BM， ∴△ABM≌△NBM（SAS）， ∴AB=NB，AM=NM， ∵BE=BE，∠ABE=∠CBE ∴△ABE≌△NBE（SAS）， ∴AE=NE，∠BAE=∠BNE=90°， ∵∠C=45°， ∴∠CEN=45°， ∴NC=EN=AE， ∵NG⊥EC， ∴CG=EG=NG， 设CG=EG=NG=DN=x，则AE=EN=x， ∴AC=2x+x=（2+）x， AD=AC＝×(2+)x＝(+1)x， S△AND＝AD•ND＝x2， S△ACN＝AC•NG＝x2， ∵AM=NM， ∴S△AEM＝S△AEN＝×AE•NG＝x2， ∴S△AND+S△AME=x2+x2＝x2， S△ANC-S△AME=x2−x2＝x2， ∴S△AND+S△AME≠S△ANC-S△AME， 故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键，主要考查学生的推理能力． 二．填空题（共6小题每小题3分） 7. 若一个多边形的内角和是，则这个多边形是________边形． 【答案】6##六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据边形内角和定理，列方程解答即可，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形边数为，由内角和公式可得： ， ， 故答案为：6． 8. 如图，求___________． 【答案】225°##225度 【解析】 【分析】连接AD，BC，根据三角形内角和、四边形内角和求解即可． 【详解】解：连接AD，BC， 四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°， ∵∠DEA＋∠EAD＋∠ADE＝180°，∠DEA＝105°， ∴∠EAD＋∠ADE＝180°−105°＝75°， ∵∠CFB＋∠FCB＋∠FBC＝180°，∠CFB＝120°， ∴∠FCB十∠FBC＝180°−120°＝60°， ∴∠DCF＋∠ABF＋∠EAB＋∠EDC＝360°−（∠EAD＋∠ADE）−（∠FCB＋∠FBC）＝360°−75°−60°＝225°， 故答案为：225°． 【点睛】此题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 9. 如图，四边形四边形，若，，，则____． 【答案】105 【解析】 【分析】本题考查了全等图形的性质和四边形内角和定理．根据全等的性质求出′，，利用四边形的内角和公式求出的度数即可求出度数． 【详解】解：四边形四边形， ′，． ， ， ，， ． 故答案为：105． 10. 如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据镜面对称的特征，可得出镜中数字是1，2，5，8，0时真正的数字是几，进而解决问题． 【详解】解：根据镜面对称的特征可知， 1和1对称，2和5对称，0和0对称，8和8对称， 且“+”和“=”的对称图形仍然是本身． 所以真正的火柴算式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面对称，熟知数字0，1，2，5，8及“+”和“=”的对称图形是解题的关键． 11. 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为___________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据正方形性质得到∠A＝∠B＝90°，根据∠GEF＝90°证明△AGE∽△BEF，根据E为AB的中点，AG＝1，BF＝2，求得AE与BE的长，然后由勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠AGE+∠AEG＝90°， ∵∠GEF＝90°， ∴∠AEG+∠BEF＝90°， ∴∠AGE＝∠BEF， ∴△AGE∽△BEF， ∴， ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE， ∵AG＝1，BF＝2， ∴， 解得：BE＝AE＝， 在Rt△AEG中，GE2＝AG2+AE2＝3， Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝6， ∴在Rt△GEF中，GF＝＝3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．根据题意证明△AGE∽△BEF是解题关键． 12. 如图，在直角 中，，，点 为上一动点，连接．若，的面积为，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形与轴对称的性质的综合应用，能够巧妙的构造辅助线求线段最小值是本题的关键． 先利用轴对称的性质构造三角形，并根据‘垂线段最短’作出最短距离的线段，利用三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接BE． 过点作于点． ，即． 垂直平分． ． ． 在中， ． 的值最小值即为的值最小值． 当、、三点共线时，的值最小值． 故过点作于点， 即为的值最小值． ， 即， 解得：． ，． 是等边三角形． ． ． 故答案为：． 三．解答题（共5小题每小题6分） 13. 已知的三边长是． （1）若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； （2）化简． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【小问1详解】 解：的三边长是，， ，即， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； 【小问2详解】 解：由三角形三边关系得：， ，， ． 14. 已知点M（2a﹣b，5+a），N（2b﹣1，﹣a+b）． （1）若点M、N关于x轴对称，试求a，b的值； （2）若点M、N关于y轴对称，试求（b+2a）2019． 【答案】（1）;（2）1. 【解析】 【分析】（1）关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标互为相反数,据此建立方程即可解题, （2）关于y轴对称的点纵坐标不变,横坐标互为相反数,据此建立方程即可解题. 【详解】解：（1）∵M、N关于x轴对称， ∴, 解得； （2）∵M、N关于y轴对称， ∴， 解得， ∴（b+2a）2019＝1． 【点睛】本题考查了点的对称,属于简单题,熟悉坐标的对称原则是解题关键.. 15. 如图，已知于点，交于点，且有，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质以及直角三角形两锐角互余是解此题的关键． （1）由于点可得，再由“”即可证明； （2）由于点可得，从而得到，由全等三角形的性质可得，即可得出，计算出，即可得证． 【小问1详解】 证明：于点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：于点， ， ， 由（1）可得：， ， ， ， ． 16. 如图，在中，，点D，E分别为边，上的点，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，根据等腰三角形性质和三角形外角性质得到，证明，利用全等三角形的性质即可解题． 【详解】证明：在中，， ， ，， ， ， ， ． 17. 如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出关于直线对称的图形； （2）如图2，在直线上求作点P，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查轴对称变换知识，解题的关键是作出对称点以及对应点解决问题． （1）分别作出点A、B关于直线对称点，再顺次连接即可； （2）作出点A关于直线的对称点D，连接交直线于点P，再连接，此时． 【小问1详解】 如图，即为所作； 【小问2详解】 如图，点P即为所作； 四．解答题（共3小题每小题8分） 18. 如图，在中，D是上一点，过点C作，连接交于点E，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定，以及平行线的性质，先利用平行线的性质得出，，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，． 在和中， ， ∴． 19. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为，求的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键； （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：是的高， ， ， ， 是角平分线，， ， ； 【小问2详解】 解：是中点， ∴， 与的周长差为， 或 或， ， 或． 20. 如图，在中，，点D为的中点，连接的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，灵活运用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而说明是的线段垂直平分线，可得，进而得到，即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质及角的和差可得，再根据线段垂直平分线的性质以及三角形的内角和可得；再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的线段垂直平分线， ∴， ∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴是的线段垂直平分线， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，D为中点， ∴（三线合一）， ∴， ∵是的线段垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 五．解答题（共2小题，每小题9分） 21. 如图，四边形中，对角线、交于点，，点是上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，可得出结论； （2）根据全等三角形的性质求出答案． 【小问1详解】 证明：， ， 即：， 在和中， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ，， ． 22. 已知，在中，，D为边上一点，E为射线上一点，连接、． （1）如图1，若，平分．求证：； （2）若．如图2，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）如图1中，延长交于点J．利用等腰三角形的三线合一的性质证明，，推出，推出，可得结论； （2）如图2中，过点C作交于点H．证明，可得结论． 【小问1详解】 证明：如图1中，延长交于点J． ，， ； ∵平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2中，过点C作交于点H． ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 六．解答题（本大题共1题12分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点B，且a，b满足：． （1） ， ． （2）求的度数； （3）点M为的中点，等腰的腰经过点M，，连接． ①如图1，求证：； ②如图2，取的中点N，延长交于点P，若点P的横坐标为t，请用含t的式子表示四边形的面积． 【答案】（1）6，6 （2） （3）①详见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质可得； （2）由等腰直角三角形的性质可得出答案； （3）①连接，过点M作交于点H．证明，由全等三角形的性质得出，可得出，则可得出结论； ②在上截取，连接．证明，由全等三角形的性质得出，，证得，由此得出，则可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：6，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：①连接，过点M作交于点H． ∵为等腰直角三角形，M为中点， ∴， ∵为等腰，， 又∵， ∴， 则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②在上截取，连接． 在等腰中， ∵N为中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点P的横坐标为t，， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形判定与性质，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，坐标与图形的性质，四边形的面积，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$