精品解析：山东省济南市历下区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024~2025学年第一学期九年级期中教学质量检测数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图的画法，掌握左视图是从物体的左边观察得到的图形是解题关键．注意实际存在又没有被其它棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 【详解】解：从左边看到的图形如图， ， 故选D． 2. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，和的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质．反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小．根据反比例函数的增减性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点在第一象限内，点，在第三象限内， ∴，， ∴． 故选：B． 3. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识．由，推出，进一步计算可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图表示所有等可能的结果是解题关键．设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C，再列出表格表示所有等可能的结果，最后找出符合她们恰好选到同一类岗位的结果，用概率公式计算即可． 【详解】解：设“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位分别为A、B、C， 依题意可列表格如下， 小霞 小艺 A B C A A，A B，A C，A B A，B B，B C，B C A，C B，C C，C 由表格可知共有9种等可能的结果，其中她们恰好选到同一类岗位的结果有3种， ∴她们恰好选到同一类岗位的概率是． 故选B． 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合．根据反比例函数的比例系数知，可排除选项CD；分和判断一次函数的图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：反比例函数中，，则反比例函数图象经过二、四象限，选项C、D不符合题意； 当时，，则一次函数的图象不经过第二象限，选项A符合题意； 当时，，则一次函数的图象不经过第三象限，选项B不符合题意； 故选：A． 6. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的比例线段．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，是线段的两个黄金分割点， 线段的长为， ， ， ， 四个黄金分割点组成的正方形的边长为． 故选：B． 7. 如图，直线与双曲线交于，两点，已知，则该函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，勾股定理，求反比例函数的解析式，先设，因为，所以，则，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：如图：过点A作轴， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， 则， 解得， ∴ 故选：D． 8. 如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用数形结合的思想是解题关键．设，结合题意可得出，，解出x的值即可． 【详解】解：如图，设表高， ∵冬至时，；夏至时，， ∴冬至时，；夏至时，， ∴，， ∴，， 解得：． 故表高为． 故选A． 9. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），y随x的变化而变化，且当时，，则y与x的函数关系可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为光源与胶片组成的三角形与光源与投影后的图象组成的三角形相似，所以可用相似三角形的相似比解答；将的值代入解析式，即可求得函数解析式； 本题考查的是相似三角形的运用，求函数的解析式，解答此题的关键是找出相似三角形，利用三角形对应高线的比等于相似比解答． 【详解】解： ， ∴ ， ， ， 解得， ∵， ， ； 故选：C． 10. 已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A. 或 B. 且， C. 或 D. 且， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，正确应用比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，先求得，然后代入中计算，即得答案． 【详解】， ， ． 故答案为：． 12. 近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有___只候鸟． 累计捕捉数量（只） 100 200 350 420 480 带有标记卡数量（只） 13 24 44 52 60 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据累计捕捉数量越大，计算出的频率越接近概率，据此即可作答． 【详解】解：依题意，，，，，， ∵累计捕捉数量越大，计算出的频率越接近概率， ∴（只） 故答案为：． 13. 坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题关键．令所在的水平线与交于点，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，令所在的水平线与交于点， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，点P，Q，R在反比例函数的图象上，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则___． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义．根据以及反比例函数系数k的几何意义得到，，，列方程即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：30． 15. 如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以，为邻边构造，连接，则的最小值为___． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长交的延长线于点M，连交于点O，利用平行四边形的性质证出，得出，然后由得出，由此可以得出，再由勾股定理求得的长，最后代入计算即可得解． 【详解】如图，延长交的延长线于点M，连交于点O， ∵， ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，, ∴， ∴， ∴当取最小值时，此时最小， 由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”知， 时，取最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点晴】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线截线段成比例定理，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求的面积． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，能求出两函数的解析式是解此题的关键，用了数形结合思想． （1）把B点的坐标代入函数解析式，即可求出答案； （2）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出点A的坐标，求出点的坐标，再根据三角形面积公式求即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：点在函数的图象上， ，即， 在反比例函数的图象上， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知一次函数的解析式为，令，得， 反比例函数的解析式为， 点的坐标是， 由解得，， 由图象可得：点A的坐标为， ． 17. 图1是小亮沿广场道路散步的示意图，线段表示直立在广场上的灯柱，点表示照明灯的位置，已知小亮身高，． （1）如图2，小亮站在E处时与灯柱的距离，则此时小亮的影长　　　m； （2）如图3，小亮继续行至G处时，发现其影长恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离． 【答案】（1） （2）此时小亮与灯柱的距离为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）由，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （2）由，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得， ∴， ∴， 解得； 答：此时小亮与灯柱的距离为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）以原点为位似中心画，使它与位似．若在第一象限内画出； （2）在（1）的条件下，求点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换，坐标与图形的变化—位似变换．利用数形结合的思想是解题关键． （1）连接，根据与位似，且则的中点分别为，再顺次连接即可； （2）结合（1）所画图形即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图1，直角尺是机械行业中检验工件垂直度的常用工具．如图2，在矩形中，直角尺的顶点G在上滑动，当点E落在上时，另外两个顶点恰好与A，B重合．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵直角尺， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． （1）随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； （2）该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ （3）该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 【答案】（1），，； （2）人； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查概率、统计表和扇形统计图： 结合统计表中的频数是和扇形统计图中占的百分比可以求出抽取的学生人数为人，用总人数减去、、的频数，即可得到的值，根据的频数是，抽取的学生总数是即可求出占的百分比，这个百分比就是扇形的圆心角占的百分比； 根据抽取的学生中成绩达到等级及以上占抽取比例为，利用样本代替总体求出全校达到级以上的人数； 根据题意列表，从表可以看出共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种，可以求出恰好选中“一男一女”的概率． 【小问1详解】 解：(人)， (人)， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：(人)， 答：该校成绩达到等级及以上的有人； 【小问3详解】 解：列表如下， 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由表可知，共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是一男一女的情况共有种， 恰好选中“一男一女”的概率， 答：恰好选中“一男一女”的概率为． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）如图2，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，与双曲线在第一象限内交于点，连接，，若四边形是平行四边形，求的值． 【答案】（1）一次函数表达式为，反比例函数表达式为 （2）或． （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入，即可求出m和k的值，得出反比例函数的表达式和A，B两点坐标，再将A点坐标代入，即可求出b的值，即一次函数得出表达式； （2）求出一次函数位于反比例函数下方时x的取值范围即可． （3）根据平移可知平移后直线的表达式为，再结合平行四边形的性质即可将看作是由平移得到，根据A，B两点坐标，得出平移规律向右平移4各单位，向上平移4个单位，则设，则，最后根据函数图象上点的坐标特征求出t的值，和a的值即可． 【小问1详解】 解：由题意可知点，位于双曲线上， ∴， 解得：， ∴双曲线解析式为，，． 将代入，得：， 解得：， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可知当或时，一次函数位于反比例函数下方， ∴的解集为或； 【小问3详解】 解：根据平移可知平移后直线的表达式为， ∵四边形是平行四边形， ∴可将看作是由平移得到． ∵，， ∴得出平移方式：向右平移4各单位，向上平移4个单位， ∴点D向右平移4各单位，向上平移4个单位，得到点E． 设，则， ∵点D在上，点E在上， ∴，， ∴， ∴，，则， ∴， 解得：． ∵点E在第一象限， ∴， ∴． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，利用图象求不等式的解集，平行四边形的性质，一次函数图象的平移，函数图象上点的坐标特征．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 22. 2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度． 如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形为矩形，，，，延长交于点H，． （1）求此时液压撑杆的长； （2）已知吊臂最长为，抓手，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明． 【答案】（1）此时液压撑杆的长为； （2）使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放3层． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． （1）利用勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （2）作交的延长线于点，证明，利用相似三角形的性质即可求得，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得； 答：此时液压撑杆的长为； 【小问2详解】 解：作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴，∴， ∴， 解得， ∴， ∵集装箱的高为， ∴使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放3层． 23. 小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． （1）刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． （2）认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） （3）类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 【答案】（1）①， ③如图所示： （2）①减小，② （3）①向右平移1个单位；②向左平移个单位 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及画反比例函数图象，平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①直接把和分别代入，进行计算，③用平滑的曲线顺次连接即可作答． （2）运用数形结合思想即可作答①②． （3）运用类比法得出平移规律，即可作答． 【小问1详解】 解：①把代入， 得 把代入， 得； 故答案为：， ②描点：如图所示； ③略 【小问2详解】 解：①当时，随的增大而减小； ②函数的图象的对称中心是， 故答案为：减小，； 【小问3详解】 解：①结合图象，得出函数的图象可以由反比例函数的图象经过向右平移个单位得到的； ②由反比例函数的分母特征得出函数是由向右平移个单位长度得到的， ∵与的分母差值为， ∴函数的图象向左平移个单位可以得到函数的图象 24. （1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 【答案】（1）①， ②的值不变， 理由：在和中，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； ②根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，过F作于H，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正方形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，得到，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①在和中，， ∴， ∴， 答案为：； ②略 （2）连接，过F作于H， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（不合题意舍去）， ∴的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 25. 某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 （1）如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 （2）过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； （3）如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）作轴交反比例函数图象于点，根据折叠的性质可得，然后把代入反比例函数解析式即可求出点的坐标． （2）分点在轴正半轴和负半轴两种情况讨论．当点在轴负半轴时，根据折叠的性质先推出点的横坐标关于的表达式，然后由、两点的横坐标求出和的长度表达式，由建立关于的方程求解即可，点在轴正半轴时，情况类似． （3）先根据折叠的性质和三角形面积公式判断出当直线左右平移得到的两条直线正好与“图象”相切时，切点即为所求．然后分别设出两条直线的解析式，根据直线与反比例函数图象相切时只有一个交点，通过函数解析式建立方程由求出值，进而求出点坐标，再由直线直线并结合点坐标求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求得点坐标即可． 【小问1详解】 解：过点作直线的垂线交反比例函数的图象于点，交直线于点． 根据折叠的性质，． ． 把代入反比例函数得． 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，点点坐标为． 当点在轴负半轴时，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． 根据折叠的性质，， ． 把和分别代入得：，． ， ． ， ，解得． 当点在轴正半轴时，如图，点、、、即、、、， 此时，，． ， ，解得． 故或6； 【小问3详解】 解：如图，当直线沿着轴分别向右和向左平移长度单位时，正好与“图象”在直线上、下半部分的图象相切，两条直线分别交轴于、，此时点到直线的距离最大． 根据折叠的性质，直线垂直平分，则． 故此时最大． 根据平移的性质，直线的解析式为：． 直线的解析式为：． 联立直线的解析式和反比例函数得：． 整理得：． 直线与反比例函数的图象相切只有一个交点． ， 即或18． 直线与轴交于点， 令，，则． ，， ． ，解得， 由得． 点坐标为． 设直线的解析式为， 把和平移，使交点正好处于坐标系原点O，直线解析式变成了，直线的解析式变为．在直线和上取点，轴，N为垂足，在x轴负半轴取点，轴交直线于点，如图： 在和中，，，． ∴， ∴， ∴． 则． 由点坐标可得：，则． 直线的解析式为：． 当时，直线的解析式为：， 联立直线和的解析式求解点坐标： ， 解得，． 点坐标为． 故当以点，，，为顶点的四边形面积最大时，、两点坐标分别为、． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，图形折叠的性质，一元二次方程和二元一次方程组等知识点．根据折叠的性质得出函数图象折叠前后对应点的坐标关系是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期九年级期中教学质量检测数学试题 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，和的大小关系是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 4. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　） A. B. C. D. 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，直线与双曲线交于，两点，已知，则该函数的表达式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，夏至日影最短．圭面上冬至线与夏至线之间的距离的长为，则表高为（　　）（参考数据：冬至时，；夏至时，） A. B. C. D. 9. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投射到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），y随x的变化而变化，且当时，，则y与x的函数关系可表示为（　　） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A. 或 B. 且， C. 或 D. 且， 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 若，则___． 12. 近年来，济南环境保护效果显著，越来越多的候鸟选择来济过冬．为了解候鸟的情况，生物学家采用“捕获—标记—再捕获”的方法估计候鸟的数量．先随机捕捉40只候鸟，戴上标记卡并放回，经过一段时间后，重复进行5次捕捉．记录数据如下表，由此估计该区域约有___只候鸟． 累计捕捉数量（只） 100 200 350 420 480 带有标记卡数量（只） 13 24 44 52 60 13. 坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度___． 14. 如图，点P，Q，R在反比例函数的图象上，分别过这三个点作轴、轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为，，．若，，则___． 15. 如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以，为邻边构造，连接，则的最小值为___． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求的面积． 17. 图1是小亮沿广场道路散步的示意图，线段表示直立在广场上的灯柱，点表示照明灯的位置，已知小亮身高，． （1）如图2，小亮站在E处时与灯柱的距离，则此时小亮的影长　　　m； （2）如图3，小亮继续行至G处时，发现其影长恰为身高的一半，求此时小亮与灯柱的距离． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）以原点为位似中心画，使它与位似．若在第一象限内画出； （2）在（1）的条件下，求点的坐标． 19. 如图1，直角尺是机械行业中检验工件垂直度的常用工具．如图2，在矩形中，直角尺的顶点G在上滑动，当点E落在上时，另外两个顶点恰好与A，B重合．若，求的长． 20. 年月日是中国第个“全民健身日”．为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 请根据以上信息，完成下列问题． （1）随机抽取的学生人数为___________人，统计表中的___________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为___________度； （2）该校共有人参加比赛，请你估计该校成绩达到等级及以上的有多少人？ （3）该比赛服务组有两名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集； （3）如图2，将直线向上平移个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，与双曲线在第一象限内交于点，连接，，若四边形是平行四边形，求的值． 22. 2024年9月，济南港—寿光港集装箱业务的首船作业，标志着小清河复航业务再结硕果．集装箱搬运车是为了更高效地对集装箱进行搬运和叠放，当液压撑杆与吊臂垂直且吊臂完全伸展开时，集装箱搬运车的抓手可以达到最大高度． 如图1是抓手达到最大高度时的示意图，四边形为矩形，，，，延长交于点H，． （1）求此时液压撑杆的长； （2）已知吊臂最长为，抓手，某批集装箱的长宽高如图2所示，使用该款搬运车最多能将集装箱在地面上叠放几层?请通过计算说明． 23. 小光根据学习函数的经验，探究函数的图象与性质． （1）刻画图象 ①列表：下表是，的几组对应值，其中　　　，　　　； … … … … ②描点：如图所示； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接． （2）认识性质 观察图象，完成下列问题： ①当时，随的增大而　　　； ②函数的图象的对称中心是　　　．（填写点的坐标） （3）类比探究 ①小光发现，函数的图象可以由反比例函数的图象经过平移得到．请结合图象说明平移过程； ②函数的图象经平移可以得到函数的图象，请说明平移过程． 24. （1）在和中，． ①如图1，当与重合时， 　 　； ②如图2，绕点C逆时针旋转一定角度，连接，的值是否改变？请说明理由； （2）如图3，正方形的边长为2，E为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角，，连接，当时，求的长． 25. 某数学兴趣小组学习了反比例函数后，进一步研究反比例函数的图象，他们在平面直角坐标系内选定点，过点P作直线，并将图象沿该直线按一定的操作翻折，探究过程如下： 【动手操作】操作1：如图1：过点P作x轴的平行线l，将直线l上方的反比例函数图象沿直线l翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“X图象”． 操作2：如图2，过点P作y轴的平行线m，将直线m左侧的反比例函数图象沿直线m翻折得到新图象，与第一、三象限未翻折的图象组成“Y图象”． 操作3：如图3，过点P作直线n：，将第一象限内反比例函数的图象在直线n下方的部分沿直线n翻折得到新图象，与直线n下方的图象组成的封闭图象是“Z图象”． 【解决问题】 （1）如图1，求“X图象”与x轴的交点C的坐标 （2）过x轴上一点作Y轴的平行线，与“Y图象”交于点M，N．若，求t的值； （3）如图3，反比例函数的图象与直线n交于点E，F，已知点G和点H是Z图象上的两个动点，当以点E，G，F，H为顶点的四边形面积最大时，直接写出点G和点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $