专题03 三角形的内切圆重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题03 三角形的内切圆重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 由三角形的内切圆求面积 题型二 由三角形的内切圆求最值 题型三 面积与内直角三角形周长、切圆半径的关系 题型四 圆外切四边形模型 题型五 三角形内心有关应用 题型六 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型七 三角形内切圆与外接圆综合 题型八 圆的综合问题 知识点一 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 【经典例题一 由三角形的内切圆求面积】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是 ．    3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 【经典例题二 由三角形的内切圆求最值】 【例2】（2023春•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 1、（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 2、（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ． 3、（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，矩形的顶点A，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 ．    【经典例题三 面积与内直角三角形周长、切圆半径的关系】 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r    四者之间的关系是 （     ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·四川泸州·开学考试）在边长为的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，则该圆的半径是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·福建漳州·自主招生）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”答：直径是 步． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 【经典例题四 圆外切四边形模型】 【例4】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 1．（22-23九年级·全国·课后作业）下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 2．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 3．（2022九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【经典例题五 三角形内心有关应用】 【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·甘肃平凉·期末）已知中，，点I是它的内心，则 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接． (1)找出图中所有与相等的线段，并证明； (2)若，求的周长． 【经典例题六 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例6】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 1．（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为 ． 3．（2024·北京·模拟预测）在边长为1的正三角形内放入个半径相同、彼此相切的圆，使得它们的半径为最大． (1)当 (2)当，选择作图工具，作出一种符合情况的图形（保留痕迹） (3)当，求的长度．（可画示意图说明） 【经典例题七 三角形内切圆与外接圆综合】 【例7】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ）    A．4 B．5 C． D． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）设的内接三角形满足，则的内接正方形的面积等于 ． 3．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【经典例题八 圆的综合问题】 【例8】（2024·安徽阜阳·三模）直线与相切于点C，弦，若D是上的一个动点，且使，则下列结论错误的是（    ） A．的最大值是4 B．当时， C．的最小值是2 D．当时， 1．（22-23九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，为的直径，D，E是上的两点，过点D作的切线交AB的延长线于点C，连接、、，．若，，则的半径为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如下图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案： 外接圆的半径______； 的内心与外心的距离______． 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）下列四边形中一定有内切圆的是（） A．直角梯形 B．等腰梯形 C．矩形 D．菱形 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24九年级上·山东滨州·期末）若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 5．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·全国·期中）在，，，，为的内切圆，与三边的切点为、、，则的半径为 ． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为 ． 8．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，等边三角形内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是 ． 9．（2024九年级下·江苏·专题练习）一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是 ． 10．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 11．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知如图，的内心为，连接并延长交的外接圆于点． (1)求证：； (2)直接写出点D是连接图中哪三个点构成的三角形的外心． 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，请用尺规作图法求作三角形的外接圆和内切圆．（保留作图痕迹，不写作法）      14．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 15．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形的内切圆重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 由三角形的内切圆求面积 题型二 由三角形的内切圆求最值 题型三 面积与内直角三角形周长、切圆半径的关系 题型四 圆外切四边形模型 题型五 三角形内心有关应用 题型六 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型七 三角形内切圆与外接圆综合 题型八 圆的综合问题 知识点一 三角形的内切圆 （1）有关概念：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心。 （2）三角形内心的性质：三角形的内心到三条边的距离相等。 点拨： （1）设直角三角形的两条直角边长为斜边长为c，则它的内切圆半径； （2）三角形的顶点到其所在两边上的内切圆切点的距离相等； （3）三角形的周长与内切圆半径乘积的一半等于这个三角形的面积，即其中为的内切圆半径，分别为的三边长。 （3）切线长 （1）定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫作这点到圆的切线长。 （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 点拨：切线长定理包括线段相等和角相等的两个结论及垂直关系等。 （4） 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，该多边形叫做圆的外切多边形． 【经典例题一 由三角形的内切圆求面积】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·期中）设一个直角三角形的两直边的长分别是的两个实数根，则这个直角三角形的内切圆的面积为（　　） A．π B． C． D． 【答案】A 【分析】设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，由题意可得，由勾股定理得，，如图，则，即，可求，进而可求这个直角三角形的内切圆的面积． 【详解】解：设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b， ∵直角三角形的两直角边长是方程的两个实数根， ∴， 由勾股定理得，， 如图， ∴，即， 解得，， ∴这个直角三角形的内切圆的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径等知识．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形，勾股定理，三角形内切圆的半径是解题的关键． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：C． 2．（23-24九年级上·甘肃武威·期末）如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法，勾股定理．根据已知得出是解题关键． 设、、与的切点分别为、、，证得四边形是正方形，然后根据切线长定理可得：，由此可求出半径的长，然后利用图中阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】解：如图所示，设、、与的切点分别为、、    在，，，， ∴， 四边形中，，， 四边形是正方形， 由切线长定理，得：，，， ， ∴． ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 3．（2023·浙江·模拟预测）如图，在中，，，，，两锐角的角平分线交于点P，点E，F分别在边，上，且．    (1)求内切圆的半径 (2)求的周长. 【答案】(1)2 (2)4 【分析】 （1）根据题意过点作于，于，于，得到点P是内切圆的圆心，根据三角形面积公式即可求解； （2）在上取一点，使得，连接，进而利用全等三角形的性质证明，即可得出结论． 【详解】（1） 解：如图，过点作于，于，于，    平分，平分，，，， ，， ， 点P为三角形内切圆的圆心， ， ， ， 即内切圆的半径为2； （2） 解：在上取一点，得，连接． ∵，， 四边形是正方形， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长， ， 的周长为4． 【点睛】 本题考查三角形内切圆，直角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【经典例题二 由三角形的内切圆求最值】 【例2】（2023春•扬州月考）如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　 　． 【分析】当该圆为三角形内切圆时面积最大，设内切圆半径为r，则该三角形面积可表示为：r（AB+AC+BC）＝21r，利用三角形的面积公式可表示为•BC•AD，利用勾股定理可得AD，易得三角形ABC的面积，可得r，求得圆的面积． 【解答】解：如图1所示， S△ABC•r•（AB+BC+AC）r×42＝21r， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2， 设CD＝x， 由勾股定理得：在Rt△ABD中， AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2， 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2， ∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2， 解得：x＝9， ∴AD＝12， ∴S△ABCBC×AD7×12＝42， ∴21r＝42， ∴r＝2， 该圆的最大面积为：S＝πr2＝π•22＝4π（cm2）， 故答案为：4πcm2． 1、（2023春·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，，点E、F分别是AD、BC的中点，点P在线段EF上，内切圆半径的最大值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形APB的面积为12，可知AP+BP最小时，r有最大值，连接CA与EF交于点P'，求出AC=10，由三角形面积公式可得出答案． 【详解】解：∵点E、F分别是AD、BC的中点，四边形ABCD是矩形， ∴EF∥AB， ∵P在EF上，AB=8，BC=6， ∴S△PAB=×8×3=12， 设△PAB内切圆半径是r， ∵S△PAB=（AP+PB+AB）•r=12， ∴AP+BP最小时，r有最大值， 如图，F是BC的中点，所以点B关于EF的对称点是C点，连接CA与EF交于点P'， ∵AP+BP=AP+CP≥CA， ∴此时CA即为AP+BP最小值， ∵AB=8，AD=6， ∴AC==10， ∴AP+BP最小值为10， ∴PA=PB=5， ∴×5×r+×5×r+×8×r=12， 解得r=， 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称求最短距离；能够将AP+BP最小值转化为CA的长是解题的关键． 2、（2023春·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是的内切圆圆O上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得出，，由勾股定理得出，设△的内切圆的半径为，则，解得，连接，易证是的中位线，得出，当经过圆心时，最长，则此时最长，作于，于，则，，由勾股定理得出，则，即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 设△的内切圆的半径为， 则， 解得：， 连接， 是边上的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 当经过圆心时，最长，则此时最长， 作于，于， 则，， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心、勾股定理、矩形的性质、三角形中位线的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 3、（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）如图，矩形的顶点A，分别在轴、轴上，点的坐标为，是的内切圆，点，点分别是，轴上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】延长至点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值，求出的值即可． 【详解】解：如图，延长至点，使，则点与点关于轴对称，则，过点作轴于点，连接交轴于点，交于点，则，当，，，在一条直线上时，取得最小值．    点的坐标为， 点的坐标为， ∴，， ， 设与三边的切点为，，，连接，，，则，，， 设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 延长交于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，切线的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使取最小值时点P的位置． 【经典例题三 面积与内直角三角形周长、切圆半径的关系】 【例3】（24-25九年级上·全国·单元测试）直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r    四者之间的关系是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，切于E，切于F，切于D，连接， 则，， ∴四边形是正方形， ∴， 由切线长定理得：， ∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r， ∴， 即的周长是 ， ∴， 故选：A． 1．（23-24九年级下·四川泸州·开学考试）在边长为的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，则该圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形的内切圆．剪下最大的圆是该三角形的内切圆，根据勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形，设该圆的半径为r，利用面积法列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意知，剪下最大的圆是该三角形的内切圆， ， 该三角形为直角三角形， 设该圆的半径为r， 则， 解得， 即该圆的半径是， 故选B． 2．（22-23九年级上·福建漳州·自主招生）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形的容圆（内切圆）直径是多少？”答：直径是 步． 【答案】 【分析】本题考查了内切圆和勾股定理，连接，设半径为步，由勾股定理得步，再由即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，为内切圆，切点分别为，连接，设半径为步， ∴，，， ∵步，步， ∴由勾股定理得：（步） ∵为内切圆， ∴，， ∴ ∴，解得：， ∴的直径是步， 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知：如图，是的内切圆，．若，，求的半径r；若，，，求的半径r． 【答案】3； 【分析】本题考查了直角三角形的内切圆的性质及半径的求法，利用切线长定理得出四边形是正方形是解题的关键； 首先设、、与的切点分别为D、E、F；证四边形是正方形；根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图； 设、、与的切点分别为D、E、F； 在，，，； 根据勾股定理； 四边形中，，； 则四边形是正方形； 由切线长定理，得：，，； 则； 即：． 当，，， 由以上可得： ； 即：． 则的半径r为：． 【经典例题四 圆外切四边形模型】 【例4】（22-23九年级上·河北邯郸·期中）如图，是四边形的内切圆．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据内切圆得到四条角平分线，结合四边形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是四边形的内切圆， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：A； 【点睛】本题考查圆内切四边形及四边形的内角和定理，解题的关键是得到． 1．（22-23九年级·全国·课后作业）下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 2．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，若∠BOC＝118°，则∠AOD＝ ． 【答案】62° 【分析】先根据切线长定理得到∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD，再利用三角形内角和计算出∠1+∠2＝62°，则∠ABC+∠BCD＝124°，然后利用四边形内角和得出∠BAD+∠ADC＝236°，再求∠3+∠4＝118°即可． 【详解】解：∵圆O是四边形ABCD的内切圆， ∴OA平分ABC，OC平分∠BCD，OD平分∠ADC，OA平分∠BAD， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠BCD，∠3＝∠ADC，∠4＝∠BAD， ∵∠1+∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠ABC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝2×62°＝124°， ∵∠BAD+∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠BCD）＝360°﹣124°＝236°， ∴∠3+∠4＝（∠BAD+∠ADC）＝×236°＝118°， ∴∠AOD＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣118°＝62°． 故答案为：62°． 【点睛】本题考查了四边形的内切圆．切线的性质和切线长定理，三角形内角和，掌握四边形的内切圆性质．切线的性质和切线长定理，三角形内角和是解题关键． 3．（2022九年级·全国·专题练习）如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 【经典例题五 三角形内心有关应用】 【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弦所对的弧相等；④三角形的外心到三角形各顶点距离相等其中，正确的个数共有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了确定圆的性质，圆周角定理和三角形的内心和外心，熟悉相关性质是解题的关键．根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据三角形内心的定义对④进行判断． 【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所以②错误； 同圆或等圆中，等弦所对的优弧或劣弧对应相等，所以③错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以④正确； 故选：A． 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内切圆，尺规作角平分线，根据内心为三条角平分线的交点，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的内心为三角形的三条角平分线的交点， ∴可以成功找到内心的是： 故选B． 2．（22-23九年级上·甘肃平凉·期末）已知中，，点I是它的内心，则 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查了三角形的内心的定义，熟知三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题关键．先求出，根据内心的定义得到，即可求出，最后求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵I是内心， ∴、分别平分、， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接． (1)找出图中所有与相等的线段，并证明； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，由三角形的内心性质得到内心，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （2）过点I分别作，垂足分别为，根据内切圆的性质和切线长定理得到，利用勾股定理求得，，进而可求解． 【详解】（1）解：，理由： 如图，连接， 为的内心， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图，过点I分别作，垂足分别为， 为的内心，即为的内切圆的圆心， 分别为该内切圆与三边的切点， ， ， ， ， ， 的周长为 ． 【经典例题六 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系】 【例6】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心、三角形面积，设内切圆的半径为，切点分别为、、，连接、、、、、，则，得出，即可得出结果． 【详解】解：设内切圆的圆心为，半径为，切点分别为、、，，，， 连接、、、、、，如图所示： 则， ∵三角形的三边长分别为3，4，5，， ∴为直角三角形， ， ， 即， 解得：， 故选：C． 1．（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，      设，则， 由勾股定理得：，． ． 解得：． ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 3．（2024·北京·模拟预测）在边长为1的正三角形内放入个半径相同、彼此相切的圆，使得它们的半径为最大． (1)当 (2)当，选择作图工具，作出一种符合情况的图形（保留痕迹） (3)当，求的长度．（可画示意图说明） 【答案】(1) (2)见解析 (3)的长度为 【分析】（1）根据等边三角形的内切圆半径最大，利用面积法求解即可得答案； （2）如图，根据等边三角形的性质、内切圆的定义、角平分线的性质作图即可； （3）先求出共有层，最后一层有个圆，利用梯形和三角形面积公式，列方程求出值即可． 【详解】（1）解：如图，为等边三角形内切圆圆心，切点为、、， ∴，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图，作、、的平分线、、，作的角平分线交于，以为圆心，为半径画圆，得；同理可得，，以为圆心为半径画弧，交、于、，以、，为圆心，为半径画圆，得，，同理可得，即为所求． （3）解：如图所示：设共有层， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴共有层，在后一层为个圆， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的长度为． 【点睛】本题考查作角平分线、内切圆的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、解一元二次方程及分母有理化，熟练掌握相关性质及运算方法是解题关键． 【经典例题七 三角形内切圆与外接圆综合】 【例7】（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫作格点，两点皆在格点上，在此方格纸上另找两格点，使得的外心为，则的长为（    ）    A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质．三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：的位置如解图所示，连接，   的外心为， 由图可知． ， 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）设的内接三角形满足，则的内接正方形的面积等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．先连接，并延长交于点D，再连接，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得，而是直径，那么易知是直角三角形，再利用直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半，那么可求，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条互相垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积． 【详解】解：连接，并延长交于点D，再连接，如图， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴的直径是4， ∵的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的， ∴=． 故答案为：8． 3．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形的内心点为角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作平分，平分，，，，进而证明，即可证明，得为等边三角形； （2）由题意可知平分，作，，得，设边上的高为，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， 如图，作平分，平分，，，， 则， ∵， ∴， ∴，同理，，， ∵的外心也为O， 由垂径定理可知，，，， ∴，则， ∴为等边三角形， 即为所求； （2）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 作，， ∴， 设边上的高为， 则， ∴， ∴． 【经典例题八 圆的综合问题】 【例8】（2024·安徽阜阳·三模）直线与相切于点C，弦，若D是上的一个动点，且使，则下列结论错误的是（    ） A．的最大值是4 B．当时， C．的最小值是2 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确画出图形，熟练掌握相关性质定理． 根据切线和平行线的性质推出，则，进而得出，则当点C、O、D在同一条直线上时，取最大值，即可判断A；通过证明是等边三角形，则，当点D在上时，，即，即可判断C；连接，，易得，，则点D、O、F共线，得出，即可判断B；通过证明是等边三角形，得出，即可判断D． 【详解】解：A、如图：相交于点H，连接， ∵直线与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点C、O、D在同一条直线上时，取最大值，此时， 故A正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当点D在上时，，即， 故C不正确，符合题意； B、连接，， ∵，， ∴， 当时，， ∴为直径，则， ∵， ∴，即点D、O、F共线， ∴， ∴， 故B正确，不符合题意； D、当时， ∵， ∴是等边三角形，则， ∵，， ∴， ∴，即， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 1．（22-23九年级下·内蒙古赤峰·阶段练习）如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，先根据圆周角定理，由，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数，熟练掌握三角形的外心的定义与性质是解题的关键． 【详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，为的直径，D，E是上的两点，过点D作的切线交AB的延长线于点C，连接、、，．若，，则的半径为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 连接，由圆周角定理得，由切线的性质可得，进而可证；证明得，由得，，在求出．根据勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接，如解图所示， 则，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设的半径为r，则． 由勾股定理，可知， 即， 解得． ∴的半径为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如下图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案： 外接圆的半径______； 的内心与外心的距离______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（）利用三角形内角和定理及等腰三角形的 性质求出，证明平分即可求证； （）利用等腰三角形的性质和勾股定理求出，进而求出，再利用面积法求出即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分， ∴点是的内心； （2）解：连接，则，， ∵， ∴点共线， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆的内切和外接圆，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 1．（22-23九年级上·全国·课后作业）下列四边形中一定有内切圆的是（） A．直角梯形 B．等腰梯形 C．矩形 D．菱形 【答案】D 【详解】根据内切圆的定义即角平分线的交点到各边的距离相等,可知菱形一定有内切圆,故选D. 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是的内心．其中所有正确说法的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了切线长定理，三角形的内心以及全等三角形综合，由切线长定理即可判断①；证即可判断②；取的中点，连接，可得，即可判断③；连接，根据可得，结合可得，即可判断④． 【详解】解：∵是的两条切线， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴关于对称， ∴，故②正确； 取的中点，连接，如图所示： 则， 即：， ∴以为圆心，为半径，则四点共圆，故③正确； 连接，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：平分； 同理可得：平分； ∴M是的内心．故④正确； 故选：D． 3．（23-24九年级上·山东滨州·期末）若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比． 由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形外接圆的半径为2时，它的内切圆的半径为1． 故选D． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，证明是等边三角形，求出，得到点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出， 当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值， ∵是等边三角形，， ∴， ∵，， ∴． ∴的最小值是， 故选：C． 【点睛】本题考查坐标与图形，点到圆上的距离，等边三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线构造三角形外接圆是解题的关键． 5．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是的直径，点在上，过点作的切线交的延长线于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得，根据三角形内角和是求得，根据等角对等边可得，设，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列出一元二次方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 整理得：， 解得：，（舍去）， 即的半径为． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程等．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 6．（24-25九年级上·全国·期中）在，，，，为的内切圆，与三边的切点为、、，则的半径为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了切线长定理、切线的性质以及三角形的内切圆，正确得出四边形为正方形是解题关键．直接利用正方形的判定方法以及切线的性质得出四边形为正方形，进而得出正方形边长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ，，， ， 为的内切圆，、、为切点， ，，，，， 又，， 四边形为正方形， 设， ，； ，， ， 解得：， 故答案为：1． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为的内切圆，点，分别为边，上的点，且为的切线，若的周长为21，边的长为6，的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了切线长定理及内心，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据三角形内切圆的性质及切线长定理可得，，，，则，所以的周长，代入求出即可． 【详解】解：的周长为21，， ， 设与的三边、、的切点为、、，切为， ，，，， ， 的周长 ， 故答案为9． 8．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，等边三角形内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形、三角形的内切圆、勾股定理等知识，解题关键是求出圆的半径． 先作，作于点E，和交于点O，设等边的边长为，求出，即可求出，，，即可求出答案． 【详解】解：作于点D，作于点E，和交于点O，如图所示： 设等边的边长为， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据太极图的对称性，黑色部分的面积占内切圆面积的一半， ∴ ∵， ∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比是：． 故答案为： 9．（2024九年级下·江苏·专题练习）一个直角三角形两条直角边的长分别为，，则这个直角三角形的内心与外心之间的距离是 ． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形的外心与内心概念，及内切圆的性质．利用在，可求得，根据内切圆的性质可判定四边形是正方形，所以用r分别表示：，，；再利用作为相等关系求出，则可得，N为圆与的切点，M为的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在中，先求得，由勾股定理可求得． 【详解】解：如图，在，，，， ∴， 设的内切圆的半径为r，则， ∵， ∴，，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 10．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，，，，点P为的中点，点Q为边上一动点，将绕点C顺时针旋转，点Q的对应点记为点，旋转过程中的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的运动轨迹，过点C作于点H，先根据勾股定理求出的长，利用三角形面积求出的长，利用由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值，即可求出结果． 【详解】解：如图，过点C作于点H， ， ， ， ， 以点C为圆心为半径作圆， 为的中点， ， 由于点在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最小值， 的最小值为， 由于上的点B距离C点最短， 能取最大值时，在以C为圆心，为半径的圆上，能截取到最大值， 的最大值为， 旋转过程中的取值范围为 故答案为：． 11．（23-24九年级上·广西崇左·阶段练习）如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，且，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出关于的方程是解题的关键． 由切线长定理可知：，设，则，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：∵的内切圆与分别相切于点、、， ， 设，则． 根据题意得． 解得；． ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知如图，的内心为，连接并延长交的外接圆于点． (1)求证：； (2)直接写出点D是连接图中哪三个点构成的三角形的外心． 【答案】(1)见解析 (2)点D是连接图中点构成的三角形的外心． 【分析】本题考查了三角形的内心和外心、圆周角定理、弧、弦、圆心角之间的关系等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）连接，证明即可得到结论． （2）连接，，证明则点在的垂直平分线上，由得到点在的垂直平分线上，即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图 ∵的内心为， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）连接，， ∵， ∴， ∴ ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴点D是的外心， 即点D是连接图中点构成的三角形的外心． 13．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，请用尺规作图法求作三角形的外接圆和内切圆．（保留作图痕迹，不写作法）      【答案】见解析 【分析】分别作三角形两条边的垂直平分线相交于点O，连接点O和三角形顶点A，以点O为圆心，为半径作圆，则即为所求，分别作三角形两个内角的角平分线相交于点E，作三角形一条边的垂线段，以点E为圆心，为半径作圆，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为三角形的外接圆， 如图所示，即为三角形外切圆， 14．（2024九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 15．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②i）见解析；ii）见解析 【分析】本题考查了作三角形的内切圆，等边三角形，角平分线； （1）作角平分线的交点，作三角形的内切圆； （2）①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点； ②i）如图⑤或图⑥，即为所求．思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E；ii），分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上． 【详解】（1）解：如图①，⊙O即为所求，    （2）解：①方法一：使得为的三等分点；方法二：使得为的中心；方法三：作，的垂直平分线与的交点，作图如下： ②i）如图⑤或图⑥，即为所求． 思路1：作的角平分线，作分别与，相切，连接，交于点，过点P作，交于点O，以O为圆心，为半径作． 思路2：作的角平分线，作点P关于的对称点，的延长线交于点M；作，在上截取，以为直径作，过点H作，交于点E，可得；在上截取，可知；过点N作，交于点O，以O为圆心，为半径作． ii）如图⑦，，分别是的角平分线，，分别交于点H，G，点P在上（点P不与G，H重合）．    学科网（北京）股份有限公司 $$