专题02 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（全国通用，春季高考适用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：等式性质与不等式性质 4 考点二：基本不等式 5 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 6 实战能力训练 7 明晰学考要求 1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质； 2、掌握基本不等式（）； 3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题 4、会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程的根的关系； 5、了解一元二次不等式的意义，会求一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 基础知识梳理 1、不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 2、实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 5、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 6、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 7、二次函数 （1）形式：形如的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根. ②当且()时，恒有()；当且()时，恒有(). 8、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 9.或型不等式的解集 不等式 解集 10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 考点精讲讲练 考点一：等式性质与不等式性质 【典型例题】 例题1．（2024北京）已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024福建）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 例题3．（2024湖北）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）对于任意的实数，下列命题错误的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 3．设，，则有 ．（请填“”、“”、“”，“”，“”） 考点二：基本不等式 【典型例题】 例题1．（2023广西）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024天津）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 例题3．（2024云南）已知，则的最小值是 . 例题4．（2024安徽）已知函数是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)当x＞0时，求函数的最小值. 【即时演练】 1．已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 2．当时，函数的最小值为 . 3．若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 4．已知，且，则的最大值为 ． 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 【典型例题】 例题1．（2024福建）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 例题2．（2024安徽）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3．（2024广东）若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 例题4．（2024新疆）设函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【即时演练】 1．已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．关于的不等式： 的解集为或， 则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 实战能力训练 一、单选题 1．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列命题中，正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 5．已知，则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 6．设，且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 7．若，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．1 D．2 8．已知，，，则的最大值是（   ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，则下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 10．已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知，，且满足，则的最大值是 . 12．已知一元二次不等式的解集为，则 . 四、解答题 13．已知，求的最小值 14．某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. (1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数； (2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 1 考点精讲讲练 4 考点一：等式性质与不等式性质 4 考点二：基本不等式 6 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 9 实战能力训练 13 明晰学考要求 1、理解不等式的概念，掌握不等式的性质； 2、掌握基本不等式（）； 3、能用基本不等式解决简单的最大值或最小值的问题 4、会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程的根的关系； 5、了解一元二次不等式的意义，会求一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 基础知识梳理 1、不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 2、实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 4、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） ①如果，，，当且仅当时，等号成立． ②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 5、两个重要的不等式 ①（）当且仅当时，等号成立． ②（）当且仅当时，等号成立． 6、利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 7、二次函数 （1）形式：形如的函数叫做二次函数. （2）特点： ①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根. ②当且()时，恒有()；当且()时，恒有(). 8、一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 9.或型不等式的解集 不等式 解集 10、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 考点精讲讲练 考点一：等式性质与不等式性质 【典型例题】 例题1．（2024北京）已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 例题2．（2024福建）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质判断AB，举反例判断CD． 【详解】因为， 所以，A正确； ，因此，B错； 时，，但，，CD错； 故选：A． 例题3．（2024湖北）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 【即时演练】 1．已知四个实数．当时，这四个实数中的最大者是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合作差法比较大小. 【详解】由，得，则； ，则； ，则， 所以这四个实数中的最大者是. 故选：C 2．（多选）对于任意的实数，下列命题错误的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式性质可判断. 【详解】A选项：，若，则，选项错误; B选项：,，设，，，，则，选项错误; C选项：若，则，选项正确； D选项：，设，，则，选项错误. 故选：ABD. 3．设，，则有 ．（请填“”、“”、“”，“”，“”） 【答案】< 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法以及完全平方数比较即可求解． 【详解】因为，， 所以 ， 故． 故答案为：<． 考点二：基本不等式 【典型例题】 例题1．（2023广西）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由基本不等式比较大小 【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小. 【详解】因为是圆的半径，所以， 因为是圆的直径，所以， 则，即，即， 所以， 当点与点重合时，，否则，即， 所以. 故选：B 例题2．（2024天津）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为当时，不等式恒成立，则， 原题意等价于当时，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 例题3．（2024云南）已知，则的最小值是 . 【答案】6 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式求出最小值即可. 【详解】由题意知，， 当，即时，等号成立， 所以最小值是6. 故答案为：6 例题4．（2024安徽）已知函数是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)当x＞0时，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由求出，由求出，即可得出答案； （2）由基本不等式求解即可. 【详解】（1）设（）， 由，得， 由，得， 整理，得， 则，解得，， 所以. （2）由（1）知，， 因为x＞0，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 【即时演练】 1．已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】由，得 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值25． 故选：B. 2．当时，函数的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 3．若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题 【分析】由基本不等式求出，从而得到，求出答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．已知，且，则的最大值为 ． 【答案】100 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】由基本不等式，， 所以，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为:100. 考点三：二次函数与一元二次方程、不等式 【典型例题】 例题1．（2024福建）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，解一元二次不等式即可. 【详解】解不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 例题2．（2024安徽）若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围. 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 例题3．（2024广东）若不等式的解集为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可得，是方程的两个根，且，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意知，是方程的两个根，且， 则，解得， 所以. 故选：D. 例题4．（2024新疆）设函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）代入，解出一元二次不等式即可； （2）分离参数，再利用基本不等式求出右边最小值即可. 【详解】（1）当时，即为， 解得或， 则该不等式解集为. （2）对恒成立， 即对恒成立， 分离参数得对恒成立， 因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 则. 【即时演练】 1．已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】对二次项系数是否为0分类讨论可得正确的选项. 【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设； 若，因为不等式的解为空集，故， 故， 综上，， 故选：A. 2．一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可． 【详解】不等式即可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 3．关于的不等式： 的解集为或， 则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由一元二次不等式的解集可得、的具体值，再代入不等式中求解即可得. 【详解】由题意可得，故，解得， 故，解得， 故关于的不等式的解集为. 故选：B. 4．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 实战能力训练 一、单选题 1．已知，下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果. 【详解】对于A，令，则，故选项A错误，不符合题意； 对于B，若，，则，故选项B错误，不符合题意； 对于C，，则，即，故选项C正确，符合题意； 对于D，令，则，故选项D错误，不符合题意； 故选：C. 2．下列命题中，正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用绝对值的意义结合特殊值法判定即可. 【详解】若，即，但，故A、D错误； 若，即，但，故B错误； 显然，则，故C正确. 故选：C 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】解出一元二次不等式，写出解集即可. 【详解】因为，所以，所以解集为. 故选：D. 4．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，一元二次不等式对一切实数都成立， 所以，解得， 所以的取值集合为. 故选：A 5．已知，则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为0. 故答案为：B. 6．设，且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 7．若，则的最小值为（　　） A．3 B．4 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 8．已知，，，则的最大值是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值是1. 故选：D 二、多选题 9．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，则下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】采用作差法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，， ，，，，， ，即，，A错误； 对于B，， ，，，即，，B正确； 对于C，， ，，，，， 即，，C正确； 对于D，， ，，，， 即，，D正确. 故选：BCD. 10．已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，， 故选：AC 三、填空题 11．已知，，且满足，则的最大值是 . 【答案】3 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由已知结合基本不等式即可求解． 【详解】解：因为，，且满足，得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值是3. 故答案为：3. 12．已知一元二次不等式的解集为，则 . 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次不等式的解以及根与系数关系列方程组，由此求得的值. 【详解】由于一元二次不等式的解集为， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题 13．已知，求的最小值 【答案】6 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 14．某华为平板电脑体验店预计年月到年月全年可以销售台平板，已知该平板电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入台，则每批需付运费元，储存购入的平板电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比，若每批购入台，则全年需付运费和保管费元. (1)求全年所付运费和保管费之和关于的函数； (2)若全年只有元资金可用于支付运费和保管费，则能否恰当的安排每批进货的数量，使资金够用？如果够用，求出每批进货的数量：如果不够用，最少还需补多少？ 【答案】(1) (2)每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，此时还需补元 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据已知条件构造函数模型，利用待定系数法即可求解； （2）直接由基本不等式即可求解. 【详解】（1）设保管费与电脑总价值的比例系数为， 则 当时，，解得， 所以； （2）由（1），， 当且仅当，即时，等号成立， 所以每批应购入平板电脑台，全年运费和保管费最少，为元，此时还需补元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$