专题01 直线及其方程（9大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（甘肃专用）

专题01 直线及其方程 题型一 直线的倾斜角与斜率 1、（2023上·白银市·高二期末）直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2、（2023上·庆阳市·高二期末）直线的倾斜角 A. B. C. D. 3、（2023上·兰州市·高二期末）直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 4、（2023上·兰州市·高二期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5、（2023上·天水市·高二期末）已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 6、（2023上·武威市·高二期末）（多选）已知，直线的方程为，则直线的倾斜角可能为（ ） A. B. C.0 D. 7、（2023上·庆阳市·高二期末）直线的倾斜角的大小为__________． 题型二 两条直线的位置关系 8、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D. 9、（2023上·庆阳市·高二期末）已知直线：与：，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10、（2023上·兰州市·高二期末）若直线和直线平行，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 11、（2023上·武威市·高二期末）“”是“直线与直线垂直”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 12、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 13、 （2023上·白银市·高二期末）（多选）已知直线，直线，则（ ） A. 直线可以与轴平行 B. 直线可以与轴平行 C 当时， D. 当时， 14、（2023上·白银市·高二期末）（多选）若两直线与平行，则实数的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. 1 15、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则斜率 B. 若斜率，则 C. 若倾斜角，则 D. 若，则倾斜角 16、（2023上·庆阳市·高二期末）若直线与直线平行，则___________. 题型三 直线的方程 17、（2023上·酒泉市·高二期末）过点且倾斜角为的直线方程为（　　） A. B. C. D. 18、（2023上·兰州市·高二期末）下列说法中正确的是（ ） A. 表示过点，且斜率为的直线方程 B. 直线与轴交于一点，其中截距 C. 在轴和轴上的截距分别为与的直线方程是 D. 方程表示过点，的直线 19、（2023上·白银市·高二期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 20、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 21、（2023上·庆阳市·高二期末）直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 22、（2023上·酒泉市·高二期末）过点斜率为的直线在轴上的截距为______． 23、（2023上·兰州市·高二期末）已知经过点的直线l的一个法向量为，则直线l的方程为______． 题型四 直线的交点坐标与距离公式 24、（2023上·酒泉市·高二期末）（多选）若直线被两平行直线与直线所截的线段的长为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 25、（2023上·酒泉市·高二期末）已知P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为________. 26、（2023上·兰州市·高二期末）直线过点且与直线平行，则直线和之间的距离是__________. 题型五 直线的对称问题 31、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. -2 32、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与相交于点 B. 直线和轴围成的三角形的面积为 C. 直线关于原点O对称的直线方程为 D. 直线关于直线对称的直线方程为 题型六 直线的图像 33、（2023上·天水市·高二期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 题型七 直线中的参数问题 34、（2023上·白银市·高二期末）若直线不经过第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 题型八 直线中的最值问题 35、（2023上·白银市·高二期末）已知实数满足，则的最小值为__________. 题型 直线的综合应用 27、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选）已知直线：，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的一个法向量为 D. 直线的一个方向向量为 28、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线和直线. （1）试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； （2）若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 29、（2023上·白银市·高二期末）已知. （1）求直线的全体方向向量和一个法向量； （2）若点在线段（包括端点）上移动，求直线的斜率的取值范围. 30、（2023上·酒泉市·高二期末）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直线及其方程 题型一 直线的倾斜角与斜率 1、（2023上·白银市·高二期末）直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线的斜率和倾斜角的关系，即可求解. 【详解】直线的方程可化为，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：D. 2、（2023上·庆阳市·高二期末）直线的倾斜角 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得. 【详解】可得直线的斜率为， 由斜率和倾斜角的关系可得， 又∵ ∴ 故选：A. 【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题. 3、（2023上·兰州市·高二期末）直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为，， 直线的斜率为，即， . 故选：B. 4、（2023上·兰州市·高二期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题得，因为，， 所以，故D正确. 故选：D. 5、（2023上·天水市·高二期末）已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为．故选：A． 6、（2023上·武威市·高二期末）（多选）已知，直线的方程为，则直线的倾斜角可能为（ ） A. B. C.0 D. 答案：. AD 解析：由题意可得，当时，直线为，此时直线的倾斜角为.故选项C正确；当时，直线的斜率，因为，所以或，此时直线的倾斜角取值范围.故选项D正确，故选AD. 7、（2023上·庆阳市·高二期末）直线的倾斜角的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线化简为斜截式方程形式，求出直线的斜率，从而可得结果． 【详解】直线截距式方程化为 直线的斜截式方程为， 所以直线的斜率， 由得， 即直线的倾斜角为，故答案为 . 【点睛】本题主要考查直线的方程、斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线的斜率，求直线斜率的常见方法有：（1）已知直线上两点的坐标求斜率 ；（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式或斜截式即可. 题型二 两条直线的位置关系 8、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线l1：与l2：平行，则l1与l2的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，结合两平行线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 又，所以，且两直线之间的距离为 . 故选：D 9、（2023上·庆阳市·高二期末）已知直线：与：，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得到，即可求解实数的值，得到答案. 【详解】由题意，直线：与：， 因为，所以，解得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10、（2023上·兰州市·高二期末）若直线和直线平行，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线平行求出的值，验证即可. 【详解】直线和直线平行， ，解得或， 当时，两条直线重合； 当时，两条直线平行. 综上，. 故选：C. 11、（2023上·武威市·高二期末）“”是“直线与直线垂直”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件 答案：B 12、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】由，可得，即可得出答案. 【详解】解：因为，所以，解得或1． 故选：BC 13、（2023上·白银市·高二期末）（多选）已知直线，直线，则（ ） A. 直线可以与轴平行 B. 直线可以与轴平行 C 当时， D. 当时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线平行和垂直对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】当时，直线，此时直线与轴平行，B项正确； 若，则直线，此时直线与轴平行，A项正确； 若，则，解得， 经验证可知此时两直线不重合，C项正确； 若，则，解得，D项错误. 故选：ABC 14、（2023上·白银市·高二期末）（多选）若两直线与平行，则实数的值可以为（ ） A. 3 B. 2 C. -2 D. 1 【答案】BC 【解析】 【分析】由两直线平行的充要条件列方程求解即可，注意检验是否重合. 【详解】若两直线与平行， 则，解得，经检验符合题意． 故选：BC. 15、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选）已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则斜率 B. 若斜率，则 C. 若倾斜角，则 D. 若，则倾斜角 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果． 【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误. B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确. C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确. D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确. 故选：BCD 16、（2023上·庆阳市·高二期末）若直线与直线平行，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】两直线与平行，满足且或 【详解】由题意得：，解得：，经检验符合要求. 故答案为： 题型三 直线的方程 17、（2023上·酒泉市·高二期末）过点且倾斜角为的直线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的点斜式方程即得. 【详解】因过直线倾斜角为，即直线垂直于y轴，故其方程为y＝1． 故选：A. 18、（2023上·兰州市·高二期末）下列说法中正确的是（ ） A. 表示过点，且斜率为的直线方程 B. 直线与轴交于一点，其中截距 C. 在轴和轴上的截距分别为与的直线方程是 D. 方程表示过点，的直线 【答案】D 【解析】 【分析】分别由直线的点斜式方程、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对四个选项得答案． 【详解】对A，表示过点且斜率为的直线方程不正确，不含点，故A不正确； 对B，截距不是距离，是点的纵坐标，其值可正可负，故B不正确； 对C，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故C不正确； 对于D，此方程即直线的两点式方程变形，即，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直线方程的几种形式，关键是对直线方程形式的理解，属于基础题.． 19、（2023上·白银市·高二期末）若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程. 【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即． 故选：A 20、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立两直线求出交点坐标，根据的方向向量求出直线的斜率即可求出的方程. 【详解】联立，解得， 即直线：，：的交点为， 又直线的一个方向向量， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即， 故选：B． 21、（2023上·庆阳市·高二期末）直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程. 【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为. 故答案为： 22、（2023上·酒泉市·高二期末）过点斜率为的直线在轴上的截距为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】利用点斜式求直线方程，令x=0，即可得出直线在y轴上的截距． 【详解】由题意可得直线方程为：，令x=0，解得y=-2 所以直线在轴上的截距为-2， 故答案为：-2 23、（2023上·兰州市·高二期末）已知经过点的直线l的一个法向量为，则直线l的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用法向量求出直线的斜率，利用点斜式可得方程. 【详解】因为直线l的一个法向量为，所以直线l的一个方向向量可以是， 所以直线l的斜率为； 因为直线l经过点，所以其方程为， 整理可得. 故答案为： 题型四 直线的交点坐标与距离公式 24、（2023上·酒泉市·高二期末）（多选）若直线被两平行直线与直线所截的线段的长为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意作出图形，利用平行线间的距离公式求得，结合图形得到直线与直线的夹角，从而得解. 【详解】依题意，作出图形，则， 因为直线与直线平行， 所以间的距离为，即， 因为，所以，即直线与直线的夹角为， 因为直线的斜率为，则倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或. 故选：AD. 25、（2023上·酒泉市·高二期末）已知P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】可化为.两直线平行, 的最小值即为两平行线间距离，为. 故答案为：. 26、（2023上·兰州市·高二期末）直线过点且与直线平行，则直线和之间的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两直线的平行关系先求，再由平行线的距离公式计算即可. 【详解】由题意不妨设，则，解得， 所以， 所以两平行线和之间的距离. 故答案为：. 题型五 直线的对称问题 31、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】AC 【解析】 【分析】设点，利用的中点坐标满足方程，及垂直直线，得到方程组，解出即可. 【详解】因为点在直线上，设点， 又， 则的中点坐标为， 其必在直线上， 则， 化简为，① 又垂直直线， 故，化简为，② 联立①②，解得 ，或， 又当时，根据垂直直线， 必有，此时直线方程为， 的中点坐标为，不在直线上，不满足题意， 故， 故选：AC. 32、（2023上·兰州市·高二期末）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与相交于点 B. 直线和轴围成的三角形的面积为 C. 直线关于原点O对称的直线方程为 D. 直线关于直线对称的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由解得，所以交点坐标为，A选项正确. 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为， 所以B选项错误. 由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点， 所以直线关于原点O对称的直线方程为， 所以C选项正确. 点关于直线的对称点是； 点关于直线的对称点是， 所以直线关于直线对称的直线方程为， 即，所以D选项错误. 故选：AC 题型六 直线的图像 33、（2023上·天水市·高二期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断． 【详解】解：，直线与直线的斜率均存在 直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为 对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合； 对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，故B图象不符合； 对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故C图象不符合； 对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故D图象符合． 故选：D． 题型七 直线中的参数问题 34、（2023上·白银市·高二期末）若直线不经过第一象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将直线化为斜截式，从而得到关于的不等式组，由此得解. 【详解】直线方程可化为，因为直线不经过第一象限， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故选：C. 题型八 直线中的最值问题 35、（2023上·白银市·高二期末）已知实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两点距离公式的几何意义与点线距离公式即可得解. 【详解】因为表示点到点的距离的平方， 而的最小值为点到直线的距离，即， 所以的最小值为9. 故答案为：. 题型 直线的综合应用 27、（2023上·庆阳市·高二期末）（多选）已知直线：，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的一个法向量为 D. 直线的一个方向向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】将直线方程化简为一般式得到，截距为，的一个方向向量为，D正确，计算得到C错误，得到答案. 【详解】直线：，则，，，故，A错误， 直线在轴上的截距为，B正确. ，故直线的一个方向向量为，D正确； ，C错误. 故选：BD. 28、（2023上·兰州市·高二期末）已知直线和直线. （1）试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离； （2）若原点到距离最大，求此时的直线的方程. 【答案】（1）能平行， （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行，斜率相等，得到，解得或，再检验即可得出，能平行，利用两平行线间的距离公式即可求出结果； （2）根据条件，得出直线过定点，从而得到：当时，原点到的距离最大，进而可得出直线的方程为. 【小问1详解】 因为，所以直线的斜率为， 又，若，则斜率必存在，所以且斜率为， 由，得到或， 当时，，，此时与重合，不合题意， 当时，，，此时，所以，能平行， 两平行线之间的距离为. 【小问2详解】 由，得到，所以直线过定点， 当时，原点到的距离最大， 此时直线的斜率为，直线的斜率不存在， 所以此时的直线的方程为. 29、（2023上·白银市·高二期末）已知. （1）求直线的全体方向向量和一个法向量； （2）若点在线段（包括端点）上移动，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）全体方向向量为（为任意的非零实数）；一个法向量为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜率，求出直线的一个方向向量，由向量的共线得全体方向向量，求出直线的一般式方程，可得直线的一个法向量； （2）根据图象可得临界条件有和，再结合直线倾斜角的变化和正切函数性质可解. 【小问1详解】 由斜率公式知直线的斜率为， 所以直线的全体方向向量为（为任意的非零实数）. 直线的方程为，化简得， 所以直线的一个法向量为. 【小问2详解】 由（1）知直线倾斜角为钝角，斜率为， 结合图象可知，点从点向点移动时，倾斜角为钝角且逐渐增大， 则当点为点时，直线的斜率最小，为 当点为点时，直线的斜率最大，直线的斜率为， 所以直线的斜率的取值范围为. 30、（2023上·酒泉市·高二期末）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为. （1）求直线的方程； （2）求顶点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜率之积为，再由点斜式写出直线方程； （2）设点，利用中点坐标公式得到，代入所在直线方程即可；方法二先利用点在所在直线上，再利用中点坐标公式求出即可，与方法一过程相反. 【小问1详解】 因为边上的高所在直线方程为， 所以，且，即， 因为的顶点，所以直线方程：， 即直线的方程为：. 【小问2详解】 （解法一）因为所在直线方程为，设点， 因为是中点，，所以， 因为在所在直线方程上， 所以，解得：，. （解法二）设点的坐标为，所在直线方程为，所以 因为是中点，，所以， 因为所在直线方程为，代入得： 所以，即， 解得：，，即，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$