专题02 不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（江苏专用）

专题02 不等式 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 3 考点一：比较数或式的大小 3 考点二：利用基本不等式求代数式的最值 5 考点三：一元二次不等式的解法 7 考点四：不等式恒成立问题 9 考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用 11 实战能力训练 13 明晰学考要求 1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质； 2、掌握基本不等式，能用基本不等式解决最值问题； 3、了解一元二次不等式； 4、能够从函数观点认识方程和不等式； 5、了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 基础知识梳理 1、不等式中的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 ①由上述基本事实可知，要比较两个数或式的大小，只需要比较这两个数或式的差与0的大小，一般将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． ②对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． ③对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小． 2、不等式的性质 性质 性质内容 注意 1 a>b⇔b<a ⇔ 2 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 ①若a＞b＞0，则0＜＜； ②若a＜b＜0，则0＞＞. ③若，则. 3、基本不等式 （1）不等式≤（）称为基本不等式，当且仅当a＝b时，等号成立．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）当时，，，以上两式均在a＝b时取等号. （3）最值定理：已知x，y都为正数，则：如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2.简记为：积定和最小，和定积最大． （4）应用基本不等式的三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 4、一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数 5、一元二次不等式的解法 （1）二次函数零点的概念：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． （2）三个二次的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ ①零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标． ②不等式的解集必须写成集合的形式.若不等式无解，则应说解集为空集． 考点精讲讲练 考点一：比较数或式的大小 【典型例题】 例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD可举出反例；B选项，可利用不等式的性质得到. 【详解】A选项，若，则，A错误； B选项，由不等式的性质可得，B正确； C选项，若，满足，但，C错误； D选项，若，满足，但，D错误. 故选：B 例题2．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由不等式的性质、充要条件的定义即可求解. 【详解】由不等式的性质可知：等价于，即“”是“”的充要条件. 故选：C. 例题3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 【即时演练】 1．若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特殊值作反例，可判断A、B、C项；根据不等式的性质可判断D项. 【详解】对于A，取，，则，，显然，但是，A项错误； 对于B，取，，，满足，， ，，但，B项错误； 对于C，取，，但，故C项错误； 对于D，若，，则，故D正确. 2．已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 3．已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过条件求出的范围，再消去求范围即可. 【详解】由得， 所以，得， 所以. 考点二：利用基本不等式求代数式的最值 【典型例题】 例题1．若，则有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 【答案】A 【分析】利用基本不等式求出最值. 【详解】因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，所以当时，则有最小值6. 故选：A. 例题2．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 例题3．已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 【即时演练】 1. 已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知利用1的代换法，结合基本不等式即可求解． 【详解】因为，且， 则， 当且仅当，即时取等号． 故选：B． 2.已知，的最小值为 ． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 3．若，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴时取得最小值3. 故答案为：3． 考点三：一元二次不等式的解法 【典型例题】 例题1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】因式分解，求出不等式解集. 【详解】，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 例题2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式，再结合交集求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 例题3．若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意知，是方程的两个根，且， 则，解得， 所以. 故选：D. 【即时演练】 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，解一元二次不等式即可. 【详解】解不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 2．关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由且不等于1， 由题意得，，解得. 3．一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可． 【详解】不等式即可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 考点四：不等式恒成立问题 【典例讲解】 例题1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 例题2．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为当时，不等式恒成立，则， 原题意等价于当时，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 例题3．设函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可； （2）分离参数，再利用基本不等式求出右边最小值即可. 【详解】（1）当时，即为， 解得或， 则该不等式解集为. （2）对恒成立， 即对恒成立， 分离参数得对恒成立， 因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 则. 【即时演练】 1．若不等式对一切实数都成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为不等式对一切实数都成立， 所以，解得，故B正确. 故选：B 2．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将原问题条件等价转换为对任意恒成立，故只需求出在上的最大值即可. 【详解】由题意对任意恒成立， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 3．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用 【典例讲解】 例题1．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 【答案】A 【分析】令，求解，求出排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间. 【详解】由题意得：，令， 即，解得， 所以排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为. 故选：A. 例题2．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 【答案】400 【分析】由的表达式得到每台设备的平均成本，由均值不等式等号成立条件得到答案. 【详解】每台设备的平均成本， 当且仅当，时，等号成立， 故答案为：400. 【即时演练】 1.某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 【答案】D 【分析】根据利润=销售额总成本，列出不等式，然后解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题意，有，即， 所以，解得或（舍）． 故选：D. 2．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 实战能力训练 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的性质以及定义特殊值可求得结果. 【详解】取，，可知A，B错误； 因为，所以C正确； 取，可知D错误； 故选：C. 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式可得，再由交集、并集运算可得结果. 【详解】解不等式可得； 又可知，可知A错误，B正确； ，即可得C错误，D错误. 故选：B 3．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 4．一元二次不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】求出一元二次不等式的解集判断即可. 【详解】不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 5． “”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】同向不等式可以相加，所以“且”“”，必要性满足； 若时，取，此时且不成立，即充分性不成立； 则“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B 6.设，，则有（   ） A． B． C． D．.. 【答案】C 【分析】由作差法判断两式大小. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：C. 7．若且，则的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】若且，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：D. 8．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，一元二次不等式对一切实数都成立， 所以，解得， 所以的取值集合为. 故选：A 9.不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】把分式不等式转化为整式不等式，即可得解. 【详解】由，得，即，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 10．某生物制药公司为了节约污水处理成本，引进了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）满足函数关系式，则每吨的月平均处理成本最低为（   ） A．200元 B．220元 C．300元 D．400元 【答案】B 【分析】求出每吨的月平均处理成本表达式，再根据基本不等式求出最小值可得结果. 【详解】依题意，每吨的月平均处理成本为元， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当月处理量为100吨时，每吨的月平均处理成本最低. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 不等式 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 3 考点一：比较数或式的大小 3 考点二：利用基本不等式求代数式的最值 5 考点三：一元二次不等式的解法 7 考点四：不等式恒成立问题 9 考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用 11 实战能力训练 13 明晰学考要求 1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质； 2、掌握基本不等式，能用基本不等式解决最值问题； 3、了解一元二次不等式； 4、能够从函数观点认识方程和不等式； 5、了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 基础知识梳理 1、不等式中的基本事实 依据 a>b⇔a－b>0； a＝b⇔a－b＝0； a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 ①由上述基本事实可知，要比较两个数或式的大小，只需要比较这两个数或式的差与0的大小，一般将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． ②对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． ③对于某些问题也可能采用取中间值的方法比较大小． 2、不等式的性质 性质 性质内容 注意 1 a>b⇔b<a ⇔ 2 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 ①若a＞b＞0，则0＜＜； ②若a＜b＜0，则0＞＞. ③若，则. 3、基本不等式 （1）不等式≤（）称为基本不等式，当且仅当a＝b时，等号成立．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）当时，，，以上两式均在a＝b时取等号. （3）最值定理：已知x，y都为正数，则：如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值S2.简记为：积定和最小，和定积最大． （4）应用基本不等式的三个关键点：一正、二定、三相等． ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备． 4、一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a≠0，a，b，c均为常数 5、一元二次不等式的解法 （1）二次函数零点的概念：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． （2）三个二次的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ ①零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标． ②不等式的解集必须写成集合的形式.若不等式无解，则应说解集为空集． 考点精讲讲练 考点一：比较数或式的大小 【典型例题】 例题1．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例题2．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二：利用基本不等式求代数式的最值 【典型例题】 例题1．若，则有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 例题2．已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 例题3．已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【即时演练】 1. 已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.已知，的最小值为 ． 3．若，则的最小值是 ． 考点三：一元二次不等式的解法 【典型例题】 例题1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 例题2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例题3．若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 【即时演练】 1．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 2．关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．4 3．一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 考点四：不等式恒成立问题 【典例讲解】 例题1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 例题3．设函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【即时演练】 1．若不等式对一切实数都成立，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 考点五：基本不等式与一元二次不等式的实际应用 【典例讲解】 例题1．若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中为初速度.向盼归同学以竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方处及以上的位置最多停留时间为（    ） A．1.8 B．2.8 C．3.8 D．4.8 例题2．某服装加工厂为了适应市场需求，引进某种新设备，以提高生产效率和降低生产成本．已知购买台设备的总成本为（单位：万元）．若要使每台设备的平均成本最低，则应购买设备 台． 【即时演练】 1.某产品的总成本为万元，与产量台的关系是，其中，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是（　　） A．60台 B．90台 C．120台 D．150台 2．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 实战能力训练 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 4．一元二次不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 5． “”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分条件 D．既不充分也不必要条件 6.设，，则有（   ） A． B． C． D．.. 7．若且，则的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 8．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 9.不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 10．某生物制药公司为了节约污水处理成本，引进了一批新型生物污水处理器，通过费用开支的记录得知其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）满足函数关系式，则每吨的月平均处理成本最低为（   ） A．200元 B．220元 C．300元 D．400元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$