精品解析：2026年山东临沂市沂南县初中学业水平二轮模拟考试数学试卷

2026年初中学业水平二轮模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 据悉，某国产高端单台服务器搭载的自研芯片，每秒可以完成亿次浮点运算，能支撑超大规模工业仿真计算．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 8. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 9. 如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（ ） A. 只有一个正实数根 B. 有一个正实数根，两个负实数根 C. 有两个正实数根，一个负实数根 D. 有三个正实数根 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____________． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根为－1，则另一个根为______． 13. 如图，扇形中，，点分别在上，连接，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 14. 如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 15. 数学兴趣小组的同学们发明了一种“云科技”变换，对于正整数n，当n为奇数时，变换方式为；当n为偶数时，变换方式为．经过变换得到新的正整数，再进行相同的变换，直到结果为1时停止．我们把一个正整数通过上述变换得到1所经过的变换次数记为m．例如，4经过2次变成1，则；3经过7次变成1，则．若输入正整数n，且，则所有满足题意的n值的和为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图1，在中，，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点和点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点． （1）判断的形状并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点，已知，．求的长． 18. 近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． （1）求关于的函数表达式； （2）如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 19. 在航空领域飞速发展的当下，2024年12月26日，中国自主研发的第六代战斗机在成都飞机工业公司的黄田坝机场成功完成了首次试飞，这一里程碑事件，照亮了中国空军迈向未来的道路．某校组织了“强国有我”知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后，发现该校全体学生的测试成绩均不低于80分，现从七、八年级中分别随机抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A组：，B组：，C组：，D组：），并绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级中C组学生的成绩如下： 七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90； 八年级C组学生的成绩：92，94，92，91，92，92，94，93，92； 七、八年级抽取20名学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a 94 49 八年级 93 92 b 【解决问题】 （1）填空：__________，__________，__________； （2）已知该校七、八年级分别有1000名学生，若学生测试成绩达到90分以上（含90分）为优秀，请你估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； （3）补全条形统计图； （4）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对“强国有我”相关知识了解得更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 20. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 21. 如图，是的外接圆，为的半径，连接并延长交于点．过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，求及的长． 22. 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． （1）操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； （2）继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 23. 【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． （1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； （2）【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； （3）【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平二轮模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】比小的数为负数且绝对值大于3，据此即可解答． 【详解】解：∵ 正数大于负数， ∴，排除D． ∵ 负数比较大小，绝对值大的数反而小，，，，， ∴，即选项A符合题意． 2. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个分析选项． 【详解】解：A、是轴对称图形，但旋转后和原图不重合，不是中心对称图形； B、既可以找到对称轴对折重合，绕中心旋转也和原图重合，即是轴对称，又是中心对称图形； C、是轴对称图形，但旋转后和原图不重合，不是中心对称图形； D、是轴对称图形，但旋转后和原图不重合，不是中心对称图形． 3. 某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据三视图判断几何体． 根据三视图的形状，结合三视图的定义以及几何体的形体特征进行判断即可． 【详解】解：由于这个几何体的俯视图是“凸”形可知其底面是“凸”形，主视图和左视图都是长方形，因此这个几何体是． 故选：D． 4. 据悉，某国产高端单台服务器搭载的自研芯片，每秒可以完成亿次浮点运算，能支撑超大规模工业仿真计算．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：亿=． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用合并同类项，完全平方公式，单项式除以单项式法则，积的乘方，逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，则A错误； B、，则B错误； C、，计算符合运算法则，则C正确； D、，则D错误． 6. 不等式组的整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集内的整数，统计个数即可得到答案 【详解】解：解不等式， ， ， 解不等式， ， 则不等式组的解集为， 该范围内的整数为，共3个 7. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可． 此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表如下： - - - - 由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种， 灯泡发光的概率为， 故选：A． 8. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，多边形的外角和定理的应用，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为，证明，结合，可得正多边形的一个外角的大小，从而可得答案． 【详解】解：如图，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为， ∵正多边形的每一个内角都相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该正多边形正八边形． 故选：C 9. 如图，菱形的对角线、交于点，，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、垂线段最短，根据菱形的性质可知，，，利用勾股定理即可求出，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得：，根据垂线段最短可知当时，最短，利用三角形的面积公式即可求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，连接， 四边形是菱形， ，，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，最短， 设中边上的高为， ， ， ， 的最小值是， 即的最小值是. 故选：A． 10. 著名数学家华罗庚曾说过“数形结合百般好，隔离分家万事休”．小明同学判断方程实根的情况时，构造了一次函数和反比例函数，然后在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，发现在第一象限和第三象限各有一个交点，从而确定方程有一个正实数根和一个负实数根．请用类似的方法判断方程实根的情况，你的结论是（ ） A. 只有一个正实数根 B. 有一个正实数根，两个负实数根 C. 有两个正实数根，一个负实数根 D. 有三个正实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先推导出，再化简方程，得到，在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象，由两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点，得到方程有一个正实数根，两个负实数根，即可解答． 【详解】解：当时，原方程不成立， ∴， 将方程的常数项移到等式右边，得 ， 变形整理得， 在同一平面直角坐标系中画出与的大致图象如解图， ∵两函数图象在第一象限有一个交点，在第三象限有两个交点， ∴方程有一个正实数根，两个负实数根． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件确定x的取值范围即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：且； 故答案为：且 【点睛】本题考查分式成立的条件及二次根式有意义的条件，掌握分母不能为0和被开方数不能为负数是本题的解题关键． 12. 已知关于的一元二次方程的一个根为－1，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，设另一个根为，则，即可求解． 【详解】解：设另一个根为， ∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，扇形中，，点分别在上，连接，点，关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，证明为等边三角形，根据，求出扇形的半径，然后求出，，，即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： 根据折叠可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ， ∴， ， ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，弧长的计算，等边三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是作出辅助线，求出扇形的半径． 14. 如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，即可解答． 【详解】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得． 15. 数学兴趣小组的同学们发明了一种“云科技”变换，对于正整数n，当n为奇数时，变换方式为；当n为偶数时，变换方式为．经过变换得到新的正整数，再进行相同的变换，直到结果为1时停止．我们把一个正整数通过上述变换得到1所经过的变换次数记为m．例如，4经过2次变成1，则；3经过7次变成1，则．若输入正整数n，且，则所有满足题意的n值的和为________． 【答案】37 【解析】 【分析】我用倒推法，结合“得到1就停止变换”的规则，逐步推导所有满足（经过5次变换得到1）的正整数即可解答； 【详解】解：∵， ∴第5次变换后得到1，因此第4次变换后的结果只能是（若第4次是奇数，无正整数解，仅偶数满足，此时）． 第4次结果是，因此第3次变换后的结果只能是（奇数无正整数解，仅偶数满足，此时）． 第3次结果是，第2次变换结果有两种可能： 奇数：，解得，若第2次就得到1，变换提前停止，总次数为，舍去； 偶数：，解得：，符合要求，保留． 第2次结果是，因此第1次变换后的结果只能是（奇数无正整数解，仅偶数满足，此时）． 第1次结果是，初始有两种符合要求的可能： 奇数：则，解得，验证：，共5次变换，符合； 偶数：则，解得，验证：，共5次变换，符合． 所有满足题意的为和，和为． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算、化简求值： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时， 原式． 17. 如图1，在中，，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点和点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点． （1）判断的形状并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点，已知，．求的长． 【答案】（1） 解：为等腰三角形，理由如下： ，， ， 由作法得平分， ， ， ，即为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得为的平分线，计算角度可得为等腰三角形； （2）根据题意可得为的垂直平分线，可得，则可得，利用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由作法可得为的垂直平分线， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得．即 18. 近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． （1）求关于的函数表达式； （2）如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1） （2）建设座种换电站可使投资总额最少，为万元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出一次函数关系式，即可求解； （2）根据种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，得，进而根据一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：因为要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍， 所以，解得； 因为一次函数中，随的增大而减小， 所以当时，； 答：建设座种换电站可使投资总额最少，为万元． 19. 在航空领域飞速发展的当下，2024年12月26日，中国自主研发的第六代战斗机在成都飞机工业公司的黄田坝机场成功完成了首次试飞，这一里程碑事件，照亮了中国空军迈向未来的道路．某校组织了“强国有我”知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后，发现该校全体学生的测试成绩均不低于80分，现从七、八年级中分别随机抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A组：，B组：，C组：，D组：），并绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级中C组学生的成绩如下： 七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90； 八年级C组学生的成绩：92，94，92，91，92，92，94，93，92； 七、八年级抽取20名学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a 94 49 八年级 93 92 b 【解决问题】 （1）填空：__________，__________，__________； （2）已知该校七、八年级分别有1000名学生，若学生测试成绩达到90分以上（含90分）为优秀，请你估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； （3）补全条形统计图； （4）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对“强国有我”相关知识了解得更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1），， （2）估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数约为人； （3） 补全图形如图所示， （4） 七年级的学生对中华优秀传统文化故事相关知识了解的更好一些， 理由：因为七、八年级学生成绩的平均数相等，虽然八年级成绩的中位数略高于七年级，但七年级成绩的众数大于八年级，且方差更小，成绩更稳定，所以七年级的学生对中华优秀传统文化故事相关知识了解的更好一些． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，频数分布直方图，用样本估计总体和扇形统计图，能从统计图中提取有用信息是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解，结合求解即可； （2）总人数分别乘以七、八年级优秀人数所占比例，再相加即可得出答案； （3）根据，再补全图形即可． （4）根据众数、中位数、方差的意义分析判断即可． 【小问1详解】 解：七年级成绩的中位数是第10、11个数据的平均数，而这2个数分别为90、90， 所以其中位数， 八年级成绩在A组人数为人，组人数为人，C组成绩为92的有5人， 所以其成绩的众数． 而， ∴； 【小问2详解】 解：人， 答：估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数约为人； 【小问3详解】 解：∵七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90；共人， 补全图形略 【小问4详解】 略 20. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【答案】（1）的长度约为 （2）点到台面的距离约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 21. 如图，是的外接圆，为的半径，连接并延长交于点．过点作的切线，交的延长线于点，且． （1）求证：； （2）若，求及的长． 【答案】（1） 证明：如图，延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵，， ， ， ， ∴， ∴， ． 又， ∴， 垂直平分， ∴． （2）； 【解析】 【分析】（1）延长交于点，连接，先利用等边对等角以及三角形外角性质，证明，接着利用三角形内角和证明，得到，结合，即可判断垂直平分，从而得证； （2）由（1）知，利用求得，再用勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理，，解得，最后利用，对应边成比例即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，由（1）知， ， ． 在中，，即， ； ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ， ， ∵是 的切线， ∴， ， ， ， ，即， ． 22. 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展探究活动．如图，在中，，为斜边的中点，，保持不动，以点为旋转中心，按顺时针方向旋转． （1）操作发现：旋转一定角度，如图1，记和分别与交于点，，当时，和的数量关系为______； （2）继续旋转一定角度，如图2，当线段经过点时，连接，若时，试判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）实践探究：在整个旋转过程中，当边在下方，，时，设线段与直线交于点，与交于点，直线交射线于点，连接．如图3，若的直角边恰好与垂直，请求出的长． 【答案】（1） （2）解：四边形是菱形．证明如下： ∵在中，，是斜边的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】（1）先得出，再得出，，则，进而可得，然后根据等腰三角形的判定即可得； （2）先得出是等边三角形，则，，再得出，，则四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得证； （3）先求出，，，的长，再证出，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中，，，， ∴，， ∵为斜边的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴在中，． 23. 【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． （1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； （2）【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； （3）【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． 【小问2详解】 解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． 【小问3详解】 解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $