河南省信阳市潢川第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

高二上期第一次月考答案 1-4 BBAC 5-8 AADD 9. BCD 10. ACD 11. BCD 12. 13. 14. 15.小问1详解】由前面的分析可知试验的样本空间共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率． 设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则， 共含有6个样本点，所以，即取到两个球都是白球的概率为； 【小问2详解】设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则， 共含有8个样本点，所以，即取到的两个球颜色相同的概率为； 【小问3详解】设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，则共含有18个样本点，所以，即取到的两个球至少有一个是白球的概率为. 16.【详解】（1）BC的中点坐标为 故中线的斜率 则边BC上的中线所在直线的方程为； 故边上的中线所在直线的斜截式方程为 （2）边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过， 则边BC上的高所在直线的方程为 化为截距式方程为： （3）由（1）知BC的中点坐标，由（2）知高的斜率为， 则边BC的垂直平分线的方程为 化为一般式方程为： 17.【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则, , ， 所以直线与直线所成角的余弦值为； （2）棱上是否存在一点的坐标可设为,则, , 故在棱上存在点，满足，这点P在棱上靠近四 等分点处. 18.【小问1详解】 由，即， 则，解得， 所以直线过定点； 【小问2详解】 如图所示，结合图像可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上所述； 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 19.【小问1详解】 依题意，建立如图所示空间直角坐标系， 得，，，， 设点，由题可知， ， 所以有，所以， 设平面的一个法向量为， 因为，， 则， 令，解得，所以， 显然平面的一个法向量， 所以平面与平面的夹角的余弦值为， 故平面与平面的夹角为. 【小问2详解】 设，，得， 由（1）可知， 所以有，所以， 设平面的一个法向量为， 由题易知，，，， 所以， 令，得，所以， 由题可知，，解得或， 所以的值为或. 学科网（北京）股份有限公司 $$潢川一中 2024-2025学年高二上期第一次月考数学试题 一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题所给的四个选项中．只有一项 是符合题目要求的） 1. 直线 5 0x y   的倾斜角为（ ） A. 30 B. 45 C. 120 D. 150 2．已知直线 1l 过    2, 3 , 4,0A B ，且 1 2l l ，则直线 2l 的斜率为（ ） A. 2 3 B. 2 3  C. 12 D. 1 2  3. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，甲获胜的概率是 1 3 ，则甲不输的概率为( ) A. 5 6 B. 2 5 C. 1 6 D. 1 3 4. 直线3 4 6 0x y   与6 8 3 0x y   之间的距离为（ ） A. 9 10 B. 9 5 C. 3 2 D. 6 5 5. 已知平面  0 0P n P P    ，其中  0 1,2,3P ，法向量  1,1,1n  ，则下列各点不在平面 内的是 （ ） A.  2,5,4 B.  3,2,1 C.  3,4,5 D.  2, 4,8 6. 已知两条直线 1 : ( 1) 2 1 0l a x y    ， 2 : 1 0l x ay   平行，则 a （ ） A. 1 B. 2 C. 0或 2 D. 1 或2 7.直线 l1：y＝ax＋b与直线 l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， E为 BC的中点，点 P在 底面 ABCD上（包括边界．．．．）移动，且满足 1 1B P D E ，则线段 1B P的长度的最 大值为（ ） A. 6 5 5 B. 2 5 C. 2 2 D. 3 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9. 设a，b  ， c是空间一个基底，下列选项中正确的是（ ） A. 若 a b  ，b c   ，则 a c  B. 则a，b  ， c两两共面，但a，b  ， c不可能共面 C. 对空间任一向量 p  ，总存在有序实数组  , ,x y z ，使 p xa yb zc      D. 则 +a b  ，b c   ， c a   一定能构成空间的一个基底 10. 小明参加文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文 学社面试成功的概率为 1 3 ，话剧社面试成功的概率为 1 2 ，辩论社面试成功的概率为 2 3 ，则（ ） A. 话剧社与辩论社均面试成功的概率为 1 3 B.文学社和话剧社均面试成功的概率为 5 6 C. 有且只有辩论社面试成功的概率为 2 9 D. 三个社团至少一个面试成功的概率为 8 9 11. 如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E，F，M，N分别是棱 1 1 1 1, , ,AB AD AB AD 的中 点，点 P，Q分别在棱 1 1,DD BB 上移动，且 )20(  BQDP . 则（ ） A. 不存在λ的值，使得直线 1 / /BC 平面 EFPQ； B. 当 1  时，直线 1 / /BC 平面 EFPQ； C. 当 21 2    时，平面EFPQ 平面 PQMN； D. 当 21 2    时，平面 EFPQ 平面 PQMN . 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12.以 1， − 2 为圆心， 2为半径的圆的标准方程是____________. 13.已知  2,1A 点到直线 1 0x ay   的距离为 1，则 a __________． 14.如图，四边形 ABCD和 ADPQ均为正方形，且 1AB AQ  ，平面 ABCD平 面 , ,ADPQ E F分别为 ,AB BC的中点，M 为线段 PQ上的动点，则异面直线EM 与 AF 所成角的余弦值最大时，EM __________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题 13分） 在试验 6E “袋中有白球 3个（编号为 1，2，3）、黑球 2个（编号为 1，2），这 5个球除颜色 外完全相同，从中不放回地依次摸取 2个，每次摸 1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果 分别记为 1w ， 2w ， 3w ，摸到黑球的结果分别记为 1b ， 2b ．求： （1）取到的两个球都是白球的概率； （2）取到的两个球颜色相同的概率； （3）取到的两个球至少有一个是白球的概率． 16. （本题 15分） 三角形的三个顶点是 (4,0)A ， (6,7)B ， (0,3)C ．求： （1） BC边上的中线所在直线的方程； （2） BC边上的高线所在直线的方程； （3） BC边的垂直平分线的方程． 17. （本题 15分） 如图：正方体 1 1 1 1ABCD ABC D ， E为棱 1 1C D 的中点. （1）求直线CE与直线 1BD 所成角的余弦值； （2）在棱 1AA 上是否存在一点 P，满足CE EP ？若存在，请指出点 P的位置；若不存在，请说明理由. 18. （本题 17分） 已知直线    1 2 3 1:    a y a xl . （1）求证：直线 l过定点； （2）若直线 l不经过第二象限，求实数 a的取值范围； （3）若直线 l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求 l的方程. 19. （本题 17分） 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱形，对角线 AC， BD交于点O， 8OA  ， 6OB  ， 8OP  ，OP 底面 ABCD，点M 为线段 PC上一动点 （1）若M 为 PC四等分点中靠 P的点，求平面MAB与平面 ABC的夹角； （2）若直线 PA与平面 BDM 所成角的正弦值为 10 10 ，求 PM PC 的值.