精品解析：北京市第八中学2024-2025学年上学期九年级期中数学试卷

2024-2025学年度第一学期期中练习题 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：B． 2. 已知的半径为4，如果的长为3，则点P在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点到圆心的距离小于半径，则该点在圆内，若点到圆心的距离等于半径，则该点在圆上，若点到圆心的距离大于半径，则该点在圆外，据此可得答案． 【详解】解：∵的半径为4，如果的长为3，且， ∴点P在内， 故选A． 3. 若关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元一次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键：如果（、、是常数，）的两个实数根是，，那么，．根据一元二次方程根与系数的关系列方程求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 即：， 解得：， 故选：． 4. 如图，在中，弦，相交于点E，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理的应用．熟练掌握圆周角定理，对顶角性质，三角形内角和定理，是解决问题的关键． 根据对顶角相等得，由三角形内角和定理得，再根据圆周角定理得． 【详解】∵，， ∴． ∴． 故选：D． 5. 在圆、正六边形、平行四边形、等腰三角形、正方形这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，中心对称图形的识别等知识点，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐个判断即可得出答案． 【详解】解：圆是轴对称图形，也是中心对称图形； 正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形； 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形； 等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 正方形是轴对称图形，也是中心对称图形； 既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有个， 故选：． 6. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由题意可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，根据图象可得答案． 【详解】二次函数与直线的交点即为方程的解， 根据图象可知：二次函数与直线有两个交点， 方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故选：C． 7. 如图，点O为线段的中点，，连接，．则下面结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，圆的定义，圆的基本性质；由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得，再由圆的定义得点A、D、C、B在以O为圆心，长为半径的圆上，由圆的基本性质及圆的内接四边形的性质即可求解；掌握有关性质，能根据圆的定义确定A、D、C、B四点共圆是解题的关键． 【详解】解：点O为线段的中点，， ， ， ， 点A、D、C、B在以O为圆心，长为半径的圆上， 如图， 故A结论正确，不符合题意； 由圆周角定理得到， 故B结论正确，不符合题意； 四边形是圆内接四边形， ， 故C结论正确，不符合题意； 和不一定相等， 和不一定相等， 不一定平分， 故D结论错误，符合题意． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，对称轴，开口方向判断①②，对称性，增减性判断③，根据时，取得最大值，判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为， ∴；故②错误； ∵抛物线的开口向下， ∴；， 抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵，当时，， ∴图象过， ∵对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为：， ∵抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵点在此抛物线上且， ∴或；故③正确； ∵时，取得最大值， ∴对于任意实数t，； 即，故④正确； 故答案为：①③④共3个， 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=_____． 【答案】（x﹣1）2． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足a＞0，c=0即可． 【详解】符合的表达式是y=（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键． 10. 将抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位，得到的拋物线表达式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，熟记二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位， 平移后得到的拋物线表达式是， 故答案为：． 11. 的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是________（填“相交”、“相切”或“相离”）． 【答案】相交 【解析】 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的直径为，， ∴的半径为， ∵圆心O与直线l的距离为， ∴圆心O与直线l的距离小于的半径， ∴l与相交， 故答案为：相交． 12. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为_____． 【答案】（x﹣3）（x﹣2）=20． 【解析】 【分析】设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出． 【详解】解：设原正方形的边长为xm，依题意有 （x﹣3）（x﹣2）=20． 故答案为（x﹣3）（x﹣2）=20． 【点睛】本题主要考点为由实际问题抽象出一元二次方程． 13. 如图，，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交，于点M，N．若，则的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，掌握经过圆外一点作圆的两条切线，切线长相等是解本题的关键． 由切线长定理可得出答案． 【详解】解：，，是的切线，， 的周长为： ， 故答案为：16． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是________；若点，在此抛物线上，则，，1的大小关系是________（用“<”号连接）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线． ∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，函数的最大值是1， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的对称性质和增减性质，是解决问题的关键． 根据二次函数的对称轴为直线，若，当时，函数y取得最大值，得；若，根据与关于对称轴对称，得当时，y随x增大而增大，得当时，y取得最大值，得． 【详解】∵二次函数， ∴对称轴为直线． ∴当时， 在范围内，当时，函数y取得最大值． ∴； 当时， ∵与关于对称轴对称，当时，y随x增大而增大，且， ∴在范围内，当时，y取得最大值． ∴． ∴a的值为2或． 故答案为：2或． 16. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为__________；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，作，连接， ∵， ∴， ∵为圆心，半径为2， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点F在以为直径的圆M上移动， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为， 故答案为；． 【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本题共68分，17题每小题3分；18-19题每题4分；20-21题每题6分；22题5分；23题7分；24题6分；25题5分；26题6分；27题7分；28题6分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 18. 已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，，． （1）请通过画图找到旋转中心，将其记作O； （2）直接写出旋转方向________（填顺时针或逆时针），旋转角度________； （3）在图中画出． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）顺时针，90 （3） 如图所示，即为所求 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． （1）分别作，的中垂线，两者的交点即为所求； （2）结合图形，根据旋转的定义可得答案； （3）作出点绕点顺时针旋转所得对应点，再首尾顺次连接即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，是由绕点顺时针旋转得到； 故答案为：顺时针，90； 【小问3详解】 略 19. 如图，是的弦，半径于点C．若，，求的半径的长． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由垂径定理可得，设，根据勾股定理得到方程，解方程即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：连接， 半径于点，， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 的半径的长为． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最小的正整数时，求方程的根． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的判别式，判断方程的根的情况，关键在于理解判别式与根的个数的关系，并对方程中的参数进行准确计算． （1）通过一元二次方程 ，判别式，当，方程有两个不相等的实数根，确定的取值范围，注意不要忽略的条件． （2）根据（1）中的范围确定最小的正整数值，代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 且， 且． 【小问2详解】 且，m取最小的正整数． ． 当时，一元二次方程为：， 解得：，． 21. 已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示： x 0 1 2 4 y 8 0 （1）根据表中的信息，则m值为________； （2）求此二次函数的解析式，并用描点法画出该二次函数的图象；（不用列表） （3）一次函数，当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）0 （2），图像如图所示： （3）且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据表格数据即可求解； （2）根据表格中的数据，可以得到二次函数图象解析式，化为顶点式，画图即可 （3）根据题意列不等式求解即可； 【小问1详解】 解：根据表格数据可得，对称轴为：， 故当和当，关于对称 故， 故答案为： 【小问2详解】 将，，分别代入和中， 解得：，，， 故函数解析式为：，即， ，图像略； 【小问3详解】 解：当，函数，的取值范围应为， ∵，无论为何值，当时，， ∴过定点， 当，对于x的每一个值，都有， 当时， 故， 解得：， 故， 当时，满足， 综上所述，且． 22. 如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到．若，，求的长． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 23. 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图，在四边形中，． 求证：点，，，在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下： 步骤一 利用直尺与圆规，作出过，，三点的，并保留作图痕迹． 步骤二 用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． （i）如图2，假设点在内．   延长交于点，连接， ∴（ ① ）．（填推理依据） ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在内． （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴ ② ． ∵是的外角， ∴ ③ ． ∴ ④ ． ∴ ⑤ ． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． ∴点，，，在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： （1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； （2）填写推理依据：①________________； （3）填空：②________，③________，④________，⑤________． 【答案】（1） 如图所示： （2）圆内接四边形对角互补 （3）；；； 【解析】 【分析】本题主要考查圆的内接四边形、多边形内角和外角、尺规作图： （1）分别作和的垂直平分线，交点即为圆心，以点为圆心，以线段的长度为半径作圆． （2）的依据为：圆内接四边形对角互补． （3）参照（i）的证明过程，即可求得答案． 【小问1详解】 分别作和的垂直平分线，交点即为圆心，以点为圆心，以线段的长度为半径作圆． 【小问2详解】 的依据为：圆内接四边形对角互补． 故答案为：圆内接四边形对角互补． 【小问3详解】 参照（i）的证明过程，可知： （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 故答案为：；；； 24. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． 平分， ， ， ； ， 为半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题． （1）连接，证明，可得结论； （2）过点作于点．求出，得出，，利用得出，再利用三角函数求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 25. 投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点处）到落地的过程中，其竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 小石进行了三次训练，每次实心球的出手点的竖直高度为．记实心球运动路线的最高点为，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为（单位：）．训练情况如下： 第一次训练 第二次训练 第三次训练 训练成绩 最高点 满足的函数关系式 根据以上信息， （1）求第二次训练时满足的函数关系式； （2）小石第二次训练的成绩为______； （3）直接写出训练成绩，，的大小关系． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）令，求出的值即可； （）根据函数解析式分别求出三个距离，根据大小即可比较； 此题考查了二次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质的应用． 【小问1详解】 由题意得：， ∵当时，， ∴，解得：， ∴第二次训练时满足的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 小石第二次训练的成绩为， 故答案为：； 【小问3详解】 根据表格可知：， 由（）得：， 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与直线交于点． （1）若轴，求二次函数解析式； （2）记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若对于图象上任意一点，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求得点的坐标，再代入求得的值后即可求得抛物线的解析式； （2）由，即可得出，解不等式可得结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点，与直线交于点， 当时，得：， ∴，点的横坐标为是， 又∵轴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， ∵对于图象上任意一点，都有， ∴， ∴， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质和利用待定系数法求二次函数的解析式，运用数形结合的思想或不等式组确定变量的取值范围是解题的关键． 27. 如图，中，，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，连接．将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作，垂足为点，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （2）求的大小（用含的代数式表示）； （3）若点满足，直接写出一个的值，使得． 【答案】（1） 解：，理由如下： 如图，延长，使，连接，， ， ， ， ， 延长，使，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为线段的中点， ， 又， 且， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长，使，连接，，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，延长，使，连接，由垂线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，进而可得，由等式的性质可得，利用可证得，于是可得，根据三角形的中位线定理可得，而，于是可得结论； （2）由全等三角形的性质可得，进而可得，由两直线平行同位角相等可得； （3）连接，取的中点，连接，由垂线的定义可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，由（2）可得，即，因而可得，于是得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得：，， ， ， 由（1）可得：， ； 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，连接，取的中点，连接， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 点是的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， 由（2）可得：， 即：， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，垂线的定义，等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，列代数式，两直线平行同位角相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，充分利用已知条件，恰当做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，将对角线交点为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的切于点，则称点为正方形的“伴随切点”． （1）如图，正方形的顶点分别为点，，，． 在点，，中，正方形的“伴随切点”是________； 若直线上存在正方形的“伴随切点”，求的取值范围； （2）已知点，正方形的边长为．若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据新定义，可知，再结合所给的点逐一判断即可；易推出点在以为直径的上，且，，可知符合条件的点组成的图形为（点除外），其中，，当直线与相切时，设切点为，与轴交于点，与轴交于点，可求出，将点代入直线，可得，当直线经过点时，，此时直线经过点，当直线经过点时，，从而得到的取值范围为； （2）由新定义可知，由等边三角形的性质可得，由切线长定理可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，；当时，；分别根据勾股定理列方程求解，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：如图， 在半径为的最小圆的内部， 不是正方形的“伴随切点”， 和与半径为的圆相切， 和是正方形的“伴随切点”， 故答案为：，； 如图， 由题意可知，点坐标为，且点为正方形边上的点， ， 与以为半径的相切于点， ，， ， 点在以为直径的上，且，， 符合条件的点组成的图形为（点除外），其中，， 当直线与相切时，设切点为，与轴交于点，与轴交于点， 与直线垂直， ， 对于直线，令，则， 令，可得：， 解得：， ，， ，， ， ， 轴轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将点代入直线，可得：， 解得：， 当直线经过点时，，此时直线经过点， 当直线经过点时，， 直线上存在“伴随切点”， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：正方形的边长为， ， 为等边三角形， ， ，是正方形的两个“伴随切点”， ， ， ， ， 分两种情况： 当时，， 根据勾股定理，可得：， 即：， 解得：； 当时，， 根据勾股定理，可得：， 即：， 解得：； 或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，切线的性质，垂线的性质，度的圆周角所对的弦是直径，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，解一元一次方程，已知两点坐标求两点距离，等边对等角，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，等边三角形的性质，切线长定理，含度角的直角三角形，公式法解一元二次方程等知识点，弄清新定义，能推出当正方形边长为时，，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中练习题 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将试卷和答题纸一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）（每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径为4，如果的长为3，则点P在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 不确定 3. 若关于的一元二次方程有一个根为，则另一个根的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，弦，相交于点E，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在圆、正六边形、平行四边形、等腰三角形、正方形这五个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有实数根 7. 如图，点O为线段的中点，，连接，．则下面结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 平分 8. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示，下面四个结论中， ①；②；③若点在此抛物线上且，则或；④对于任意实数t，都有成立． 正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y=_____． 10. 将抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位，得到的拋物线表达式是________． 11. 的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是________（填“相交”、“相切”或“相离”）． 12. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，若原正方形空地边长是xm，则可列方程为_____． 13. 如图，，分别与相切于点A，B，点C为劣弧上的点，过点C的切线分别交，于点M，N．若，则的周长为______． 14. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标是________；若点，在此抛物线上，则，，1的大小关系是________（用“<”号连接）． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的最大值为4，则a的值为________． 16. 如图，以为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为上一动点，于F，则弦的长度为__________；当点E在的运动过程中，线段的长度的最小值为__________． 三、解答题（本题共68分，17题每小题3分；18-19题每题4分；20-21题每题6分；22题5分；23题7分；24题6分；25题5分；26题6分；27题7分；28题6分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知：如图，绕某点按一定方向旋转一定角度后得到，点A，B，C分别对应点，，． （1）请通过画图找到旋转中心，将其记作O； （2）直接写出旋转方向________（填顺时针或逆时针），旋转角度________； （3）在图中画出． 19. 如图，是的弦，半径于点C．若，，求的半径的长． 20. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取最小的正整数时，求方程的根． 21. 已知二次函数图象上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表所示： x 0 1 2 4 y 8 0 （1）根据表中的信息，则m值为________； （2）求此二次函数的解析式，并用描点法画出该二次函数的图象；（不用列表） （3）一次函数，当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 22. 如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到．若，，求的长． 23. 小明在学习了圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”后，想探究它的逆命题“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”是否成立．他先根据命题画出图形，并用符号表示已知，求证． 已知：如图，在四边形中，． 求证：点，，，在同一个圆上． 他的基本思路是依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，先作出一个过三个顶点，，的，再证明第四个顶点也在上． 具体过程如下： 步骤一 利用直尺与圆规，作出过，，三点的，并保留作图痕迹． 步骤二 用反证法证明点也在上． 假设点不在上，则点在内或外． （i）如图2，假设点在内．   延长交于点，连接， ∴（ ① ）．（填推理依据） ∵是的外角， ∴． ∴． ∴． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在内． （ii）如图3，假设点在外． 设与交于点，连接， ∴ ② ． ∵是的外角， ∴ ③ ． ∴ ④ ． ∴ ⑤ ． 这与已知条件矛盾． ∴假设不成立．即点不在外． 综上所述，点在上． ∴点，，，在同一个圆上． 阅读上述材料，并解答问题： （1）根据步骤一，补全图1（要求：尺规作图，保留作图痕迹）； （2）填写推理依据：①________________； （3）填空：②________，③________，④________，⑤________． 24. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的长． 25. 投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点处）到落地的过程中，其竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 小石进行了三次训练，每次实心球的出手点的竖直高度为．记实心球运动路线的最高点为，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为（单位：）．训练情况如下： 第一次训练 第二次训练 第三次训练 训练成绩 最高点 满足的函数关系式 根据以上信息， （1）求第二次训练时满足的函数关系式； （2）小石第二次训练的成绩为______； （3）直接写出训练成绩，，的大小关系． 26. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与直线交于点． （1）若轴，求二次函数解析式； （2）记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若对于图象上任意一点，都有，求的取值范围． 27. 如图，中，，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，连接．将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作，垂足为点，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （2）求的大小（用含的代数式表示）； （3）若点满足，直接写出一个的值，使得． 28. 在平面直角坐标系中，将对角线交点为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的切于点，则称点为正方形的“伴随切点”． （1）如图，正方形的顶点分别为点，，，． 在点，，中，正方形的“伴随切点”是________； 若直线上存在正方形的“伴随切点”，求的取值范围； （2）已知点，正方形的边长为．若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得为等边三角形，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $