第四章 一元一次方程 第4.1节 等式与方程—2024-2025学年七年级数学上学期培优全攻略（2024苏科新版）

苏科2024新版第四章 一元一次方程 4.1 等式与方程 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式； 2.掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； 3.能认识方程、方程的解的意义，会判断一个数是不是方程的解； 4.能根据具体的问题中的数量关系列出方程。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——“方程”二字从何而来？“方程”二字从何而来？ 方程两个字是来源于我国的《九章算术》中的解线性方程组《九章算术》第八卷，标题是方程（郭书春, 2004）。 方程中的“方”的意思是说，把线性方程组的系数排成一个方阵（由系数与常数构成的方阵）；“程”的意思是按照一定的程式进行运算的过程（程就是程式），合起来可以说是矩阵的初等变换，也就是加减消元法。即方程的本义是列成方阵作程式化求解，所以教材中不该狭隘地理解为“含有未知数的等式”。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 名师点拨 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 名师点拨 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点2：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　 等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 名师点拨 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 方程概念的理解与识别 例题1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，故不是方程，不符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 2．下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答． 【详解】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 3．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 4．已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 题型2 判断一个数是不是方程的解 例题2．下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将分别代入选项中的方程验证即可． 【详解】解：A、将代入得， ，故A不符合题意； B、将代入得， ，故B不符合题意； C、将代入得， ，故C不符合题意； D、将代入得， ，故D符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．是下列方程（   ）的解． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，将分别代入四个选项，能使得方程左边等于右边即为方程的解． 【详解】解：把代入， A、左边，右边，因此不是的解，故不符合题意； B、左边，右边，因此是的解，故符合题意； C、左边，右边，因此不是的解，故不符合题意； D、左边，右边，因此不是的解，故不符合题意； 故选：B． 2．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入各方程即可判断． 【详解】解：∵，故A不符合题意； ∵，故B符合题意； ∵，，故C不符合题意； ∵，，故D不符合题意； 故选：B 3．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将分别代入方程计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 4．在下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的概念，熟练掌握方程解的概念以及方程解的检验方法是解题的关键．把分别代入各选项的方程中进行检验即可得答案． 【详解】解：A、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，此选项不符合题意； B、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，此选项不符合题意； C、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，此选项不符合题意； D、把分别代入方程的左右两边，左边，右边，左边右边，所以是方程的解，此选项符合题意． 故选：D． 题型3 根据方程的概念求字母值 例题3.已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出a的值即可得到答案． 【详解】解；∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 故选：D． 【变式训练】 1．已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．先根据方程的解定义可得，从而可得，再进一步即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．已知是关于的方程的解，则常数的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 把代入即可求出a的值． 【详解】解：把代入得， 解得：， 故选：C． 4．若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解题的关键是理解题意，根据方程的解的定义把代入方程可得关于m的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：把代入方程，得： ， 解得：， 故选：A． 题型4 判断等式的变形是否正确 例题4．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质．解决本题的关键是根据等式的两边同时加上或减去同一个数仍是等式；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数仍是等式． 【详解】解：A选项：已知，根据等式的基本性质两边同时减去可得：，故A选项正确； B选项：已知，根据等式的基本性质两边同时乘以可得：，故B选项错误； C选项：，把的两边同时除以可得：，故C选项正确； D选项：已知，移项可得：，故D选项正确． 故选：B． 【变式训练】 1．下列等式变形中，一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，正确记忆等式的性质是解题关键．性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故该选项是符合题意的； B、若，则或0，故该选项是不符合题意的； C、若，则，故该选项是不符合题意的； D、若，则，故该选项是不符合题意的； 故选：A 2．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数（或代数式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为的数（或代数式），等式仍然成立．根据等式的性质分别判断． 【详解】A、等式两边同时减去得：，原变形正确，故选项不符合题意； B、等式两边同时加上得：，原变形正确，故选项不符合题意； C、等式两边同时乘以得：，原变形错误，故选项符合题意； D、等式两边同时除以得：，原变形正确，故选项不符合题意； 故选：C． 3．下列利用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．由，得 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质判断即可． 【详解】解：A、如果，那么等式两边同时加1可得，原变形错误，不符合题意； B、如果，那么等式两边同时除以可得，原变形错误，不符合题意； C、如果，那么等式两边同时加可得，原变形正确，符合题意； D、如果，那么等式两边同时除以可得，原变形错误，不符合题意； 故选：C． 4．下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减y加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 题型5 根据实际问题情境列方程 例题5．根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列一元一次方程，圆柱的体积公式，根据圆柱的体积公式得：左边一个圆柱形水瓶中水的体积为右边一个圆柱形水瓶中水的体积为，然后再根据两个水瓶里的水是同等体积列出方程即可，熟练掌握圆柱的体积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵大量筒的直径为，大量筒中水面的高为， ∴大量筒中水的体积为： ∵小量筒的直径为，小量筒中水面的高为 ∴小量筒的体积为：， ∵大小两个量筒中的水量相同， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．比a的3倍大5的数等于a的4倍，依题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列方程，理清题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 2．一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 3．临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 【答案】0.8x-10=0.6x+50 【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：0.8x-10=0.6x+50， 故答案为：0.8x-10=0.6x+50． 4．某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这个班学生共有人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的增加了组，根据此列方程即可． 【详解】解：设这个班学生共有人， 根据题意得： 故答案为：． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，解题的关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：A、不是等式，故不是方程，不符合题意； B、是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不含有未知数，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 2．下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，解题的关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：A、是方程，是未知数，式子又是等式； B、不是方程，因为它不是等式； C、不是方程，因为它不含未知数； D、不是方程，因为它不是等式； 故选：A． 3．是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，掌握方程解的意义是解题关键．将依次代入选项中的方程，方程左右相等的选项即为所求答案． 【详解】解：A、当时，左边，右边，左边右边，则不是该方程的解．故本选项错误； B、当时，左边，右边，左边右边，则不是该方程的解．故本选项错误； C、当时，左边，右边，左边右边，则是该方程的解．故本选项正确； D、当时，左边，右边，左边右边，则不是该方程的解．故本选项错误； 故选：C． 4．已知关于的方程的解为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的解的定义可知即可解答．本题考查了一元一次方程的解的定义，理解一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， ∴， 故选：B． 5．若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：A、由等式性质1可知，故该选项正确，不符合题意； B、由等式性质2可知当时，，故该选项不正确，符合题意； C、由等式性质1可知，故该选项正确，不符合题意； D、由等式性质2可知，故该选项正确，不符合题意； 故选B． 6．已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项错误，符合题意； 、由，可得，原选项正确，不符合题意； 故选：． 7．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 8．把方程写成用含的代数式表示的形式，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，把x看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 9．根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可 【详解】解：由题意可得：， 故选：C 10．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【详解】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 二、填空题（本大题共10小题） 11．已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：． 12．已知是方程的解，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了方程解的定义，使方程的左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【详解】解：将代入原方程得， 解得：， ∴a的值为2． 故答案为：2． 13．下面是小明将等式进行变形的过程： ， ，（第一步） ．（第二步） 小明第一步变形是等式两边都 ，第二步变形得出了错误的结论，其原因是 ． 【答案】 加上（或减去） x可能为0 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个整式，等式的值不变，等式的两边同时除以一个不等于0的整式，等式的值不变，进行作答即可． 【详解】解：小明第一步的变形是等式两边都加上（或减去）； 第二步变形得出了结论的错误是因为x可能为0； 故答案为：加上（或减去）；x可能为0 14．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 15．将方程变形得，这一步的依据是 ； 【答案】等式的基本性质 【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程中的移项是将含有未知数的移动到等号的左边，不含未知数的项移动到等号右边，根据等式的性质，移项要变号． 【详解】解：将方程变形得，这种变形属于移项，其依据是等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质． 16．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查用含的代数式表示，涉及等式的恒等变形，将中移项即可得到答案，熟记移项法则是解决问题的关键． 【详解】解：二元一次方程， 用含的代数式表示，则， 故答案为：． 17．设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x的2倍为，相反数为，据此根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 18．一个数与8的和的2倍等于这个数的3倍，设这个数为，可列方程 ． 【答案】 【分析】根据“等于”找到等量关系，等式的左边：先计算这个数与8的和即，再计算和的2倍即，注意添括号作用，等式的右边：，据此列方程即可． 【详解】根据题意，设这个数为，可列方程：， 故答案为：． 19．已知长方形的长与宽分别为16、x，周长为40，根据条件，列出方程为 ． 【答案】 【分析】根据长方形的周长等于长与宽的和的2倍，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为： 20．若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据数学语言转化为等式即可得解． 【详解】解：设某数为x，根据题意得，． 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题） 21．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：根据题意， ， 22．回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 【答案】(1)两边同时减去， (2)两边同时除以5； (3)见解析 【分析】本题考查了等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （1）根据等式的性质1可得到答案； （2）根据等式的性质2可得到答案； （3）根据等式的性质2可得到答案； 【详解】（1）解：两边同时减去， 等式得到； （2）解：两边同时除以5， 等式得到； （3）解：两边同时乘以8， 等式得到． 23．已知 是方程的解，求a的值 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将方程的解代入方程求解即可得到答案； 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第四章 一元一次方程 4.1 等式与方程 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.理解等式的概念，能根据实际情境中的等量关系列出等式； 2.掌握等式的基本性质，能运用等式的基本性质进行等式的变形； 3.能认识方程、方程的解的意义，会判断一个数是不是方程的解； 4.能根据具体的问题中的数量关系列出方程。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——“方程”二字从何而来？“方程”二字从何而来？ 方程两个字是来源于我国的《九章算术》中的解线性方程组《九章算术》第八卷，标题是方程（郭书春, 2004）。 方程中的“方”的意思是说，把线性方程组的系数排成一个方阵（由系数与常数构成的方阵）；“程”的意思是按照一定的程式进行运算的过程（程就是程式），合起来可以说是矩阵的初等变换，也就是加减消元法。即方程的本义是列成方阵作程式化求解，所以教材中不该狭隘地理解为“含有未知数的等式”。 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 名师点拨 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 名师点拨 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点2：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　　 等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 名师点拨 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式性质2中，这一条件必不可少。 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 方程概念的理解与识别 例题1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 4．已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型2 判断一个数是不是方程的解 例题2．下列四个方程中，解是的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．是下列方程（   ）的解． A． B． C． D． 2．解为的方程是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 4．在下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 题型3 根据方程的概念求字母值 例题3.已知关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式训练】 1．已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于的方程的解，则常数的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 题型4 判断等式的变形是否正确 例题4．下列变形中，不正确的是（   ） A．若，则 B．由，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】 1．下列等式变形中，一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知等式，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．下列利用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．由，得 C．如果，那么 D．如果，那么 4．下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型5 根据实际问题情境列方程 例题5．根据图中给出的信息，可得正确的方程是 ． 【变式训练】 1．比a的3倍大5的数等于a的4倍，依题意列出的方程是 ． 2．一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 3．临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 4．某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共10小题） 1．下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 3．是下列哪个方程的解（      ） A． B． C． D． 4．已知关于的方程的解为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 5．若等式成立，则下列等式变形不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 8．把方程写成用含的代数式表示的形式，得（    ） A． B． C． D． 9．根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 10．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 二、填空题（本大题共10小题） 11．已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 12．已知是方程的解，则 ． 13．下面是小明将等式进行变形的过程： ， ，（第一步） ．（第二步） 小明第一步变形是等式两边都 ，第二步变形得出了错误的结论，其原因是 ． 14．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 15．将方程变形得，这一步的依据是 ； 16．已知二元一次方程，用含的代数式表示，则 ． 17．设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是 ． 18．一个数与8的和的2倍等于这个数的3倍，设这个数为，可列方程 ． 19．已知长方形的长与宽分别为16、x，周长为40，根据条件，列出方程为 ． 20．若比某数的相反数大2的数是8，设某数为x，可列方程为 ． 三、解答题（本大题共3小题） 21．用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 22．回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 23．已知 是方程的解，求a的值 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$