福建省泉州市安溪一中，惠安一中，养正中学，实验中学2024-2025学年高三上学期11月期中联考数学试题

安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2024年秋季高三年期中联考 考试科目：数学 满分，150分 考试时间：120分钟 一、单项选择思：本思共8小愿，每小是5分，共40分。在每小思给出的四个选项中，只有一项是符合思 目要求的。 1.·已知集合A={dx2-9x+20s0,B={材1og(x-3)<1,则AnB=( A.（∞，5) B.[4,5) C.（, D.(3, 2.已知复数：满足z0-)1+i护，则z=《). A.1-i B.-1-i C.1+i D.-1+i 3.已知向量a,方满足1a2,1a-2外2，且(G-而1a,则-(). A号 B.5 c.1 D.2 4.甲、乙两校各有3名较师报名支救，现从这6名教师中随机派2名教师，则被派出的2名教师来自同一 所学校的概率为() A月 c月 D. 5已知血(0-0)-as0:o40"em0且0（引 则0=( A月 B.-君 c月 D.月 ,0sx52 16 6.已知函数f(x)是定义在R上偶函数，当x之0时，() 若函数y=(x)-m仅有4个 +lx>2 零点，则实数m的取值范围是( A(周 ( D.（到 ,7.已知函数f)=e小-c+x,则满足f(2m-)+f(m一)>6的实数m的取值范围是(). a后+mB.月e c.(仔o D.(3,+o 8.双曲线C号-号-a>0的左，右焦点分别为R,5,离心率为气，右支上一点P满足P吹1PR。直 线平分∠P明，过点R,F作直线！的垂线，垂足分别为A,B,设0为坐标原点，则△OAB的面积为(). A.25 B.4W5 C.10 D.105 二、多项进择愿：本题共3小题，每小愿6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合思目婴求， 全部选对的得6分，.部分选对的得部分分，有选错的得0分， 月>>山且ceR,则下列关系政中一定立的是《） B.a>b c.n(a2+1)>n(6+l) D.c'a<c'b 10.已知函数()-2血(ar+)>0州的图象经过点，同)，则下列说法正确的是（】 A.若0=2，则f()对任意的x都有∫(x+)=f(x) B.若∫()的图象关于直线x=对称，则m=1+3kk∈N c.者问在0，吲引上单满港嘴，则0的取值瓶强 D。若方程f(x)=1在[0，上恰有两个不同的实数解，则@的取值范围是 11,已知函数f(x)=a血x+x+1,a∈R,则下列说法正确的是(】 A.若a=1,则f(x)的图象在x=1处的切线方程为y=2x B.若∫(x)在(L+o)上单调递增，则a的取值范围是[-山+o) C.若当x>1时，f(x)s(e,则a的取值范围是(，-2习 D.若a>0,f(x)有唯一零点，，且为满足为=si血+ae2,则，>名>0 三、填空题：本大愿共3小思，每小题5分，共15分. 12. 3(x-业的展开式中的常数项为 13.在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2,os2B+cosB✉1-cos(A-C), 当2a+c取得最小值时，则△ABC最大内角的余弦值是 14,已知函数f(x)=√+x-a,若曲线y= +上存在点（名，为，使得//心》=为，则实数a的取位 范围是 2 四、解容思：本大思共5小题，共T7分，解答应写出文字说明、证明过程取演算步障 15.(13分)如图，在直三棱柱ABC-A8G中，∠ACB=90,CA=CB=CC=3,D是梭BB的中点， P是GD的延长线与CB的延长线的交点， (1)求证：AP∥平面ACD, (2)若点E在线段AP上，且点E为靠近点A的三等分点， B 求直线AE与平面ACD所成的角的正弦值， 16.(15分)在02a-b=2ccoB,②， .sin4,③acosB+bcos4.5d+-,这三个 a+bc sinB 2absin C 条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解客。 问题：在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 (1)求角C: (2)若B边上的高为1，△MBC的面积为5，求△MBC的周长. 3 (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.) 、1n.(15分)已知函数/(-x2+x-(a+x,aeR (1)当a>0时，讨论f()的单调性 (2)当a>0时，设g)-但，若g)既有极大值又有极小值，求a的取值范围。 1设.”分)已知精雷C芳+卡=a>b>0,么，P分制为精质c的左顶点和右焦点，过F作每素 3* 不为0的直线/交椭圆C于点P,两点，且AF=3,当直线1Lx轴时，Pg=3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线AP,，AQ的斜率分别为所，k,且k+人=1，求直线！的方程： (3)设直线P交y轴于点E,若过0点作直线P的平行线OM交椭盟C于点M,求出 OM 的 最小值. M 19.(17分)若存在常数t,使得数列{a,}满足a-44吗a,=t(n之1，.neN).则称数列{a,}为“H( 数列” (1)判断数列：1,3,5,10,152是否为“H(2)数列”，并说明理由： (2)若数列{a.}是首项为2的“H0数列，数列色，}是等比数列，且{a}与6，)满足之4-44,4日，+ogb, 求！的值和数列{亿，}的通项公式， (3)若数列{a}是“)数列”，S,为数列{a,}的前n项和，马>l,t0,正明：t>S-S,- 安溪一中、养正中学、意安一中、泉州实验中学 2024年秋季高三年期中联考参考答案 一、单速题BCDB AADC 二、多速题(9)AC(10)ACD (11)ACD 三、填空题(12)105 (13)-2 (14)[山，©) 4 &【讲郴】由双曲线C号-号=Ke>0的离心率为受，得匠西9 2 解得d2=20, a 2 令直线FA交PR的延长线交P明于Q,直线FB交P5于N,则PA⊥F2,PB⊥FN, 由PA平分FPR,且∠FPR=90,得∠PF2=∠PQ5=∠PN=∠PNR=4S, 则P491RMPa卧号1 14HPA--Par号2a-a, 2 显然A,B分别为线段E2,FN的中点，而O是F5的中点，于是OA/P2,OB/P明， 20B-0-5=听=0a4,即408-01o4H08卧号18ra, 所以△0MB的面积5=1o4f-女2=10. 故选：C 1山.【详解】对于A选项，"(x)=血x+2,"()=2,f()=2切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x, A选项正确 对于B进项，若f()在(Lo)上单调递增，则对-切x(1,∞)郁有f(x)-a(nx+l)+1≥0. 当a之0时，由x>0知满足条件：当a<0时，r了0门-a<0,不满足条件 因此a的取值范圈是[0，∞)，B选项错误. 对于C选项，当x>1时，f八)sey等价于as广--l xinx 而c-X-地-x-之区-2x+=.-2(用到不等式e≥x+1(xeR)》, xinx xinx xinx 证明如下：记h(x)=e-x-1,则H(x)=c-1, x<0时，()<0，x>0时，(x)>0,故(x)在(，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增， 因此对-切xeR有h()2h(0)=0,即：2x+1,等号成立当且仅当x-2x=0,结合x>1知x=6 因此a的取值范围是(-9，-2，C选项正确。 对于D选项，由a>0知f()=a(x+l)+1在(0，+o)上单调递增， 令∫()=0得血以=-1-a,且f(x)在(0，)上单调递减，在（名，∞）上单调递增， 结合条件知了(x)=f()=0,是f(x)的唯一零点，故， 则0=f()=匹(1-a)+x+1=-m+1→a= 于是此+名+1=0，由m(x)=x+x+1在(0，+o)上单调递增， 结合m(e）=e3-1<0,m(e)=e>0知e(e2,e） 这样，由名-ix=ae3>0结合p(x)=x-sir在R上单调递增（因为p(x)=1-cor之0，等号成立当且仅 当x=2h(keZ)及(0)=0知为>0 由(x)=()-(cx)在(0，+)上单调递增，结合∈(，e)知 (x)=p(3)-(dx)尸<e-si血e1-。=s血e<0=p(-(cx), 即(3)<（名），又()在R上单调递增，故马>名>0，D选项正确. 业【佛】由题塞可兔为斋， 因为曲线y网中上存在点(，%小，使得/心，》-%， 所以存在。e[0,1),使得∫(%)-%成立，且∫(x)=V+x-a在定义域内单调递增， 下面证明：f(以)=。成立， 假设f()=c>%,则f((y》=f()>∫()-c>为，所以不满足f(》=,假设不成立， 假设f)=c<为，则f(/》-f()<f)-c<,所以不满足f(()-%,假设不成立， 由上可知，f(%)=%: 则原问题等价于“f(x)=x在0,1]上有解，即“a■心+x-在[0，)上有解”， 设g(x)=e+x-x2,xe0,),所以8(x)=d+1-2x,令(x)=g(x).则(x)=e-2, 令s(x)=0,解得x=血2， 当xe0,血2)时，(x)<0,g()单调递减，当x∈（血2,1）时，()>0,8()单调递增， 所以g(x)2g(血2)=。+1-2h2=3-2h2>0, 所以g(x)在[0,1)上单调递增， 所以g()的值域为[g(0),g(),即为[le),所以a∈[山，e), 四、解答愿 15.(1)连接AC交4C于点M,连接MD,如下所示：…1分 因为BC-A8G是直三校柱，故可得AGC4是矩形， 故M为AG的中点，又D是BB的中点，所以BD=BD,…2分 又'∠RDC=∠BDP,∠CBD=∠PBD=90, AB DC ABDP, CD=PD,即D是GP的中点，…3分 故在△CP中，M,D分别为C4,CP的中点， 故可得MD∥P, 4分 又MDc平面ACD,APg平面ACD, ”…5分（线在面外没写扣1分） 故P面ACD …6分 (2)因为ABC-A8G是直三校柱，故可得CC⊥平面BC, 又C4,CBc平面4ABC,则CG⊥C4,CC⊥CB,又∠ACB=90°， 故CA⊥CB,综上可得CC,C4CB两两垂直， 故以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则coa,o.caa4ao,4a0a3o,4Q3,.0引 由(1)知P=GA,故CP=6,则P(0,6,0): 则网-a3.而=0a,}4g-(3ao.o-03-引 …8分 设平面4CD的一个法向量为=（名以，2）， mC可=0 「x+z=0 故可得人 西-0甲{r安=0不动取2，则-21-2小0分 又正=亚=(-12,0)， 则点E的坐标为(2,2,0)，则4E=(-1,2,-3)…11分 又设直线4E与平面4CD所成的角为日， 故可得如9=cos(死，m= 6 4E例14×37 所以直线4E与平面4CD所成的角的正弦值为 …13分 (公式没加绝对值扣1分，结论没写不扣分) 16.【详解】(1) 选①2a-b=2 ccosB 因为2a-b=2 ccosB,由正弦定理可得2sinA-抽B=2 sin Co0sB,…2分 且抽A=s血(B+C)=si如BoosC.+cos BsinC,4分 即2s血BcosC+260sBst血C-5血B=2shCc0sB,整里可得2c0sCsi血B-s血B=0,…5分 且8s0,,则血8+0，可得2c0sC-1=0,即cosC=…6分 且C∈(0，，所以C= …7分 3 a 选@a+6- sinA sin B 在△ABC中，由正弦定理得 sinA a 4…2分 sinB b a 因为。+8-c1 sinA ，所以 sin B -号 化简得a2+b2-c2=ab 45分 在△MBC中，由余弦定理得cosC=+-E 2ab 又因为0<C<元，所以C=? …7分 3 进回由+-c =C0sC acosB+bcos4 (a+8-d) 2ab 2absinC 有acos B+bcos4_5cosC 2分 sinC 又由正弦定理，有血4cosB+si血Bcos4=5cosC 5分 sinC sinC 有血(4+】.5coS,有血S-5os ,有mC=5, sinC sinC sinC sinC 又由Ce(0,,可得c= 4447分 3 (2)因为B边上的离为1，△BC的面积为 3 所cx1-，得2 …8分 3 3 9分 2 2 由余弦定理得e=d2+8-2 abcosC, 得d2+=8 所以4+2a-号骨-9ee+献9。 所以a+b=4E」 …l3分 所以a+b+c 4525.25, 3*3 即△BC的周长为2万.… …15分 1n.【详解】①当a>0时，问的定文球为0，+，/问=g+-a+)=区--，…1分 当a=1时，了问--之0恒威立，f问在0+四上为透数： …2分 当0<x<二或x>1时，f()>0,当二<x<1时，f'()<0, …3分 所议的单迷装区同为o》+o,单清送减区同为台 …4分 当0<a<1时，>1，当0<x<1或x>上时，f6闭>0，当1<x<上时，f闭<0， …5分 所以)的单调递区间为@侣树单调递减区侧为日)一 6分 综上所述，当a=1时，f()在(0，+∞)上为增函数： 当a>1时，刊的华清超理区得为色时》化+o).单移流区同为化 当0<a<1时，)的华演递摧区同为(（日+树单话迷减区阀为日） …7分 2)图为g-但-+-(e+,所似g-+ n…8分 2 若g()既有极大值又有极小值，则8(x)至少存在两个变号零点， 即色二.至少有两个不同实数根，…………9分 2 2 记树刻号，则倒2产兰，…0分 当0<x<时，h6树>0，当x>时，h()<0,…1分 10