湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷 命题学校：黄石二中 命题教师：李朝盛 王小平 审题学校：蕲春一中 审题教师：周强锋 考试时间: 2024年11月 11日上午08: 00—10: 00 试卷满分: 150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组对象不能构成集合的是 A. 中国古代四大发明 B. 所有无理数 C. 2024年高考数学难题 D. 小于π的正整数 2. 已知集合 则A∩B= A. {x|-1<x<3} B. {x|1<x<3} C. {x|1≤x≤3} D. {x|1≤x<3} 3. 已知函数 是幂函数，且在(0，+∞)上是增函数，则实数m= A. 2 B. - 1 C. 4 D. 2或-1 4. 已知f(x)是定义在[-1,1]上的减函数, 且f(x-1)<f(1-3x), 则x的取值范围是 5. 若(a>0,b>0,a+2b=3,则 的最小值为 A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征. 下面的图象对应的函数可能是 7. 已知函数 若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集，则实数a的取值范围是 A. (-∞,-8) B. [-8,-6] C. (-∞,-6] D. (-∞,-6) 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉. 函数 称为高斯函数, 其中x∈R, [x]表示不超过x的最大整数, 例如: [-1.1]=-2, [2.5]=2, 则方程 的所有大于零的解之和为 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.. 9. 有下列四种说法，正确的说法有 A. 奇函数图象不一定过坐标原点 B. 命题 的否定是 C. 若a,b,c∈R, 则( 的充要条件是“a>c” D. 定义在 R上的函数y=f(x)对任意两个不等实数a，b，总有 成立，则y=f(x)在R上是增函数 10. 已知关于x的不等式 的解集为或x≥3}，则下列说法正确的是 A. a>0 B. ax+c>0的解集为{x|x<6} C. 8a+4b+3c>0 的解集为 11. 已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足： 且 当x>0时,. 则下列选项正确的是 A. f(0)=1 为奇函数 D. f(x)为R上的增函数 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数 的定义域为 . 13. 已知集合 若A=B, 则 14. 设函数 关于x的方程. 有三个不等实根 且 则 的取值范围是 . 三、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字、证明过程或演算步骤. 15. (13分) 设全集U=R,.已知集合. (1) 若A∩B=∅, 求实数m的取值范围; (2) 若“x∈B”是“x∈A”的充分条件, 求实数m的取值范围. 16. (15分) 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为 的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成( ，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小? 并求出所用篱笆长度的最小值. 17. (15分) 函数f(x)的定义域为 且满足对于任意 有 当x>1时, (1) 证明: f(x)是偶函数; (2) 如果. 解不等式. 18.(17分) 已知函数 为R上的奇函数，且 (1) 求实数a, b的值; (2) 试判断函数f(x)在区间( 的单调性，并说明理由； (3) 求函数 (其中 的值域. 19. (17分) 已知n为正整数, 集合 对于 中任意两个元素 和 定义： (1)当 时，设 写出 , 并计算d(α,β); (2) 若集合S满足 且∀α, 求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论； (3) 若a, 且 任取 求 的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学参考答案 1.【答案】C. 2.【答案】D【详解】因为 所以 3.【答案】B【详解】幂函数 中，令 得 解得m=2或m=-1; 当m=2时, 函数 在(0，+∞)上是减函数，不满足题意； 当m=-1时, 函数f(x)=x, 在(0,+∞)上是增函数, 满足题意; 所以实数m=-1. 4. 【答案】A【详解】由题意, 函数f(x)是定义在[-1,1] 上的减函数，因为. 得 所以x的取值范围是 5.【答案】B【详解】根据题意可得 当且仅当 即a=1,b=1时, 等号成立; 此时最小值为3. 6.【答案】A【详解】由图象可知, 函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),因为 的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞), 所以排除 D,因为 的定义域为R，所以排除C， 因为当0<x<1时, 所以排除B. 7.【答案】C【详解】 设t=f(x), 则 化为 由题意此不等式无解, 则a+2≤-4, ∴a≤-6. 8.【答案】D【详解】∀x∈R, ∃k∈Z, 使k≤2x+1<k+1, 则[ 可得 若k为奇数，则 所以 则 解得-1<k≤3, ∴k=1或k=3, 当k=1时, 当k=3时, 若k为偶数，则 所以 则 解得-2<k≤2, ∴k=0或k=2, 当k=0时, 舍去， 当k=2时, 1-2 因此，所有解之和为： 9.【答案】AD【详解】对于A，奇函数的图象不一定过坐标原点，如 是奇函数，它的图象不过原点，所以A 正确； 对于B，命题 的否定是 B错误； 对于C, 若b=0, 则由a>c不能推出 故“a>c”不是 的充要条件，故C错误； 对于D,根据题意知,a>b时,f(a)>f(b),a<b时, ，由单调性的定义知， 在 R 上是增函数，D正确. 10.【答案】BCD【详解】因为关于x的不等式 的解集为或所以a<0且方程 的两个根为-2, 3, 即 因此选项A错误； 因为c=-6a, a<0, 所以由 ax+c>0⇒ax-6a>0⇒x<6, 因此选项B正确; 由c=-6a,b=-a可知: 8a+4b+3c=8a-4a-18a=-14a>0,因此选项C正确； 因为c=-6a,b=-a, 所以由C) ), 解得： 因此选项D正确. 11.【答案】ABC【详解】对于 A, 由题可知 故 故A 正确；对于 B，由题可知j 故B 正确；对于 C, 故 为奇函数，故C 正确； 对于 D, 当 时， f(x)是R上的减函数，故D错误. 12.【答案】(-∞,-1)∪(-1,3]【详解】因为 所以 解得x≤3且x≠-1，所以函数的定义域为( 13.【答案】-2【详解】依题意可知. 由于 所以y=0, 此时 所以 解得x=-1或. (舍去), 所以2x+y=-2. 14.【答案】 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当-1<a≤0时，方程 有三个不等实根， 分别对应直线y=a与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，不妨设. 显然x₁,x₂关于x=1对称, 故. 另一个交点位于一次函数图象上， 显然它在y=-2x+6和y=0以及y=-1的交点(3,0)和 之间，故 所以， 故答案为： 15.【答案】(1){m| m<0或m>3} (2){m|1≤m≤2}. 【详解】(1) 由. 解得1≤x≤3, 所以. ……………3分因为A∩B=∅, 且B≠∅, 所以m+1<1或m>3, 解得m<0或m>3,所以实数m的取值范围是{m|m<0或m>3}………………………………………………6分 (2) 因为“x∈B”是“x∈A”的充分条件, 所以B⊆A, ………………………………………8分所以 解得1≤m≤2,所以实数m的取值范围是 16.【答案】当等腰梯形的腰长为20m时，所用篱笆长度最小，其最小值为60m. 【详解】设AB=a(m)(a>0), 上底BC=b(m)(b>0), 分别过点B，C作下底的垂线，垂足分别为E，F， 则 则下底 该等腰梯形的面积 …6分 所以(a+2b)a=1200, 则 所用篱笆长为 当且仅当 即a=20(m), b=20(m)时取等号. …13分 所以，当等腰梯形的腰长为20m时，所用篱笆长度最小，其最小值为60m. ……15分 17.【答案】(1) 证明见解析.(2)(-62,2)U(2,66). 【详解】(1) 因对定义域内的任意x₁, x₂∈D,有 令 则有f(-x)=f(x)+f(-1), 又令 得2f(-1)=f(1), 再令 得f(1)=0, 从而f(-1)=0, 于是有f(-x)=f(x), 所以f(x)是偶函数. ………………………………………………5分 (2) 由于f(4)=1, 所以3=1+1+1=f(4)+f(4)+f(4)=f(4×4×4)=f(64), 于是不等式f(x-2)<3可化为f(x-2)<f(64), 由(1) 可知函数f(x)是偶函数, 则不等式可化为f(|x-2|)<f(64), 设 则 由于 所以 所以 所以 所以 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数, ……………………………………10分可得 解得 所以不等式f(x-2)<3的解集为(-62,2)∪(2,66). …15分 18.【答案】(1) a=7,b=0.(2)(3) 答案见解析. 【详解】(1) 由函数 为 上的奇函数, 则有f(0)=0, 解得b=0,又由。f(-2)=1,可得 解得a=7……………………………………3分 (2) 函数f(x)在(1,+∞)上单调递增, 理由如下: 由(1)知, 函数 任取 有 因为 所以 即 所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,…………………………………9分 (3) 由 由(2) 得当 时， , 所以 即 , 所以函数f(x)在[0,l]上单调递减; 所以函数f(x)在[0，1]上单调递减，在(l，+∞)上单调递增，又函数f(x)为上的奇函数， 所以函数f(x)的减区间为[-1,1], 递增区间为(-∞,-1), (1,+∞). 所以, 当-3≤x≤3时,-2≤f(x)≤2, 令f(x)=t(-2≤t≤2),有 ①当 时, 即m≤-4时, 此时函数g(x)的值域为[2m+3,3-2m]; ②当 时,即-4<m≤0时, 此时函数g(x)的值域为 ③当 时,即0<m<4时, 此时函数g(x)的值域为 ④当 时, 即m≥4时, 此时函数g(x)的值域为[3-2m,2m+3]. 综上所述, m≤-4时, 值域为[2m+3,3-2m]; - 4<m≤0时, 值域为 0<m<4时, 值域为 时, 值域为[3-2m,2m+3]…17分 19.【答案】(1) α-β=(0,1,1), d(α,β)=2. (2) 最大值是4, 此时S={(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}或 S={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}, 证明见解析. (3) k. 【详解】(1) α-β=(0,1,1), d(α,β)=2………………………………3分 (2) 最大值是4. 此时S₁={(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}或:S₂={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}. 若还有第5个元素, 则必有(0,0,1)或(0,1,0)或(1,0,0)或(1,1,1)之一在S₁出现; (0,0,0)或(0,1,1)或(1,0,1)或(1,1,0)之一在S₂出现,其对应的d(α,β)=3或1,不符合题意..9分 (3) 证明: 设 所以 从而 又 当 时， 当 时， 所以 所以d(α-γ,β-γ)=k…………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$