精品解析：河南省驻马店市第四中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024年秋期九年级数学期中测试卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对边平行 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，根据菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A.菱形、正方形、矩形的对边相等，故选项A不符合题意； B. 菱形、正方形、矩形的对边平行，故选项B不符合题意； C. 菱形、正方形、矩形的对角线互相平分，的对角线互相 D. 菱形、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，故选项D符合题意； 故选：D． 2. 已知方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．解题的关键是掌握：若、是方程的两个实数根，则，．据此解答即可． 【详解】解：设是方程的另一个根， ∴， ∴， ∴它的另一个根是． 故选：C． 3. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求菱形的面积，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：菱形的面积为； 故选C． 4. 已知方程 的解是，则方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 由题意知，的解为或，计算求解即可． 【详解】解：∵方程 的解是， ∴的解为或， 解得，或， 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解“湖北省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B. “打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是不可能事件 C. 大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D. 甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了抽样调查以及事件分类、方差等知识点．直接利用抽样调查以及方差、事件分类分别分析得出答案． 【详解】解：A．了解“湖北省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是抽样调查，故此选项不符合题意； B．“打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是随机事件，故此选项不符合题意； C．大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故此选项符合题意； D．甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则乙的成绩比甲稳定，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A. 有一个角相等的两个等腰三角形 B. 有一个角相等的两个直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故不符合题意； 故选：C． 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 同时闭合、，灯泡会发光，根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式，即可解答． 【详解】解：同时闭合、，灯泡会发光， 根据题意列出表格如下： 由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种， ∴能使灯泡发光的概率． 故选：A． 8. 如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A. 8 B. C. 8或 D. 8或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出比例关系式求出的长即可． 【详解】解：当时，如图1， ， ，，， ， ， ； 当时，如图2， ， ，，， ， ． 综上，的长为8或． 故选：C． 9. 如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各个条件进行判断，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故①正确，④正确； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故②正确； 当＝时，虽但不是其对应的夹角，所以与不相似，故③不正确． 因此有3个正确． 故选：C． 10. 如图，边长为的正方形中，对角线，交于点，在上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质． 由“”可证，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得； 通过证明，可得； 通过证明，可得，通过证明，可得，可得结论； 通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ，故正确； ，， ， ， 又， ， ， ，故正确； ．，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故正确； ，， ，， ， ， 又， ， ， ， ，故正确， 故选：D． 二．填空题（共5小题，15分） 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．一元二次方程根的判别式：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程整理得， ∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 一个盒子中装有15颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，别红色幸运星颗数约为______颗． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．熟练掌握利用频率估计概率的方法，是解题的关键； 设袋中红色幸运星有x颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】解：设袋中红色幸运星有x颗，根据题意，得： ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：10． 13. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出，，然后根据分式的性质进行化简可得答案． 【详解】解：∵， ∴，． ∴ ． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意知，，点P在线段上，分两种情况：当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点；当时，利用相似三角形的性质即可求得点P的坐标． 【详解】解：∵， ∴， ∴，点P在线段上． ∵A点的坐标为， ∴，由勾股定理得：； 如图1所示，当时，点P是线段的垂直平分线与的交点，即点P是的中点， ∴点P是的中点， ∴点P的坐标为； 如图2所示，当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用． 三．解答题（共8小题，75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据配方法可先等式两边加上4，则有，然后根据开平方法可进行求解． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ∴． 17. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点． （1）若焦距，物距．小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度； （2）设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像． 【答案】（1）2米 （2） 解：由（1）得， ∴，即， ∴， 当，即时，， ∴，即， ∴物高大于像高，即呈缩小的像． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定； （1）先证明，利用相似三角形的性质得到，再证明四边形是平行四边形，可得米； （2）由（1）得，，则，据此可得，当，即时，，据此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴米， ∴蜡烛的像的长度为2米； 【小问2详解】 略 18. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点，点分别在上，，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若点是的中点，，，求四边形的周长和面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∴为等腰三角形， ， 四边形是菱形； （2）四边形的周长和面积分别是和 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，再证，得为等腰三角形即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，由直角三角形斜边上的中线性质得，然后根据勾股定理和菱形面积公式即可得出结论． 本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，等腰三角形的性质、菱形的面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， ， 为的中点， ， ，， ，， ， ， （负值已经舍去）， ，， 四边形的面积． ∴四边形的周长． ∴四边形的周长和面积分别是和． 19. 已知的一边为5，另两边是方程的解 （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不等实根 （2）如果是直角三角形，求k的值； （3）如果是等腰三角形，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个不等实根； （2）5或14 （3）12或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、勾股定理，解答的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （1）求得，根据一元二次方程根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根可证得结论； （2）先求得方程的两个根，然后根据勾股定理和分类讨论思想求解即可； （3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，结合分类讨论思想求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由得， ∴， 解得，， ∵是直角三角形， ∴若5为斜边时，则有， 整理，得， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，三边为3，4，5，符合题意； ∵， ∴若为斜边时，则有，解得， 此时三边为5，12，13，符合题意， 综上，当是直角三角形时，k的值为5或14； 【小问3详解】 解：由（2）知，，由于，是等腰三角形， ∴当时，，此时底边长为， ∴底边上的高为， ∴的面积为； 当时，，此时底边长为， ∴底边上的高为， ∴的面积为， 综上，当是等腰三角形时，的面积为12或． 20. 已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）2或1 【解析】 【分析】(1)证明即可． (2)根据三角形相似的性质，列出方程，计算求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∵，是等边三角形， ∴,， ∴ ， ∴， 解得或； 综上所述， 的长为1或2． 21. 某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． （1）求空调的下降率； （2）若要求风扇的营业额为854000元，则风扇应按照多少元销售． 【答案】（1）空调的下降率为 （2）风扇应按照元销售 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用， （1）根据题意，设降价率为，运用一元二次方程与增长率的关系列式计算即可求解； （2）设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元， ∴设降价率为， ∴，则， ∴， 解得，或， ∵是降价， ∴，即空调的下降率为． 【小问2详解】 解：设下降了个元，则现在的售价为元，现在的销售量为台， ∴，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴下降了个元，即下降了元，则（元）， ∴风扇应按照元销售． 22. 如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 【答案】 （1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）GD＝ 【解析】 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可． 【详解】（1）略 （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2， ∴AE＝，BP＝AB＝1， ∴ ∴EP＝2 ∴ ∴GD＝． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等． 23. 小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． （2）迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 【答案】（1）或（写出一个即可） （2）阴影部分的面积是 （3）的长为或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形综合应用，涉及矩形性质及应用，翻折变换，含特殊角的直角三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及性质定理． （1）由，，可得，故，从而； （2）点H是的中点，，，，再证，求出，根据三角形面积公式得阴影部分的面积即可； （3）分两种情况：①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，求出，设，则， 再证明，即可求解；②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，求得，得，，，故，根据，即可解答． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）； 【小问2详解】 ∵点H是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是； 【小问3详解】 ①设的中点为K，的中点为T，直线为矩形的对称轴，当F在上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∴； ②设的中点为N，的中点为M，直线为矩形的对称轴，当F在直线上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上所述，当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期九年级数学期中测试卷 一．选择题（共10小题，30分） 1. 菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对边平行 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 2. 已知方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，若，则菱形的面积为（　　） A. B. C. D. 4. 已知方程 的解是，则方程，它的解是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 了解“湖北省初中生每天体育运动时间的情况”最适合的调查方式是全面调查 B. “打开电视机，恰好播放新闻”这一事件是不可能事件 C. 大量重复试验时，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D. 甲、乙两人跳绳各10次，其成绩的平均数相等，，则甲的成绩比乙稳定 6. 如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A. 有一个角相等的两个等腰三角形 B. 有一个角相等的两个直角三角形 C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 有一组角是对顶角的两个三角形 7. 在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，D为上一点，且，在上取一点E，若以A、D、E为顶点的三角形与相似，则的长为（　　） A. 8 B. C. 8或 D. 8或 9. 如图，是的边上一点，下列条件：①；②；③；④．其中一定使的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，边长为的正方形中，对角线，交于点，在上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二．填空题（共5小题，15分） 11. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 12. 一个盒子中装有15颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在左右，别红色幸运星颗数约为______颗． 13. 已知，则的值为______． 14. 如图，在矩形中，点P是线段上一动点，且，E，F为垂足，，则的值为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形的内部，点E在边上，且满足，当△是等腰三角形时，点P的坐标为___________． 三．解答题（共8小题，75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点． （1）若焦距，物距．小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度； （2）设，，求y关于x的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像． 18. 如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点，点分别在上，，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若点是的中点，，，求四边形的周长和面积． 19. 已知的一边为5，另两边是方程的解 （1）求证：无论k为何值，方程总有两个不等实根 （2）如果是直角三角形，求k的值； （3）如果是等腰三角形，求的面积． 20. 已知：如图，是等边三角形，点分别在边上， （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 某商场为开展“暑假消暑活动”，对某款空调进行了两次降价活动，且两次降价率相同，降价前为3500元，降价后为2835元．对某款风扇进行降价活动，每下降10元，可以增加2台销售量，当按照原价为800元销售时可每月有1200的销售量． （1）求空调的下降率； （2）若要求风扇的营业额为854000元，则风扇应按照多少元销售． 22. 如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 23. 小明和小刚走进教室，跟随李老师探究“矩形折叠中的相似三角形”问题．请你一同作答：如图，已知在矩形中，，，点E为边上一点（不与点A、点B重合），先将矩形沿折叠，使点B落在点F处，交于点H． （1）观察发现 写出图1中一个与相似的三角形： ． （2）迁移探究 当与的交点H恰好是的中点时，如图2．求阴影部分的面积． （3）拓展应用 当点B的对应点F落在矩形的对称轴上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $