精品解析：安徽省黄山市屯溪第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题

屯溪一中2024-2025学年度第一学期期中质量检测 高三数学试题 命题人：罗颖 汪强 审题人：吴晗 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、并集的定义直接求解即可. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：C 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词即可解题. 【详解】全称命题的否定，否定结论，全称量词换成存在量词. 则，则是. 故选：A. 3. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. B. C. 11 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】等比数列中若，，则，先根据性质求出的值，最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和差的余弦展开式求出，再由同角的三角函数关系求解即可； 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：D. 5. 已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 在单调递减 C. 在单调递减 D. 在单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象判断出过点的为的图象，过点的为导函数的图象，求导得到，在上单调递减，在上单调递增，得到答案. 【详解】从图象可以看出过点的为的图象，过点的为导函数的图象， ， 当时，，故，在上单调递减， 当时，，故，在上单调递增， ACD错误，B正确， 故选：B 6. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数的不等式恒成立，即可求解. 【详解】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根， 所以 ，即对任意实数恒成立， 所以，即，得. 故选：B. 7. 直线被函数的图象所截得线段的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到或，再结合条件，即可求解. 【详解】由，得到， 所以或， 又直线被函数的图象所截得线段的最小值为， 显然最小值在一个周期内取到，不妨取，得到或， 所以，解得， 故选：B. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用赋值法构造出的等量关系，再结合不等式性质判断即可. 【详解】由题意，，. 赋值，得； 赋值，得，即， 当时，， 当时，则，所以，即； 赋值，得，解得， 即； AC项，由，， 得， 其中由，可知， 当时，，即； 当时，，即；故AC错误； BD项，，得； 又，所以， 则， 故，且不恒为，故B错误，D正确. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分） 9. 给出下列四个关系式，其中正确的是（ ） A. B. C. D.  【答案】AD 【解析】 【分析】根据表示的数集，结合空集的性质、真子集的定义逐一判断即可. 【详解】因为是实数，因此选项A正确； 因为空间集中没有元素，显然不正确，因此选项B不正确； 因为所有的整数都是有理数，因此整数集是有理数集的子集，所以选项C不正确； 因为空集是任何非空集合的真子集，所以选项D正确， 故选：AD 10. （多选）下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则m组成集合为 B. 不等式对一切实数x恒成立的充分不必要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，考虑时，，满足要求，可知A不正确； 对于B选项，分和两种情况讨论可得充要条件为，可判断B正确； 对于C选项，由可求的定义域，即可判断C不正确； 对于D选项，根据不等式的解集得到且和3为方程的两个根，由韦达定理得到之间的关系，代入化简可判断D不正确. 【详解】对于A选项：，又， 当时，，满足； 当时，， 当时，，满足，当时，，满足. 综上，m组成集合为，故A不正确； 对于B选项：当时，不等式恒成立，即对一切实数x恒成立； 当时，由对一切实数x恒成立，可得，解得. 综上所述：不等式对一切实数x恒成立的充要条件是， 所以不等式对一切实数x恒成立的充分不必要条件是，故B正确； 对于C选项，因为的定义域为，所以，解得， 故的定义域为，故C不正确； 对于D选项，不等式解集为， 则且和3为方程的两个根，故，， 则，，，故D不正确. 故选：ACD. 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】点代入曲线判断A，根据曲线分段得出函数取得最大值判断B，应用三角换元再结合三角恒等变换求最值判断C，应用三角换元结合椭圆的方程得出恒成立判断D. 【详解】令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：应用三角换元，再结合三角恒等变换化简，最后应用三角函数值域求最值即可. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，利用求解. 【详解】由题意得，. ∵是定义在上的奇函数， ∴． 故答案为: . 13. 函数在上的极小值点为：__________. 【答案】 【解析】 【分析】法一，由辅助角公式得，利用函数与图象的平移关系可得所求；法二，利用导函数，求出导函数的零点按零点分区间，分析导函数符号与原函数单调性即可求解极值点. 【详解】法一：，， 由的图象向右平移个单位可得到函数，的图象. 而函数在的极小值点为， 故函数的极小值点即为. 法二：，， 则， 由，则， 令，得或，解得或. 则的变化情况如下表： 极大值 极小值 在上的极小值点为. 故答案为：. 14. 函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由对称性可得，利用导数求切线和的斜率，得和，由解出，再由求出的值. 【详解】函数与和分别交于，两点， 则，， 函数的图象关于直线对称，函数和的图象也关于直线对称， 所以，两点关于直线对称，有， 函数的导数为，函数的导数为， 则，， 由，有，即， 由，解得， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛： 本题除了导数和倍角公式的运用，关键点在于运用函数的对称性或对数式的运算，得到. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得是公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式可得结果，设数列的公比为，列出方程，求出，即可得到通项公式. （2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【小问1详解】 设等差数列公差为， 因为，所以 所以是公差为2的等差数列， 所以， 因为成等差数列，所以， 设的公比为，其中， 所以，解得或， 当时，，此时，为递增数列，满足要求， 当时，，此时，为递减数列，不合题意， 综上，. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以是公差为3的等差数列， 所以. 16. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 （1）求证： （2）若，，求的面积. 【答案】（1）证明:由正弦定理，知， 所以，即为， 所以， 即， 所以 因为，， 所以或，即或（舍去）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可证； （2）由正弦定理及三角形面积公式可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由，得， 所以，即 由余弦定理，得， 即，解得， 所以 又由，可得， 得， 所以的面积 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． （1）证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证； （2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 18. 已知函数. （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）若是函数的极值点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）讨论在区间上的零点个数. 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）（ⅰ）证明：， ， ，故， 设，函数单调递增， ，. 根据零点存在定理知； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定在上的性，再计算最值得到答案； （2）（ⅰ）计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明； （ⅱ）求导得到导函数，考虑，，三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到零点个数. 【小问1详解】 ，，令得到， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又，，， 故在区间上的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ），，， 设，， 当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，， 故函数在上无零点； 当时，， 设，， 设，则， 当时，，当时， 故在单调递增，在上单调递减， ，，， 故存在使， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. ，故，，故函数在上有1个零点. 综上所述：在区间上的零点个数为2. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路. 19. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”： ①；②. （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）； （2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）； （3）记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）或 （3）不能，理由如下： 记中非负项和为，负项和为，则， 得，，，即. 若存在，使，由前面的证明过程知： ，，，，，，，，且. 若数列为阶“曼德拉数列”， 记数列的前项和为，则. ， 又，， . 又， ，，，， ， 又与不能同时成立， 数列不为阶“曼德拉数列”. 【解析】 【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解； （2）结合曼德拉数列的定义，首先得,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解； （3）记中非负项和为，负项和为，则，进一步，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为. 若，则由①得，得， 由②得或. 若，由①得，，得，不可能. 综上所述，. 或. 【小问2详解】 设等差数列的公差为， ， ， 即， 当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾， 当时，据“曼德拉数列”的条件①②得， ， ，即， 由得，即， . 当时，同理可得， 即. 由得，即， . 综上所述，当时，，当时，. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到，，，，，，，，且，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 屯溪一中2024-2025学年度第一学期期中质量检测 高三数学试题 命题人：罗颖 汪强 审题人：吴晗 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 若全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（ ） A. B. C. 11 D. 10 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数与其导函数的图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（ ） A. 在单调递减 B. 在单调递减 C. 在单调递减 D. 在单调递减 6. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 直线被函数的图象所截得线段的最小值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分） 9. 给出下列四个关系式，其中正确的是（ ） A. B. C. D.  10. （多选）下列说法不正确的是（ ） A. 已知，，若，则m组成集合为 B. 不等式对一切实数x恒成立的充分不必要条件是 C. 的定义域为，则的定义域为 D. 不等式解集为，则 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则______． 13. 函数在上的极小值点为：__________. 14. 函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列满足：，数列为单调递增等比数列，，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 （1）求证： （2）若，，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． （1）证明：平面． （2）若，求二面角的正弦值． 18. 已知函数. （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）若是函数的极值点. （ⅰ）证明：； （ⅱ）讨论在区间上的零点个数. 19. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”： ①；②. （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）； （2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）； （3）记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $