广东省潮州市松昌中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

潮州市松昌中学042025学 年度第一学期 期中教学检测 高二级数学科试卷参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是最符合题目要求的 1.A【详解】a⊥i,.a-b=1×(-)+y×1+2×1=0,.y=-1,故选：A. 2.【答案】A【详解】因为直线1：mr+y-1=0,2:(4m-3)x+my-1=0, m2=4m-3 若川2，则 ,解得：m=3,所以实数m的值为3，故选：A 一m≠-1 3.【答案】C 【详解】由向量a=(0,1),万=(（1,2,1)可得a-b=(0,l1)(1,2,1)=3, |a=V02+1P+1P=2, 5为语吕房出-引 故选：C 4.【答案】B 【详解】因为N为AC,与BD的交点， 所0w-04+0c号而+号0=5+， 故=0N-0M=0N-0D=+-()-+.故选：B 5.【答案】B 【详解】解：以C为坐标原点，分别以CA,CB,CC的 方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得C(Q.0o,C(@.0,),D1,B(0,10), 1 期G6=(1-小.而-（小所以oa.)- CB.CD √2 CB CD 反×4 /9 6 又因为异面直线所成的角的范围为 0交 所以异面直线CD与BC,所成角的余弦值为 2 J反故选：B 6 6.【答案】c 【详解】设点M的坐标为M(x,y),因为M点是线段PQ的中点， 可得Q(2x-1,2,点0在圆上，则(2x-)+2=4,即x-+少=1.故选：C 7、【答案】A 解：直线1方程为c-y-k+2=0转化为k(x-1)-(y-2)=0, P1,2) B(-2,1) 所以直线I过定点P(L,2),且与线段AB相交，如图所示， 则直线P4的斜率是一子-5， A(2,-3) 1-21 直线PB的斜率是km=2一了' 则直线1与线段B相交时，它的斜率k的取值范围是k≥或k≤-5.故选：A 3 8.【答案】B 【详解】解：设点A关于直线x+y=3的对称点A(a,b), b …(-1)=-1 AA的中点为+2 a=3 22 ,k= 6 a-2 解得 a-2 a+2.b +5=3 b=1 22 要使从点A到军营总路程最短，即为点A到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为√32+P-1=√10-1，故选B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 2 分 9.【答案】BC 【详解】对于A:令x=0时，y=一2，故在y轴上的截距是2，A错 对于B:直线的斜率为2，在太y轴上的酸距分别为5，故直线经过第一、二、三象限。 B对.对于C:过点(5,0)，倾斜角为90的直线方程为x-5=0,故C对.对于D:当直线的截 距不为0时，设直线的方程为：+上=1，把点P(山，2)代人直线得a=3,所以直线方程 aa 为：x+y-3=0,当截距为0时，设直线方程为：y=x,把点P(1,2)代人直线得k=2, 直线方程为：y=2x,故D错.故选：BC 10.【答案】BD 【解析】由己知AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),BC=(-3,1,1), 含异因此与C不共线，A销 A8=V5,所以与向量B方向相同的单位向量坐标是 521.0= 255 55 0),B正 确：AB.BC=-6+1+0=-5,BC=1, AB·BC -5 cos AB,BC>= v55 AB BCV5x1-11,C错：BC在AB上的投影是 BC.AB-5 AB 5 =-5, 所以投影向量的模为√5，D正确 故选：BD 11、【答案】ABD 【详解】如图建立空间直角坐标系， A0,0,0),B(1,0.0),C(1,L,0),D(01,0),A(0.0.1),B(1,0,1) C B c,n(o).o》: 则BC=(0,L,-1),BD=(-1,1,I),BD=(-1,1,0),BA=(-1,0,) D iBA =0 设平面ABD的法向量为n=(x,只，z),则 即 BD=0 3 -x+2=0令x=l,可得a=1),则n:BC=0x1+1x1+1x←10，即疗18C, -x+y=0 又直线B,C女平面ABD,所以直线B,C∥平面ABD,故A正确： 因为BCBD=-1×0+I×1+（←IK1=0,即BC⊥BD,所以B,C⊥BD,故B正确： 么a=eam-号aG-Sca兮xx宁xx1=名故C错误： 2 设球心坐标为O(x,y,z),则|OC1=OC=OE OB=R, 由l0c牛oc可得x-+0-+=-+0-1j+e-,解得：=号 由1OBoC何得(-++e-=(-y-了+c-y,解得y=2' 1 再由108H0E可得-+女行+行期得-号 所以ROC日 ,故D正确。 故选：ABD 16 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12、【答案】5 【详解】直线2：2x+4y-1=0可化为l2:x+2y- =0,则直线1：x+2y+2=0与直 线l2:2x+4y-1=0平行，故直线l:x+2y+2=0与直线2：2x+4y-1=0之间的距离 为d 12-(川 5, 故答案为： 5 13.【答案】√5 【详解】平行六面体ABCD-AB,CD中，AC=AD+AB+AA, AC=(AD+AB+A4)=AD'+AB+44+24B.AD+24D. A =4+4+9+0+2x2×3x(2+2x2x3x(-2=5 AC=4C=5.故答案为：5. 4 【详解】由题意，将已知转化为直线y=k(x+4)与曲线 y=V4-x2有两个不同的交点，直线y=k(x+4)过定点 P(-4,0),曲线y=V4-x2表示圆心为原点，半径为2的 圆的上半部分（包括与x轴的交点），画出图形如下图所示 当直线y=k(x+4),即直线x-y+4k=0与圆相切时， 4k 则有 V1+k2 上2，解得=3×3 3 结合图形可得当直线与圆有两个不同的交点时，则有0≤k< 3 ∴实数k的取值范围是 3 故答案为： 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 502:2)52:3)1 【详解】(1)解：a-b=1×(-2)+2×1+2×(1)=-2:4分 (2)解：2a-万=(4,3,5)，2a-=V4+32+52=52:…8分 (3)解：因为a⊥(a+5),所以a(a+5)=0, 即a-a+@.6=9-22=0,解得2=号 .13分 16.【答案】(1)3x-y-14=0 (2)(x+2)2+(y+5)2=85 【解析】 【1)由B7,-3),C(-8,2),得直线BC的斜率为：kc=2+3=- -8-73’…2分 设BC边上的高所在直线的斜率为k,则由k·kC=-1,得k=3,·4分 5 所以BC边上的高所在的直线方程为：(y-)=3(x-5),...6分 即3x-y-14=0.7分 【小问2详解】 设所求的方程是(x-)+(y-b)2=r2.①....8分 因为A(5,1),B(7,-3),C(-8,2)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. (5-a+1-b)=r2 [a2+b2-10a-2b+26=r2 于是(7-a)}2+(-3-b2=r2,即{a2+b2-14a+66+58=r2…11分 (-8-a+(2-b=r2 a2+b2+16a-4b+68=r2 观察上面式子，我们发现，三式两两相减，可以消去α2，b2,r2, a-2b-8=0 a=-2 得到关于a,b的二元一次方程组 解此方程组，得 3a-b+1=0 b=-5·…13分 代入(5-a)2+(1-b)2=r2,得r2=85..14分 所以△ABC的外接圆的标准方程是(x+2)2+(y+5)2=85,,,.,.15分 17.(1)证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， (1,0,0八，(0,00小，10,0,2,0,1,1) 2分 =(-1,0,0小，1=0,1，-1) 4分 → ·1=0, ÷上1· 6分 (2)解：(1,0,01,0,0,2,0,1,1,11,0,2) ￥ =(0,0,21. 1=（-1,0,2,=（-1,1,1, 8分 设平面1的法向量=(，，， 则 ·1=-+2=0,取=1，得=2,1，功 10分 =-++=0 设与平面1所成角为， 则n计品合 12分 6 cos=2-(:图 14分 ,与平面1所成角的余弦值为园 15分 18、【答案】(1)(x-3)+y2=4:(2)x-5=0或3x+4y+1=0 【详解】(1)设动点M的坐标为(x,y),1分 则MA=Vx+1+y2，MB=Vx-2+y2,3分 MA Vx+1)'+y 由题意得 MB =2,5分 Vx-2)2+y2 化简得(x-3+y2=4,7分 因此，动点M的轨迹方程为(x-3)+y2=4:8分 (2)当过点P的直线斜率不存在时，直线方程为x=5,9分 圆心C(3,0)到直线x=5的距离等于2，此时直线x-5=0与曲线C相切：…11分 当过点P的直线斜率存在时，不妨设斜率为k,12分 则切线方程为y+4=k(x-5),即k红-y-5k-4=0,13分 由圆心到直线的距离等于半径可知， Bk-5-4=2,解得= Vk2+1 415分 所以，切线方程为3x+4y+1=0…16分 综上所述，切线方程为X-5=0或3x+4y+1=017分 19.【答案】(1)√2 26 3,v6 3 【详解】(1)建立空间直角坐标系，以D为原点，D4为x轴，DC为y轴，DD为z轴. 已知正方体棱长为2，则4(2,0,2)，C(0,2,0),F1,2,2). D 可得AC=(-2,2.-2),CF=(10,2). 设F点到AC的距离为d,根据向量积公式a·b=a川b|cos0, D 先求CF在AC上的投影1CF1cos0,cos0= CF.AC CFIACI 计算CF.AC=-2+0-4=-6,1CF=1+0+4=√5,1ACF√4+4+4=25 则F1es025店 -6 根据距离公式d=VCFP-CFP cos20,d=5-3=互. (2)先求平面ACE的法向量i.已知E(2,1,0),A(2,0,2),C(0,2,0), 则AE=(0,1,-2),4C-(-2,2,-2) 设n=(x,,z),由i·AE=0且·AC=0, 可得 y-2z=0 仁2x+2y-2=0令2=l,解得)y=2,x=1,所以元=0,2，. 又C示=(L0,2),点F到平面4CE的距离d=CF, 计算C示：方1+0+2三3，元1+4+1=V6,所以d=店=)5 (3)求二面角A-I-F的余弦值 因为平面A,EC与平面BCCB交于直线I,E∈1，C∈I. 根据正方体性质，可知平面BCC,B的法向量可取m=(0,1,O). 己求得平面ACE的法向量元=(1,2，). 设二面角4-1-F为0，则cos0=1m:叫 m方 计算mi=2,m=1,l上6. 所以cos0= 2-6 631 潮州市松昌中学 期中教学检测 高二级数学科试卷 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是最符合题目要求的. 1．设  1, , 2a y  ，  1,1,1b    ，且 a b   ，则 y等于（ ） A． 1 B．1 C． 2 D．2 2. 已知直线 1 : 1 0  l mx y ， 2 : (4 3) 1 0l m x my    ，若 1 2//l l ，则实数m的值为 （ ） A. 3 B. 1 C. 1或 3 D. 0或 1 3 3. 已知向量  0,1,1a   ，  1,2,1b   ，则b  在 a  上的投影向量为（ ） A. 3 2 3 20, , 2 2        B. 1 1,1, 2 2       C. 3 30, , 2 2       D. 2 2, 2, 2 2        4. 如图所示，在平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，N 为 1 1AC 与 1 1B D 的交点，M 为 1DD 的 中点，若 AB a   = ， AD b   ， 1AA c   ，则MN   （ ） A. 1 1 1 2 2 2 a b c     B. 1 1 1 2 2 2 a b c     C. 1 1 1 2 2 2 a b c     D. 1 1 1 2 2 2 a b c     5.. 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC- 中，D为棱 1 1A B 的中点， 2AC  ， 1 1CC BC  ， AC BC ，则异面直线 CD与 1BC 所成角的余弦值为（ ） A. 3 3 B. 2 6 C. 2 4 D. 2 3 2024—2025学 年度第一学期 2 6. 点  1,0P ，点Q是圆 2 2 4x y  上的一个动点，则线段 PQ的中点M的轨迹方 程是（ ） A. 2 2 1 1 2 x y       B. 2 2 1 4 2 x y       C. 2 21 1 2 x y       D. 2 21 4 2 x y       7．已知点    2, 3 , 2,1A B  ，若过点  1,2P 的直线 l与线段 AB相交，求直线 l的斜 率 k的取值范围为（ ） A． 1 3 k  或 5k   B． 1 3 k  或 1 5 k   C． 15 3 k   D． 1 5 k  1 3  8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马 傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观 望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路 程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 2 2 1x y  ，若将军从点 (2,0)A 处出发，河岸线所在直线方程为 3x y  ，并假定将军只要到达军营所在区域即 回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( ) A. 2 2 1 B. 10 1 C. 2 2 D. 10 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线 3 2y x  在 y轴上的截距是 2 B. 直线 2 5 0x y   经过第一、二、三象限 C. 过点  5,0 ，且倾斜角为 90°的直线方程为 5 0x   D. 过点  1,2P 且在 x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 3 0x y   3 10. 已知空间中三点  0,1,0A ，  2,2,0B ，  1,3,1C  ，则（ ） A. AB  与 AC  是共线向量 B. 与向量 AB  方向相同的单位向量坐标是 2 5 5, ,0 5 5        C. AB  与 BC  夹角的余弦值是 55 11 D. BC  在 AB  上的投影向量的模为 5 11．如图，正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 的棱长为 1， E是 1DD的中点，则（ ） A．直线 1 / /BC 平面 1ABD B． 1 1BC BD C．三棱锥 1 1C BCE 的体积为 1 3 D．三棱锥 1 1 C BCE 的外接球的表面积为 41π 16 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. 12. 直线 1 : 2 2 0l x y   与直线 2 : 2 4 1 0l x y   之间的距离为_____________． 13. 如图，已知平行六面体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，底面 ABCD是边长为 2的正方形，侧棱 1AA 长为 3，且 1 1 120A AB A AD    ，则 1AC  _____________． 14.已知直线  4 2y k x   与曲线 24 2y x   有两个 不同的交点，则实数 k的取值范围是______. 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤． 15.（本小题满分 13分）已知向量  1,2,2a   ，  2,1, 1b     . （1）求 a b   ； （2）求 2a b   ； （3）若  a a b   （R），求的值. 4 16.（本小题满分 15分） 已知 ABC 的三个顶点分别是 (5,1)A ， (7, 3)B  ， ( 8, 2)C  ． （1）求BC边上的高所在的直线方程； （2）求 ABC 的外接圆的标准方程． 17.（本小题满分 15分） 在长方体���� − �1�1�1�1中，底面����为正方形， ��1 = 2，�� = 1，�为��中点，�为��1中点. (1)求证：�� ⊥ �1�； (2)求��1与平面��1�成角的余弦值. 18.（本小题满分 17分） 阿波罗尼斯（约公元前 262-190年）证明过这样一个命题： 平面内到两定点距离之比为常数 k（ 0k  且 1k  ）的点的轨迹是圆， 后人将这个圆称为阿氏圆.已知动点M 到点  1,0A  与点  2,0B 的距离之比为 2， 记动点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C的方程； （2）过点  5, 4P  作曲线C的切线，求切线方程. 19．（本小题满分 17分） 如图，在棱长为 2的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，E，F分别为线段 AB， 1 1BC 的 中点． (1)求 F点到 1AC的距离 (2)求点 F到平面 1ACE的距离： (3)若平面 1A EC与平面 1 1BCC B 交于直线 l，求二面角 1A l F  的余弦值．