2.2.1直线的点斜式方程 教学设计-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2.1直线的点斜式方程-教学设计 （人教A版） 一、教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章“直线和圆的方程”，是2.2节“直线的点斜式方程”的第一课时，主要学习直线的点斜式方程与斜截式方程。上一课时学生已经学习了直线的倾斜角与斜率，本节课在此基础上，利用直线上一个定点及其斜率，由斜率公式推导出直线的点斜式方程，再通过将定点特殊化，得到直线的斜截式方程。点斜式方程是直线方程其他所有形式的基础，其推导过程突出体现了坐标法建立方程的一般程序——将几何条件“翻译”为代数方程，为后续学习直线的两点式、一般式以及圆的方程奠定基础。教学中要帮助学生体会“直线上每一个点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在直线上”的含义，发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。 二、教学目标与核心素养 （一）课程目标 1、经历利用斜率公式探索并得到直线的点斜式方程的过程，能准确写出直线的点斜式方程，认识点斜式方程的重要地位； 2、通过将点斜式方程中的几何要素“点”特殊化，探索并得到直线的斜截式方程，理解截距的概念，能完成点斜式方程与斜截式方程的相互转化； 3、通过直线的点斜式方程的推导，表述利用坐标法将平面上直线代数化的基本过程，发展直观想象、逻辑推理与数学运算素养。 （二）数学学科素养 1.数学抽象：直线的点斜式方程、斜截式方程及截距的概念； 2.逻辑推理：点斜式方程的推导及方程与直线对应关系的完备性说明； 3.数学运算：由直线的几何要素写出方程，由方程读出直线的几何要素； 4.直观想象：直线的几何特征与代数表达式之间的相互转化。 三、教学重难点 重点：直线的点斜式方程的推导及基本运用，直线的斜截式方程； 难点：在建立直线方程时，如何将对直线上“所有的点”的坐标关系式的探究，转化为对直线上“任意一点”的坐标关系式的探究；由直线的几何特征得到方程与由方程得到直线的理解。 四、教学方法和工具 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用问题引导的启发式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 五、教学过程 （一）情景导入 提问1：在平面直角坐标系中，给定哪些条件可以唯一确定一条直线？ 提问2：直线的倾斜角与斜率之间有怎样的关系？已知直线上两点的坐标，如何求直线的斜率？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察、研探。 （二）预习课本，引入新课 阅读课本62—65页，思考并完成以下问题： 1、给定直线上一个定点和斜率，直线上任意一点的坐标与它们之间有怎样的关系？ 2、什么是直线的点斜式方程？它适用什么范围？ 3、什么是直线的斜截式方程？截距是距离吗？ 4、当直线的倾斜角为90°时，直线的方程能否用点斜式表示？为什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 （三）新知探究 1.直线的点斜式方程的探究过程 探究：在平面直角坐标系中，给定直线 经过定点，斜率为（斜率存在）。设是直线上不同于定点的任意一点，请利用斜率公式，写出点的坐标满足的关系式。 图1 直线的点斜式方程推导示意图 师生活动：学生自主画出图1的图示，将直线的几何特征——过定点 且斜率为，转化为直线上任意一点与定点连线的斜率等于，再由斜率公式化简得方程。 由斜率公式得： 即： 思考：把变形为，变形前后有什么变化？ 明确：变形前，分母不为零，分式不能表示定点本身，即不能表示完整的直线；变形后的方程对直线上的所有点（包括点）都成立，可以表示完整的直线。 思考：直线上的每一个点的坐标都满足这个方程吗？反过来，坐标满足方程的每一个点都在这条直线上吗？ 证明：设点 的坐标满足方程，即。 ①若 ，则上式表明直线的斜率等于，所以点在直线上； ②若 ，则由方程得，此时点与定点重合，显然点在直线上。 综上，直线上每一个点的坐标都满足方程；反之，以方程的解为坐标的点都在直线上。 数学抽象：我们把 叫做过定点、斜率为的直线的点斜式方程，简称点斜式。 思考：当直线的倾斜角 时，直线的方程是什么？当倾斜角时呢？ 明确：当 时，，代入点斜式方程得，即，这时直线与轴平行或重合；当时，斜率不存在，直线的方程不能用点斜式表示，此时直线上每一点的横坐标都等于，所以它的方程为。 图2 直线的两种特殊情形 设计意图：让学生经历“由几何特征到代数方程”的直译过程，理解方程与直线的对应关系是双向的，体会坐标法研究几何问题的基本程序，发展数学抽象与逻辑推理素养。 2.直线的斜截式方程 问题：直线的点斜式方程为。当定点为直线与轴的交点时，方程具有什么形式？ 师生活动：学生自主完成。此时 ，，其中是直线与轴交点的纵坐标。代入点斜式方程得，即。 我们把叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。其中称为直线在轴上的截距。截距不是距离，截距可正、可负、可为零。 思考：直线的斜截式方程与初中学过的一次函数有什么联系与区别？ 明确：当 时，一次函数的图象就是一条斜率为、在轴上的截距为的直线；但一次函数要求，而直线的斜截式方程只要求斜率存在，可以为零（此时直线与轴平行或重合）。 3.点斜式（斜截式）的应用 问题：已知直线与（斜率均存在），与平行、垂直的条件分别是什么？ 明确： 的充要条件是且； 的充要条件是。 （四）典例分析、举一反三 例1.直线经过点，且倾斜角为，求直线的点斜式方程，并画出直线。 教师黑板示范分析过程：点已经给出，倾斜角为 ，相当于给出斜率。 解：直线 经过点，斜率，代入点斜式方程得，即。 画图时，只需再找出直线 上的另一点，例如取，则，得点，过，两点的直线即为所求，如图3所示。 图3 例1中直线l的图象 变式：例1中，当倾斜角为时，直线的方程是什么？当倾斜角为时呢？ 解：当倾斜角为 时，斜率，直线的点斜式方程为；当倾斜角为时，斜率不存在，直线的方程为。 练习1：写出下列直线的点斜式方程： （1）经过点，斜率是； （2）经过点，倾斜角是； （3）经过点，倾斜角是； （4）经过点，倾斜角是。 学生独立完成上黑板板演。参考答案： （1）；（2）；（3）；（4）。 练习2：填空题： （1）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是______，倾斜角是______； （2）已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是______，倾斜角是______。 参考答案：（1）斜率为 ，倾斜角为；（2）斜率为，倾斜角为。 例2.已知直线，，试讨论：（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？ 分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，结合斜截式方程中“ 的系数就是直线的斜率”进行讨论。 解：（1）直线的斜率为，在轴上的截距为；直线的斜率为，在轴上的截距为。若，则，且两直线在轴上的截距，符合条件；反之，若，显然。所以的条件是。 （2）若，则斜率之积为，即，解得；反之，当时，。所以的条件是。 （五）课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧： 1、直线的点斜式方程由直线上一个定点及斜率确定；斜截式方程是点斜式的特殊形式，其中是直线在轴上的截距，截距不是距离，可正、可负、可为零； 2、点斜式与斜截式都只适用于斜率存在的直线；当斜率不存在时，过点 且垂直于轴的直线方程为。 3、通过点斜式方程的推导，体会“将几何特征翻译为代数方程”的坐标法思想，以及分类讨论、数形结合、由特殊到一般的数学思想方法。 六、板书设计 2.2.1直线的点斜式方程 1.点斜式：（定点，斜率） 特殊情形：倾斜角为时，；倾斜角为时，斜率不存在，。 2.斜截式：（为直线在轴上的截距，可正、可负、可为零） 3.平行与垂直：的充要条件是且；的充要条件是。 七、作业布置 1、课本67页习题2.2第1题（1）（2）（3）。 2、写出经过原点，且倾斜角为的直线的点斜式方程。 参考答案：斜率 ，过原点，所以直线的点斜式方程为。 3、探究拓展：已知直线的点斜式方程为，且直线经过点，求的值，并求直线在轴上的截距。 参考答案：将点 代入方程，得，即，解得。此时直线的方程为，即，所以直线在轴上的截距为。 八、教学反思 通过本节课的学习，从学生的情况来看，效果较好。学生能够根据上一课时学习的斜率公式，在老师的指引下自主推导出直线的点斜式方程，经历“由几何特征到代数方程”的直译过程，初步体会了坐标法建立方程的一般程序。多数学生能掌握点斜式方程与斜截式方程的结构特征，能由直线的几何要素写出方程，也能从方程中读出直线的几何要素。但对斜率不存在（倾斜角为90°）的直线的讨论，部分学生仍容易遗漏，在求直线方程时易忽略对斜率是否存在的分类讨论；个别学生对截距与距离的区分不够清晰。后续教学中应设计更多变式练习，强化分类讨论意识，提升学生思维的严谨性与全面性。 学科网（北京）股份有限公司 $