第五章 素养提升课一 小船渡河问题与关联速度问题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一物理必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教版2019）

素养提升课一　小船渡河问题与关联速度问题 【素养目标】　1.能运用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题，会求渡河的最短时间和最短位移。 2．会分析实际运动中的关联速度问题，建立常见的绳关联模型和杆关联模型。 提升点一　小船渡河问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [问题探究]　 河宽为d，河水流速为v水，船在静水中的速度大小为v船，方向如图所示。 (1)渡河过程中，船参与了哪几个分运动？ (2)小船过河的最短时间为多少？以最短时间过河，过河的位移为多少？ (3)小船过河的最小位移为多少？以最小位移过河，过河的时间为多少？ 提示：(1)相对水的运动和随水漂流的运动。 (2)小船垂直河岸方向的速度v1＝v船sin θ 过河的时间t＝＝ 当θ＝90°，sin θ＝1最大，此时时间最短且t短＝，即当船头垂直河岸时，过河时间最短 此时的合速度v＝，对应的位移l＝·t＝·。 (3)① 当v船>v水时，v船cos θ＝v水，即在水流方向上的合速度可以为零，最小位移为河宽d 此时cos θ＝，则 sin θ＝ 此时过河的时间t＝＝； ②当v船<v水时，则在水流方向上的合速度不可能为零，最小位移一定大于d 如图所示，以v水的矢量末端为圆心，以v船的大小为半径，画出圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大，此时位移最小。由图知cos θ＝，则最小位移l＝v水 此时过河的时间t＝＝。 学生用书↓第9页 (2023·重庆市长寿区期末)重庆境内河流众多，首届重庆都市艺术节跨年焰火表演在中心城区长江与嘉陵江两江交汇附近水域顺利举行，为重庆市民带来了一场迎新春的视觉盛宴。在长江某段直线水域，河面宽为d＝150 m，水流速度为v1＝4 m/s，一艘小船在静水中的速度为v2，当船头的指向与上游河岸的夹角为37°时，船可以垂直到达正对岸，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则下列说法错误的是(　　) A．船垂直到达正对岸过程中合速度为3 m/s B．船垂直到达正对岸所用时间为40 s C．若船以最短时间过河，则船到达对岸所用最短时间为30 s D．若水流速度变大，船到达对岸所用最短时间不变 答案：B 解析：如图所示，根据几何知识可得，船垂直到达正对岸过程中的合速度为v＝v1tan 37°＝3 m/s，故A正确；船垂直到达正对岸所用时间为t＝＝ s＝50 s，故B错误；小船在静水中速度为v2＝＝5 m/s，若船以最短时间过河，则船头指向河岸正对面，船到达对岸所用最短时间为tmin＝＝ s＝30 s，则船到达对岸所用最短时间与水流速度无关，故C、D正确。 小船渡河问题的常见三种情况 情况 图示 说明 渡河时 间最短 当船头垂直于河岸时，小船渡河时间最短，最短时间为tmin＝，此时渡河位移x＝ 渡河位 移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直于河岸，小船渡河位移最短(等于河宽d)，此时渡河时间t＝ 当v水>v船时，如果船头方向(v船方向)与合速度方向垂直，小船渡河位移最短。由图知sin θ＝，最短渡河位移为xmin＝＝ 针对练1.(多选)(2023·四川省达州市月考)如图所示，小船沿直线AB过河，船头始终垂直于河岸。船在静水中的速度为4 m/s，河宽80 m，水流速度为5 m/s。下列结论正确的是(　　) A．减小船速，渡河时间不变 B．增加水速，渡河时间不变 C．渡河时间为20 s D．B点位于河对岸下游60 m 答案：BC 解析：船头始终垂直于河岸，渡河时间为t＝＝ s＝20 s，减小船速，渡河时间变长，渡河时间与水速无关，故A错误，B、C正确；B点位于河对岸下游x＝v水t＝5×20 m＝100 m，故D错误。 针对练2.如图所示，河流宽度d＝80 m，各处水流速度大小均为v水＝5 m/s。若小船在静水中的速度大小为v船＝4 m/s，小船从A码头出发过河。下列说法正确的是(　　) A．小船渡河的最短时间为25 s B．小船渡河的最小位移为80 mC.小船可以到达对岸B点的上游 D．小船以最小位移的方式到达对岸所需时间为 s 答案：D 解析：当船头指向河对岸时渡河的时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝20 s，选项A错误；因v水>v船，当船速与合速度垂直时，小船渡河的位移最小，最小位移为x＝d＝×80 m＝100 m，此时渡河的时间为t＝＝ s＝ s，选项B错误，D正确；因船的静水速度小于河水流速，可知小船不可以到达对岸B点的上游，只能到达B点的下游，选项C错误。 学生用书↓第10页 提升点二　关联速度问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．“关联物体”问题 当绳(或杆)斜拉着物体或物体斜拉着绳(或杆)运动时，绳(或杆)两端连接的物体的速度不相同，但二者的速度有一定的关系，此类问题即为“关联物体”问题，如图1中甲、乙所示。 2．“关联物体”的速度关系 因为绳(或杆)不可伸长，所以绳(或杆)两端所连物体的速度沿着绳(或杆)方向的分速度大小相同。 3．“关联物体”问题的处理方法－－速度分解 (1)分解依据：物体的实际运动就是合运动。 (2)分解方法：把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相同列方程求解。 (3)分解结果：把图1中甲、乙的速度分解，如图2中甲、乙所示。 4．常见的速度分解模型 角度一　绳关联模型 如图所示，汽车用跨过光滑定滑轮的轻绳提升一质量为m的物块，汽车以速度v0水平向右匀速运动，重力加速度为g，在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是(　　) A．物块向上做匀速运动 B．当轻绳与水平方向的夹角为θ时，物块上升的速度为 C．轻绳对物块的拉力总是大于mg D．轻绳的拉力保持不变 答案：C 解析：对汽车的速度v0沿轻绳的方向和垂直于轻绳的方向进行分解，如图所示，可得v垂＝v0sin θ，v绳＝v0cos θ，物块上升的速度大小等于v绳，由v绳＝v0cos θ可知，当轻绳与水平方向的夹角为θ时，物块上升的速度为v0cos θ，故B错误；汽车匀速向右运动时，θ角变小，由v绳＝v0cos θ可知，v绳增大，但不是均匀变化的，故物块向上做变加速运动，加速度向上，即拉力总是大于mg，但拉力并非恒力，故A、D错误，C正确。 角度二　杆关联模型 (多选)(2022·河北邢台高一月考)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接，乙球处于粗糙水平地面上，甲球紧靠在粗糙的竖直墙壁上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。如图所示，施加微小的扰动使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是(　　) A．甲、乙两球的速度大小之比为∶3 B．甲、乙两球的速度大小之比为3∶7 学生用书↓第11页 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，乙球的速度为零 答案：BD 解析：设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1沿杆方向的分量为v1∥＝v1cos θ，v2沿杆方向的分量为v2∥＝v2sin θ，而v1∥＝v2∥，题图位置时，有cos θ＝，sin θ＝，解得此时甲、乙两球的速度大小之比为＝，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，有θ＝90°，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 关联物体速度的分析思路 　　 针对练1.在固定斜面体上放置物体B，B物体用绳子通过定滑轮与物体A相连，A穿在光滑的竖直杆上，当B以速度v0匀速沿斜面体下滑时，使物体A到达如图所示位置，绳与竖直杆的夹角为θ，连接B的绳子始终与斜面体平行，则物体A上升的速度是(　　) A．v0sin θ B. C．v0cos θ D. 答案：D 解析：设此时物体A的速度为v，将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示，根据平行四边形定则得v0＝vcos θ，解得v＝，故D正确，A、B、C错误。 针对练2.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)，将其放在一个直角光滑槽中。已知当轻杆与槽左壁成α角时，A球沿槽下滑的速度大小为vA，此时B球的速度vB的大小为(　　) A．vAsin α B．vAcos α C. D. 答案：D 解析：如图甲、乙所示，A球以vA的速度沿斜槽滑下时，可分解为一个使杆压缩的分运动，设其速度为vA1，另一个使杆转动的分运动，设其速度为vA2；而B球沿斜槽上滑的运动可分解为一个使杆伸长的分运动，设其速度为vB1，另一个使杆转动的分运动，设其速度为vB2。由图可知vA1＝vAcos α，vB1＝vBsin α，vB1＝vA1，联立解得vB＝，故D正确。 1．(多选)关于轮船渡河，下列说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．水流的速度越大，渡河的时间越长 B．欲使渡河时间最短，船头的指向应垂直河岸 C．欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸 D．轮船相对水的速度越大，渡河的时间一定越短 答案：BC 解析：渡河的时间长短取决于船速在垂直河岸方向上的速度分量，与水流的速度无关，故A错误；船头垂直指向河对岸时，船速在垂直河岸方向的分量最大，渡河的时间最短，故B正确；欲使轮船垂直驶达对岸，则船的速度与水流速度的合速度应垂直河岸，故C正确；渡河的时间长短取决于船速在垂直河岸方向上的速度分量，与轮船相对水的速度没有必然联系，故D错误。 2.(多选)轮渡是过去人们过河经常采用的一种交通方式。如图是摆渡船轮渡的情景，当船在A处，船头与上游河岸夹角θ＝53°过河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝200 m，船在静水中速度为v1＝10 m/s，大小不变，水流的速度不变，则下列说法中正确的是(　　) A．此时船的渡河时间为20 s B．此时河中水流速度为8 m/s C．若船选择以最短时间过河，船最短的渡河时间为20 s D．若水流速度突然增大变为15 m/s，则小船重新调整方向也无法到达正对岸B处 答案：CD 解析：根据题意可知，船渡河的合速度方向垂直于河岸，则有v合＝v1sin 53°＝8 m/s，v水＝v1cos 53°＝6 m/s，船的渡河时间为t＝＝ s＝25 s，故A、B错误；若船选择以最短时间过河，则船头垂直河岸，船最短的渡河时间为tmin＝＝ s＝20 s，故C正确；若水流速度突然增大变为15 m/s，由于船在静水中的速度小于水流速度，可知合速度方向不可能垂直于河岸，则小船重新调整方向也无法到达正对岸B处，故D正确。 3．如图所示，质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，下列判断正确的是(重力加速度为g)(　　) A．P的速率为v B．P的速率为vcos θ2 学生用书↓第12页 C．绳的拉力等于mgsin θ1 D．绳的拉力小于mgsin θ1 答案：B 解析：将小车的速度v分解为沿绳子方向的速度和垂直绳子方向的速度，沿绳方向的速度等于P的速度，即vP＝vcos θ2，随角θ2的减小，vP增大，则P做加速运动，A错误，B正确；对物体P，根据牛顿第二定律可知FT－mgsin θ1＝ma，可知绳的拉力大于mgsin θ1，C、D错误。 4．如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，左端与套在固定竖直杆上的物体A连接，右端与放在水平面上的物体B相连，到达图中位置时，绳与水平面的夹角分别为53°、37°，两物体的速率分别为vA、vB，且此时vA＋vB＝ m/s，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则vA的大小为(　　) A．4 m/s B. m/s C．2 m/s D. m/s 答案：D 解析：设此时绳子的速率为v，将A、B的速度分别沿绳的方向和垂直绳的方向分解，如图所示，可得v＝vAsin 53°，v＝vBcos 37°，结合vA＋vB＝ m/s，解得vA＝ m/s，故选D。 课时测评3　小船渡河问题与关联速度问题 (时间：30分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (选择题1－11题，每题4分，共44分) 1．(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案：AB 解析：小船船头垂直于河岸行驶，小船合速度的方向偏向下游，且过河时间最短，故A正确，C错误；小船要想横渡过河，船头就应与上游有一定的偏角，使得船在静水中沿上游河岸的速度分量与河水的速度大小相等、方向相反，合速度垂直河岸，渡河位移最短，故B正确；船头偏向下游时，合速度的方向应偏向下游，故D错误。 2．小船要渡过200 m宽的河面，水流速度是4 m/s，船在静水中的速度是5 m/s，则下列判断正确的是(　　) A．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50 s B．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸 C．小船过河所需的最短时间是40 s D．如果水流速度增大为6 m/s，小船过河所需的最短时间将增大 答案：C 解析：要使小船过河的位移最短，小船的船头应斜向上游，使小船实际运动方向与河岸垂直，这时合速度v合＝＝3 m/s，船过河所需的时间t＝＝ s，A、B错误；若使船以最短时间渡河，船头必须垂直河岸过河，过河时间tmin＝＝ s＝40 s，C正确；小船过河所需的最短时间与水流速度的大小无关，D错误。 3．(多选)(2023·黑龙江齐齐哈尔八中期末)在宽度为d的河中，水流速度为v2，船在静水中的速度为v1(且v1>v2)，船头方向可以选择，现让该船开始渡河，则该船(　　) A．不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关 B．渡河的最短时间为，此时需船头垂直河岸 C．过河的最短位移为 D．当最短位移过河时，船头与河岸夹角为α，sin α＝，船身斜向下游过河 答案：AB 解析：船渡河的时间只由船沿着垂直于河岸方向的分速度决定，不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水速均无关，故A正确；当船头垂直河岸时，船沿着垂直于河岸方向的分速度最大，此时渡河的时间最短，为，故B正确；因v1>v2，则船能垂直于河岸渡河，设船头与河岸夹角为α，满足cos α＝，此时合速度的方向与河岸垂直，过河的最小位移是d，故C、D错误。 4．(2023·安徽省安庆市期中联考)有一只小青蛙要穿过一条宽为3 m的小河到对岸寻找食物。已知两侧河岸平行，河水流动的速度为3 m/s，小青蛙没有采用跳跃方式，而是采用游泳方式过河。小青蛙在静止水面上最大的游动速度为5 m/s，下列说法正确的是(　　) A．若小青蛙以最短时间渡河，到达河对岸时在出发点的下游3 m处 B．若小青蛙以最短时间渡河，其到达对岸最短的运动时间为0.6 s C．若小青蛙以最短时间渡河，小青蛙在水中运动的轨迹是一条曲线 D．小青蛙不管如何渡河，都不能垂直游到河对岸 答案：B 解析：当青蛙垂直河岸游动时，在水中运动时间最短，最短时间为tmin＝＝0.6 s，到达河对岸时在出发点的下游位置，为x＝v水tmin＝1.8 m，故A错误，B正确；若青蛙以最短时间渡河，青蛙保持匀速运动，水流也是以恒定速度流动，则合运动为匀速直线运动，则青蛙在水中运动的轨迹是一条直线，故C错误；由于水流速度小于青蛙在静止水面上最大的游动速度，则青蛙可以垂直游到河对岸，故D错误。 5．(2023·江苏省宿迁市泗阳中学期末)小船在静水中的速度为3 m/s，它要渡过一条30 m宽的河，水流速度为4 m/s，下列说法正确的是(　　) A．这只船可能抵达河的正对岸 B．这只船的速度一定是5 m/s C．过河的时间可能是6 s D．过河的时间可能是12 s 答案：D 解析：由题知小船在静水中速度v1＝3 m/s，河宽d＝30 m，水速v2＝4 m/s，因v2＞v1，由矢量合成的平行四边形法则可知合速度不能垂直河岸，船不可能垂直于河岸抵达正对岸，故A错误；只有v1与v2垂直时合速度v＝＝ m/s＝5 m/s，其余情况不为5 m/s，故B错误；当船头与河岸垂直时，过河时间最短，最短时间tmin＝＝ s＝10 s，故C错误，D正确。 6.如图所示，汽车甲用绳以速度v1拉着汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，则此时甲、乙两车的速度之比为(　　) A．cos α∶1 B．1∶cos α C．sin α∶1 D．1∶sin α 答案：A 解析：将汽车乙的速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向，如图所示，沿绳方向的分速度等于汽车甲的速度，所以v2cos α＝v1，则甲、乙两车的速度之比为cos α∶1，故选A。 7．(2023·辽宁省大连八中阶段测试)如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA匀速向右运动，在绳与轨道成30°角时，物体B的速度大小vB与物体A的速度大小vA之比为(　　) A. B. C. D．2 答案：A 解析：将B的速度分解，如图所示， 则有v2＝vA，v2＝vBcos 30°，则＝，故选A。 8．A、B两物体通过一根跨过定滑轮的轻绳相连放在水平面上，现物体B以v1的速度向左匀速运动，如图所示，当绳被拉成与水平面夹角分别为α、β时，物体A的运动速度vA为(绳始终有拉力)(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：将A物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为vAcos α；将B物体的速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，则有沿着绳子方向的速度大小为v1cos β。由于沿着绳子方向速度大小相等，故有vA cos α＝v1 cos β，所以物体A的运动速度为vA＝，故选B。 9.如图所示，在某次抗洪救灾演练中，甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v0，船在静水中的速率均为v，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A点，乙船到达河对岸的B点，A、B之间的距离为L，则正确的是(　　) A．乙船先到达对岸 B．不论河水流速v0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A点 C．若仅是河水的流速v0突然增大，则两船的渡河时间将变小 D．若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L 答案：D 解析：将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，由于分运动与合运动具有等时性，所以甲、乙两船到达对岸的时间相等，渡河时间均为t＝，渡河时间与河水流速无关，则增大v0，两船的渡河时间都不变，故A、C错误；只有甲船速度大于水流速度时，不论水流速如何改变，只要适当改变θ角，甲船都可能到达河的正对岸A点，故B错误；若仅是河水流速v0增大，则两船到达对岸的时间不变，根据速度的分解，船在水平方向的分速度仍不变，则两船之间的距离x＝(v0t＋vcos θ·t)－(v0t－v0cos θ·t)＝2vcos θ·t，两船之间的距离和河水的流速v0无关，大小不变，故D正确。 10．在抗洪救灾时，救援人员划船将河对岸的受灾群众进行安全转移。一艘船的船头指向始终与河岸垂直，耗时6 min到达对岸；另一艘船的行驶路线与河岸垂直，耗时9 min到达对岸。假设河两岸理想平行，整个过程水流速度恒为v水，两船在静水中的速度相等且均恒为v船，且v船＞v水，则v船∶v水为(　　) A．3∶ B．3∶2 C．5∶4 D．5∶3 答案：A 解析：船头始终与河岸垂直到达对岸，有v船＝，船行驶路线与河岸垂直到达对岸，有＝，解得v船∶v水＝3∶，故A正确。 11．如图所示，用一小车通过轻绳提升一货物，某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时小车的速度为v0，则此时货物的速度为(　　) A．v0 B．v0cos θ C．v0cos2θ D. 答案：A 解析：如图所示，将车的速度v0分解为沿绳子方向的速度v绳和沿垂直绳子方向的速度v1，将货物的速度v货分解为沿绳子方向的速度v绳′和沿垂直绳子方向的速度v2，根据平行四边形定则有v0cos θ＝v绳，v货cos α＝v绳′，因为两段绳子相互垂直，所以θ＝α，联立解得v0＝v货，即货物的速度等于小车的速度，故A正确。 12．(16分)如图所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2。小船从A点出发，在渡河时，船身保持平行移动。若出发时船头指向河对岸上游的B点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C点；若出发时船头指向河正对岸的C点，经过8 min，小船到达C点下游的D点。求： (1)小船在静水中的速度v1的大小； (2)河水的流速v2的大小； (3)在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离sCD。 答案：(1)0.25 m/s　 (2)0.15 m/s　 (3)72 m 解析：(1)小船从A点出发，若船头指向河正对岸的C点，则此时v1方向的位移为d， 故有v1＝＝ m/s＝0.25 m/s。 (2)设AB与河岸上游成α角，由题意可知，此时恰好到达河正对岸的C点，故v1沿河岸方向的分速度大小恰好等于河水的流速v2的大小，即v2＝v1cos α，此时渡河时间为t＝，所以sin α＝＝0.8，故v2＝v1cos α＝0.15 m/s。 (3)在第二次渡河中，小船被冲向下游的距离为sCD＝v2tmin＝72 m。 学科网（北京）股份有限公司 $$