精品解析：天津市五区联考2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

天津市部分区2024～2025学年度第一学期期中练习 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，练习用时100分钟． 使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上；不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．将正确选项填在下表中） 1. 方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 5，4， B. 5，4，1 C. 5，， D. 5，，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是5，一次项系数是，常数项是， 故选：C． 2. 在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义进行求解即可．熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如，a、b、c都是常数的方程叫做一元二次方程． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 5. 用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x﹣2）2＝n的形式，则n的值是（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】方程配方得到结果，即可确定出n的值． 【详解】解：x2﹣4x﹣2＝0， 移项得：x2﹣4x＝2， 配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6， 则n＝6． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6. 若抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值是（ ） A. B. C. 10 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．二次函数与x轴的交点就是求一元二次方程的解，由题意得，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 则， 解得． 故选：A． 7. 若一元二次方程的两个根是x1，x2，则的值是（ ） A. 8 B. C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，两根之和为，两根之积为．根据一元二次方程根与系数的关系求出，的值，即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个根为， ，， ， 故选：B． 8. 若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小， 关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：D． 9. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换．根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”，即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得：， 故选：A． 10. 在一次酒会上，参加酒会的人每两人碰一次杯，一共碰杯55次，共有多少人参加酒会？设有x人参加酒会，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．根据“每两个人都只碰一次杯”，列方程即可求解． 【详解】解：个人参加酒会，每两个人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次， ∴， 故选：C． 11. 如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点C恰好落在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．先根据旋转的性质得到，，再根据等边对等角结合三角形内角和定理求出，据此即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∴， ∴， 故选：D． 12. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质．根据表格中的、的对应值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据二次函数的图形与性质求解可得． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将、、代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为， 由知抛物线的开口向上，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，故②错误； 当时，，解得或， 方程的根为0和2，故③错误； 当时，，由函数图象解得或，故④正确； 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上） 13. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 14. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解题的关键．根据二次函数图像的性质，开口向上即二次项系数，且函数过点即当时，，得常数项． 【详解】解：设二次函数为，由开口向上得，由过点得， 取，，即函数为，满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的60元涨到了72元．设平均每次涨价的百分率为，则由题意可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 可先表示出第一次涨价后的价格，然后可得第二次涨价后的价格，根据两次连续涨价，每件售价由原来的60元涨到了72元列方程即可． 【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x， 则第一次涨价后的价格为，第二次涨价后的价格为， ∴可列方程为， 故答案为：． 16. 已知方程的两个根为和5，则抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】本题要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系．根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案． 【详解】解：函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根， ∵方程的两个根为和5， ∴的图象与x轴的交点的横坐标为和5， 则对称轴为直线， 故答案为：． 17. 已知二次函数的图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程判别式的关系，解题的关键是熟练掌握根据题意得出． 【详解】解：∵二次函数中，图象的开口向上， 又∵二次函数的图象都在x轴的上方， ∴抛物线的图象与轴没有交点， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，小球飞行过程中能达到的最大高度为____________． 【答案】20 【解析】 【分析】由，，根据二次函数的图象与性质求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为20， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），； 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练运用配方法和因式分解法是解答此题． （1）利用配方法直接解一元二次方程； （2）先对等号右边进行因式分解，再移项，再进行因式分解求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，； 20. 如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到OA′B′． （1）画出△OA′B′； （2）写出点A′的坐标； （3）求BB′的长． 【答案】（1）如图所示； （2）（-2，4）； （3）BB′=3． 【解析】 【分析】(1)根据旋转角度、旋转中心、旋转方向可确定各点的对应点,顺次连接即可得出. (2)根据图形即可写出A点的坐标. (3)利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）（-2，4）； （3）∵OB=OB'，∠BOB'=90°， ∴BB'2=OB2+OB'2=2OB2=2×32=18． ∴BB′=3． 【点睛】本题考查旋转作图及勾股定理的应用,难度不大,关键是根据旋转的性质准确作出图形. 21. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 【答案】（1） 证明：∵关于x的方程（m为常数）． ∴，即， ∴不论为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解； （2）将方程的根代入方程中，再进行移项即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一个根是， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键． 22. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标； （3）当时，y随x增大而______（填“增大”或“减小”）． 【答案】（1）对称轴是直线，顶点坐标为； （2）与x轴的交点坐标为，； （3）减少 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，与坐标轴的交点问题、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）将题目中的函数解析式化为顶点式即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）令，可求出与x轴的交点坐标； （3）根据二次函数的图象开口向上，以及对称轴是直线可得x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴这个二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得：，， 与x轴的交点坐标为，； 【小问3详解】 解：∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∵对称轴是直线， ∴当时，随增大而减少． 故答案为：减少． 23. 某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元； （2）设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润？ 【答案】（1）2000 （2）①；②该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答关键是将实际问题转化为二次函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用． （1）根据“总利润每件的利润每天的销量”可得； （2）①根据“总利润每件的利润每天的销量”列出函数表达式即可求解； ②运用二次函数性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：商场经营该商品原来一天可获利润（元） 故答案为：2000． 【小问2详解】 ①依题意得： ∴y与x之间的函数关系式为 ②∵，且 ∴当时，商店所获利润最大为2250元． 即：该商品每件售价5元时，商场可获得最大利润． 24. 如图，在正方形中，E为上一点，把绕点A顺时针旋转至的位置，使得F，B，C三点在一条直线上． （1）旋转角的大小为______（度）； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）90 （2）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转前后对应边相等，对应角相等；以及勾股定理． （1）根据正方形的性质和旋转的性质，即可解答； （2）根据旋转的性质得出，，，利用直角三角形的性质结合勾股定理，即可解答． 【小问1详解】 解：∵顺时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴旋转中心是点A，旋转角度为， 故答案为：90； 【小问2详解】 解：∵顾时针旋转至的位置，四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， 根据勾股定理可得：． 25. 如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 【答案】（1）， （2） （3）最大值为， 此时点 【解析】 【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点的坐标，结合当时，，可得点C的坐标； （2）将，，代入，利用待定系数法即可求解； （3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用勾股定理可得，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴； 【小问2详解】 将，，代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为：； 【小问3详解】 设直线函数表达式为：， 将点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H，    ∵， ∴， ∵轴， ∴， 则， 由，得， 设点，则点， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时点． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数，勾股定理，用二次函数关系表示是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2024～2025学年度第一学期期中练习 九年级数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，练习用时100分钟． 使用答题卡的地区，将答案写在答题卡上；不使用答题卡的地区，将答案写在练习卷上． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．将正确选项填在下表中） 1. 方程化成一般形式后，二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A. 5，4， B. 5，4，1 C. 5，， D. 5，，1 2. 在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 0 C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x﹣2）2＝n的形式，则n的值是（　　） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 6. 若抛物线与x轴只有一个公共点，则m的值是（ ） A. B. C. 10 D. 16 7. 若一元二次方程的两个根是x1，x2，则的值是（ ） A. 8 B. C. D. 16 8. 若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为：( ) A. B. C. D. 10. 在一次酒会上，参加酒会的人每两人碰一次杯，一共碰杯55次，共有多少人参加酒会？设有x人参加酒会，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点C恰好落在上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 m 3 … 有以下几个结论： ①抛物线的开口向下； ②抛物线的对称轴为直线； ③方程的根为0和m； ④当时，x的取值范围是或． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上） 13. 抛物线的顶点坐标是______． 14. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 15. 由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的60元涨到了72元．设平均每次涨价的百分率为，则由题意可列方程为_______． 16. 已知方程的两个根为和5，则抛物线的对称轴为直线________． 17. 已知二次函数的图象都在x轴的上方，则实数k的取值范围是______． 18. 如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，小球飞行过程中能达到的最大高度为____________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，点O、B坐标分别为（0，0）、（3，0），将△OAB绕O点按逆时针方向旋转90°到OA′B′． （1）画出△OA′B′； （2）写出点A′的坐标； （3）求BB′的长． 21. 已知关于x的方程（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是，求的值． 22. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标； （3）当时，y随x增大而______（填“增大”或“减小”）． 23. 某商品经销商通过网络直播平台推销某商品，将每件进价为80元的该商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件． （1）求商场经营该商品原来一天可获利润______元； （2）设该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元． ①求y与x之间的函数关系式； ②该商品每件售价多少元时，商场可获得最大利润？ 24. 如图，在正方形中，E为上一点，把绕点A顺时针旋转至的位置，使得F，B，C三点在一条直线上． （1）旋转角的大小为______（度）； （2）若，，求线段的长． 25. 如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且． （1）求A，C两点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $