精品解析：江苏省无锡市江阴市直属片区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024－2025学年第一学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 4. 给出下列长度的四组线段：①2，3，4；②3，4，5；③6，7，8；④5，13，12，其中能组成直角三角形的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 5. 如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小 明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　） A. B. C. D. 6. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 7. 如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 已知数据不全，不可以求 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A. 56 B. 60 C. 65 D. 75 9. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①如果是直角三角形，那么一定成立； ②在中，如果，那么一定不是直角三角形； ③两角及一边分别相等的两个三角形全等． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．请把答案填写在答题卡上相应的位置） 11. 如图所示，两个三角形全等，则的度数为___________． 12. 如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O．过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是_______． 13. 如图，，，垂足分别为C、D，请你添加一个条件______，利用“”得到．     14. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为__________尺． 15. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 16. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则________． 17. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，，边上的高，中边的“中偏度值”为__________． 18. 如图，点B在线段上，，，射线，点C在射线上运动，将绕着点B顺时针旋转得到，连接． （1）在中，若，则________； （2）的最小值是________． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．） 19. 如图，，，求证：． 20. 如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线m成轴对称． （1）请在如图所示的网格中作出； （2）连接，则与m的关系是； （3）在直线m上找一点P，使得值最小． 21. 综合实践 徐霞客(1586-1641)，名弘祖，字振之，号霞客，明朝南直隶江阴(今江苏江阴市)人．明地理学家、旅行家和文学家，地理名著《徐霞客游记》的作者，被称为“千古奇人”． XX中学数学兴趣小组在徐霞客公园开展综合实践活动． 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边，底边的长度，并测量出点A，C之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边BC是否分别垂直于底边． 解决问题： 通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，AC的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ 22. 如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 23. 如图，在中，，，直线经过点，且于，于， （1）求证：； （2）试探究线段、、之间的数量关系． 24. 如图，点B、D、C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC； （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝70°，求∠EDC． 25. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 26. 如图，已知在中，，有一动点P在折线段上运动，速度为2个单位，运动时间t． （1）当 时，； （2）若平分，求运动时间t； （3）当t为何值时，为轴对称图形． 27. 在中，，D为的中点，E、F分别为上的动点． （1）若，当时，是否成立？若成立，结合图1给出证明；若不成立，在图1中举出反例； （2）如图2，当时，求证：； （3）若，，，直接写出的长度的范围为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期期中考试 初二数学试卷 （满分120分 考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解． 【详解】A．是轴对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查判断轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键． 2. 已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，牢记对应角相等是解题关键． 根据全等三角形对应角相等得出，解出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3. 等腰三角形有两条边长为和，则该三角形的周长是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，注意要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形，然后再求解．根据等腰三角形的两腰相等，分是腰长和是腰长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当是腰长， ， 、、不能组成三角形， 当是腰长，能够组成三角形， ， 所以，三角形的周长是， 故选：B． 4. 给出下列长度的四组线段：①2，3，4；②3，4，5；③6，7，8；④5，13，12，其中能组成直角三角形的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 判定是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：①，故不是直角三角形； ②，故是直角三角形； ③，故不是直角三角形； ④，故是直角三角形． 故选：C． 5. 如图是小明制作的风筝，他根据，，不用度量，就知道，小 明是通过全等三角形的判定方法得到的结论，则小明用的判定方法是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据即可证明，可得． 【详解】解：在和中， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 6. 为了丰富学生的课外活动，在周一班会课中，班主任张老师设置抢凳子游戏，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线交点 C. 三边垂直平分线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：∵A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：C 7. 如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 已知数据不全，不可以求 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握角平分线的性质． 作于，根据角平分线的性质解答． 【详解】解：作于， ∵点是平分线上一点，， ∴． 故选：A． 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A. 56 B. 60 C. 65 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ∴， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， ∴阴影部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键． 9. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①如果是直角三角形，那么一定成立； ②在中，如果，那么一定不是直角三角形； ③两角及一边分别相等的两个三角形全等． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，全等三角形的判定等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理逆定理，全等三角形的判定是解题的关键． 根据勾股定理，勾股定理逆定理，全等三角形的判定判断作答即可． 【详解】解：由题意知，如果是直角三角形，且为直角边的边长，为斜边长时，一定成立，①错误，故不符合要求； 在中，当为直角边的边长，为斜边长时，如果，那么一定不是直角三角形，②错误，故不符合要求； 两角及一边分别对应相等的两个三角形全等，③错误，故不符合要求； 故选：A． 10. 如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，割补法求面积；过点作交于，过点作交于，点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，，设，，由四个三角形面积和，即可求解；能熟练利用割补法求面积，构建三角形全等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交于，过点作交于，点作交于， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 同理可证：， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．请把答案填写在答题卡上相应的位置） 11. 如图所示，两个三角形全等，则的度数为___________． 【答案】62 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故答案为：62． 12. 如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O．过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是_______． 【答案】9 【解析】 【分析】由在中，与的平分线交于点，过点作，易证得与是等腰三角形，即，，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【详解】解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长为： ． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意证得与是等腰三角形，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 13. 如图，，，垂足分别为C、D，请你添加一个条件______，利用“”得到．     【答案】（或添加条件） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意两直角三角形的斜边已经相等，要用“”证明两三角形全等，则要添加一条直角边对应相等，据此求解即可． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（或添加条件）． 14. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为__________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为尺， 故答案为：． 15. 直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8， ∴由勾股定理得，斜边=10． ∴斜边上的中线长=×10=5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度． 16. 如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形和等腰直角三角形的选择，由题意得，，即可求解； 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴ 故答案为： 17. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，，边上的高，中边的“中偏度值”为__________． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况计算；先根据勾股定理求出，再根据中线的定义得出,故，同理可得，故得出答案；熟知分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图，为的中线， ， ， ， ， 为的中线， ， ， 中边的“中偏度值”为：； 如图，为的中线， ， ， ， ， 为的中线， ， ， 中边的“中偏度值”为：； 故答案为：6或． 18. 如图，点B在线段上，，，射线，点C在射线上运动，将绕着点B顺时针旋转得到，连接． （1）在中，若，则________； （2）的最小值是________． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，旋转性质，全等三角形判定及性质等． （1）根据旋转性质可得，再利用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意将顺时针旋转到，则为等边三角形，证明，再利用全等三角形性质即可得到本题答案． 【详解】解：（1）∵， ∵绕着点B顺时针旋转得到， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4； （2）将顺时针旋转到，则为等边三角形， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共66分．） 19. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：连接， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用（边边边）判定三角形全等． 通过连接，构造两个三角形，利用判定这两个三角形全等，进而根据全等三角形的对应角相等证明． 【详解】略 20. 如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，和关于直线m成轴对称． （1）请在如图所示的网格中作出； （2）连接，则与m的关系是； （3）在直线m上找一点P，使得值最小． 【答案】（1）见解答 （2） （3）见解答 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）由轴对称的性质可知，． （3）连接，交直线于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：∵和关于直线成轴对称， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，连接，交直线于点，连接， 此时值最小，则点即为所求． 21. 综合实践 徐霞客(1586-1641)，名弘祖，字振之，号霞客，明朝南直隶江阴(今江苏江阴市)人．明地理学家、旅行家和文学家，地理名著《徐霞客游记》的作者，被称为“千古奇人”． XX中学数学兴趣小组在徐霞客公园开展综合实践活动． 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边，底边的长度，并测量出点A，C之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边BC是否分别垂直于底边． 解决问题： 通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，AC的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ 【答案】 解：垂直． 理由如下： 在中， ，，； ， ， ， 是直角三角形， 即； ． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，可求，由勾股定理逆定理得是直角三角形，即可求解；掌握勾股定理逆定理是解题的关键． 【详解】略 22. 如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边距离相等，连接MN，作MN的垂直平分线，∠AOB的平分线，相交于点P，则点P即为建中转站的位置． 【详解】略 【点睛】本题考查了应用与设计作图，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法，角平分线的作法是解题的关键． 23. 如图，在中，，，直线经过点，且于，于， （1）求证：； （2）试探究线段、、之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：于，于， ； ； ； ； ； 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）根据证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（）得 ， ，， ． 24. 如图，点B、D、C在一条直线上，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠EAC； （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝70°，求∠EDC． 【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE， ∴BC=DE； （2）40°． 【解析】 【分析】（1）先证明∠BAC＝∠DAE，再证明△ABC≌ADE，问题得证； （2）根据△ABC≌ADE，得到∠B=∠ADE=70°，AB=AD，进而得到∠B=∠ADB=70°，根据平角的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵△ABC≌△ADE， ∴∠B=∠ADE=70°，AB=AD， ∴∠B=∠ADB=70°， ∴∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=180°-70°-70°=40°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据题意证明△ABC≌△ADE是解题关键． 25. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长． （2）若，求的度数． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键在于熟知线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由得到，据此，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：∵在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， 又∵， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，已知在中，，有一动点P在折线段上运动，速度为2个单位，运动时间t． （1）当 时，； （2）若平分，求运动时间t； （3）当t为何值时，为轴对称图形． 【答案】（1）2 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了几何动点问题，涉及了勾股定理、角平分线的性质定理和等腰三角形的定义等知识点，掌握相关几何结论即可． （1）当动点P运动到的中点时，有，即可求解； （2）作，可得，则；证得，推出，根据即可求解； （3）分类讨论为等腰三角形的情况，画出对应图形即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， 当动点P运动到的中点时，有，如图所示: 则， 解得：， 故答案为： 【小问2详解】 解：作，如图所示： ∵平分， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得： 【小问3详解】 解：时，如图所示： 则，解得； 时，作，如图所示： 则， ∴， ∴， 则，解得； 时，如图所示： 则， 则，解得； 时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， 则，解得； 综上所述：当或或或时，为轴对称图形 27. 在中，，D为的中点，E、F分别为上的动点． （1）若，当时，是否成立？若成立，结合图1给出证明；若不成立，在图1中举出反例； （2）如图2，当时，求证：； （3）若，，，直接写出的长度的范围为 ． 【答案】（1） 如图，连接，过点D作和的垂线，垂足分别为， ∵，，D为的中点， ∴是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，∴； 同理，显然， ∴不一定成立； （2） 证明：如图，在上取点，使，连接， ∵，D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，过点D作和的垂线，垂足分别为，利用证明和，得到或； （2）在上取点，使，连接，证明，推出，，再利用四边形内角和以及邻补角的性质得到，根据等角对等边即可证明； （3）连接，作于点，求得和的长，先证明是等边三角形，得到，当点与点重合时，有最小值为1，当点与点重合时，有最大值为，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，作于点， ∵，D为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， 由（2）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴，当点与点重合时，有最小值，最小值为1， 当点与点重合时，有最大值，最大值为， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $