专题02 整式与因式分解（7类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（全国通用）

专题02 整式与因式分解 课标要求 考点 考向 1.会把具体数代入代数式进行计算。 2了解整数指数幂的意义和基本性质。 3. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则。 4. 能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算。 5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a²-b²，(a±b)²=a²±2ab+b²，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。 6.能用提公因式法、公式法进行因式分解。 整式 考向一 单项式与多项式 考向二 同类项 考向三 整式的加减 考向四 整式的乘除 考向五 整式的混合运算 因式 分解 考向一 提公因式法因式分解 考向二 公式法因式分解 考点一 整式 ►考向一 单项式与多项式 1．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 2．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 3．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 ►考向二 同类项 易错易混提醒 1. 判断同类项 标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。 注意事项：同类项与系数的大小无关，与它们所含的字母顺序无关，所有常数项都是同类项。 2. 合并同类项 要点：字母和字母的指数不变，只把系数相加减。 考查角度1 同类项的定义 4．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 考查角度2 合并同类项 5．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． ►考向三 整式的加减 6．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 7．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ． ►考向四 整式的乘除 解题技巧/易错易混 1. 单项式与单项式相乘法则：将系数相乘作为积的系数，相同字母的幂相乘，单独在一个单项式里的字母连同它的指数作为积的一个因式。 2. 单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 4. 单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 5. 多项式除以单项式法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 考查角度1 幂的运算 8．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 考查角度2 单项式乘单项式 11．（2024·湖北·中考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 考查角度3 单项式乘多项式 12．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 考查角度4 多项式乘多项式 13．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 考查角度5 平方差公式 14．（2024·上海·中考真题）计算 ． 考查角度5 完全平方公式 15．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． ►考向五 整式的混合运算 16．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 考点二 因式分解 ►考向一 提公因式法因式分解 17．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 18．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． ►考向二 公式法因式分解 19．（2024·西藏·中考真题）分解因式： ． 20．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 21．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 22．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 23．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 一、选择题 1．（2024·广西·模拟预测）若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 2．（2024·河南郑州·模拟预测）给出下列判断：在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都互为相反数；多项式是三次三项式；任何正数都大于它的倒数；变为利用了等式的基本性质．其中正确的说法有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2024·河南·一模）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·云南·模拟预测）观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第9个单项式是（ ） A． B． C．17 D． 5．（2024·云南·模拟预测）下列命题正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 B．“水涨船高”是随机事件 C．单项式的次数是2 D．一元二次方程有两个不相等的实数根 6．（2024·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江·模拟预测）小江去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题（如图），你选择的办法是（    ） A．先打折，再用券 B．先用券，再打折 C．都一样 D．无法确定，取决于商品价格高低 9．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　） A． B． C． D． 10．（2024·重庆·模拟预测）有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4057，则；③当时，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．（2024·湖南·模拟预测）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（2024·重庆·一模）在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 13．（2024·甘肃·三模）如果与是同类项，那么 ． 14．（2024·福建厦门·二模）已知，则的值为 ． 15．（2024·湖北·一模）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为8时，则的值为 ． 16．（2024·湖南·模拟预测）某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为 本． 三、解答题 17．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 18．（2024·吉林·三模）先化简，再求值：，其中 19．（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 20．（2024·广东·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式与因式分解 课标要求 考点 考向 1.会把具体数代入代数式进行计算。 2了解整数指数幂的意义和基本性质。 3. 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则。 4. 能进行简单的整式加减运算，能进行简单的整式乘法运算。 5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a²-b²，(a±b)²=a²±2ab+b²，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。 6.能用提公因式法、公式法进行因式分解。 整式 考向一 单项式与多项式 考向二 同类项 考向三 整式的加减 考向四 整式的乘除 考向五 整式的混合运算 因式 分解 考向一 提公因式法因式分解 考向二 公式法因式分解 考点一 整式 ►考向一 单项式与多项式 1．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】单项式的次数是：， 故答案为：． 2．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【详解】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 3．（2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴，， 满足条件的整式有， 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，， 当时，则， ∴，，，，，， 满足条件的整式有：，，，，，； 当时，则， ∴，，，， 满足条件的整式有：，，，； 当时，， 满足条件的整式有：； ∴满足条件的单项式有：，，，，，故①符合题意； 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；故②符合题意； 满足条件的整式共有个．故③符合题意； 故选D ►考向二 同类项 易错易混提醒 1. 判断同类项 标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。 注意事项：同类项与系数的大小无关，与它们所含的字母顺序无关，所有常数项都是同类项。 2. 合并同类项 要点：字母和字母的指数不变，只把系数相加减。 考查角度1 同类项的定义 4．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 考查角度2 合并同类项 5．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． ►考向三 整式的加减 6．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上，结果是，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上，结果是”，进行列出式子：，再去括号合并同类项即可． 【详解】解：依题意这个多项式为 ． 故答案为： 7．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为 ；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是 ． 【答案】 3456 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可． 【详解】解：∵是一个“友谊数”， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵是一个“友谊数”， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是13的倍数， ∵都是不为0的正整数，且， ∴， ∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：3456；． ►考向四 整式的乘除 解题技巧/易错易混 1. 单项式与单项式相乘法则：将系数相乘作为积的系数，相同字母的幂相乘，单独在一个单项式里的字母连同它的指数作为积的一个因式。 2. 单项式与多项式相乘法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3. 多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 4. 单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 5. 多项式除以单项式法则：用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 考查角度1 幂的运算 8．（2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 9．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 10．（2024·天津·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 考查角度2 单项式乘单项式 11．（2024·湖北·中考真题）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法．运用单项式乘单项式运算法则求出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：D． 考查角度3 单项式乘多项式 12．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： 故选：D． 考查角度4 多项式乘多项式 13．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 考查角度5 平方差公式 14．（2024·上海·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 考查角度5 完全平方公式 15．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式． ►考向五 整式的混合运算 16．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 考点二 因式分解 ►考向一 提公因式法因式分解 17．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 18．（2024·江苏徐州·中考真题）若，，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． ►考向二 公式法因式分解 19．（2024·西藏·中考真题）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 20．（2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 21．（2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的混合运算以及求值．根据完全平方公式和单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项，最后代入即可求解． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 22．（2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可能都为整数，理由见解析． 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）根据题意得出，进而计算，根据非负数的性质，即可求解； （2）分情况讨论，①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 则 ． 因为是实数，所以， 所以为非负数． （2）不可能都为整数． 理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数． ①当都为奇数时，则必为偶数． 又，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． ②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数． 又因为，所以． 因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 综上所述，不可能都为整数． 23．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【详解】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． 一、选择题 1．（2024·广西·模拟预测）若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（2024·河南郑州·模拟预测）给出下列判断：在数轴上，原点两旁的两个点所表示的数都互为相反数；多项式是三次三项式；任何正数都大于它的倒数；变为利用了等式的基本性质．其中正确的说法有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数的概念、数轴的基本概念、等式的基本性质、单项式与多项式的基本概念以及倒数的概念。 根据相反数，可判断，根据多项式的项、次数，可判断，根据有理数的大小比较，可判断，根据等式的性质，可判断④． 【详解】解；只有符号不同的两个数互为相反数，故错误； 多项式是四次三项式，故错误； 小于的正数小于它的倒数，故错误； 变为利用了等式的基本性质，故正确； 故选：B． 3．（2024·河南·一模）在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的分类，根据多项式的定义求解即可． 【详解】A.是分式，故A选项不符合题意； B.是多项式，故B选项符合题意； C.是无理式，故C选项不符合题意； D是单项式，故D选项不符合题意； 故选：B． 4．（2024·云南·模拟预测）观察下列按一定规律排列的n个数：x，，，，……，按照上述规律，第9个单项式是（ ） A． B． C．17 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式中的规律问题，观察已有单项式，得到第个单项式为：，进而求出第9个单项式即可． 【详解】解：观察已有单项式可知：第个单项式为：， ∴第9个单项式是：； 故选B． 5．（2024·云南·模拟预测）下列命题正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 B．“水涨船高”是随机事件 C．单项式的次数是2 D．一元二次方程有两个不相等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的判断定理，随机事件与必然事件，单项式的次数，根的判别式，运用相关知识定理一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，正确，符合题意； B、“水涨船高”是随机事件，错误，“水涨船高”是必然事件，选项不符合题意； C、单项式的次数是2，错误，单项式的次数是3，选项不符合题意； D、一元二次方程有两个不相等的实数根，，错误，选项不符合题意； 故选：A． 6．（2024·河北唐山·三模）与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查完全平方公式进行因式分解，根据完全平方公式因式分解即可得答案． 【详解】解：， 故选：C． 7．（2024·河北·模拟预测）下列运算中，与运算结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方，根据同底数幂相乘、幂的乘方、合并同类项、积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， A、，故A符合题意； B、和不是同类项，故不能直接相加，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 8．（2024·浙江·模拟预测）小江去超市购物，打算购买一件商品，在结账时遇到了问题（如图），你选择的办法是（    ） A．先打折，再用券 B．先用券，再打折 C．都一样 D．无法确定，取决于商品价格高低 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用．设商品标价为元，分别得到先打折，再用券以及先用券，再打折需要支付的费用，再比较即可求解． 【详解】解：设商品标价为元， 先打折，再用券需要支付元， 先用券，再打折需要支付元， ， 即先打折，再用券比先用券，再打折更省钱， 故选：A． 9．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现定义一种新运算“※”，对任意有理数、都有，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出等式． 原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得： ， 故选：B． 10．（2024·重庆·模拟预测）有n个依次排列的算式：第1项是，第2项是，用第2项减去第1项，所得之差记为，将加2记为，将第2项与相加作为第3项，将加2记为，将第3项与相加作为第4项，……，以此类推．某数学兴趣小组对此展开研究，得到3个结论①；②若第6项与第5项之差为4057，则；③当时，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字类的规律探索，整式的加减计算，根据所给计算方式，依次求出第1项，第2项，第3项，…，及，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，第1项为：， 第2项为：， ∴， ∴， ∴第3项为：，， 第4项为：， …， 以此类推， 第n项为：，（n为正整数）． 当时，．故①正确． 第6项与第5项之差可表示为：， ∴， 解得．故②正确． 当时， ．故③正确． 故选：D． 11．（2024·湖南·模拟预测）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选C． 12．（2024·重庆·一模）在多项式（其中）中，对每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，即：为“数1”，为“数2”，为“数3”，为“数4”，若将任意两个数交换位置，后得到一个新多项式，再写出新多项式的绝对值，这样的操作称为对多项式的“绝对换位变换”，例如：对上述多项式的“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”，得到，将其化简后结果为，．下列说法： ①对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算结果一定等于对“数3”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算结果； ②不存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“绝对换位变换”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，对于新定义的理解及绝对值的性质的应用是解题关键．按照所提供的运算，将所有存在的结果计算，即可解题． 【详解】解：对多项式的“数1”和“数2”进行“绝对换位变换”后的运算，，故①正确； 对多项式的“数1”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，， 对多项式的“数1”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，或 对多项式的“数2”和“数3”进行“绝对换位变换”后的运算，或对多项式的“数2”和“数4”进行“绝对换位变换”后的运算，， 综上共4种结果，故③错误； 其中存在“绝对换位变换”，使其运算结果与原多项式相等，故②错误． 故选：B． 二、填空题 13．（2024·甘肃·三模）如果与是同类项，那么 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：2． 14．（2024·福建厦门·二模）已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据得出，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 15．（2024·湖北·一模）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为8时，则的值为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了多项式中乘法规律问题．观察题中的图表，表示出，根据已知代数式的值为8，确定出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 开立方得：， 解得：． 故答案为：5． 16．（2024·湖南·模拟预测）某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学 4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为 本． 【答案】9 【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有x本图书，则甲、丙借完图书给乙后乙有图书本，而甲、丙剩余图书之和为，再根据题意列式求解即可． 【详解】解：设一开始三名同学各有x本图书， 由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为本， 故答案为：9． 三、解答题 17．（2024·河北·模拟预测）如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键． （1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论； （2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得，进而可得阴影面积的值． 【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为， ∵大矩形的长是宽的， ∴， 化简，得； （2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 18．（2024·吉林·三模）先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 19．（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【答案】(1)130 (2)34 【分析】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前提． （1），根据的定义即可得到答案； （2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据的定义即可得到答案． 【详解】（1）． ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵能被7整除，， ∴或， ∴或或或， 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意； 当，时，， ∵， ∴． ∵， ∴的最小值为34． 20．（2024·广东·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解． 【答案】（1），；（2），见解析，整数解是0，1，2 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解： （1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可． 【详解】（1）解：原式 当时，原式； （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴不等式组的解集是． 解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的整数解是0，1，2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$