专题26.7 反比例函数与几何综合（11大类型）（题型梳理与分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.7 反比例函数与几何综合（11大类型）（题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 题型目录 【题型1】反比例函数与全等问题...............................................1 【题型2】反比例函数与相似问题...............................................3 【题型3】反比例函数与面积问题...............................................5 【题型4】反比例函数与平移问题...............................................8 【题型5】反比例函数与旋转问题..............................................13 【题型6】反比例函数与折叠问题..............................................17 【题型7】反比例函数与最值问题..............................................21 【题型8】反比例函数与动点问题..............................................26 【题型9】反比例函数与存在性问题............................................30 【题型10】直通中考.........................................................36 【题型11】拓展延伸.........................................................39 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】反比例函数与全等问题 【例1】（2020·广东东莞·一模）如图，两个全等的等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，在轴上，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把沿射线移动，当点落在图象上的时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由全等三角形的性质可得AB=OA=OC=OD=，则可求得B点坐标，代入可求得k的值； （2）由平移的性质可知DD′∥OB，过D′作D′E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点M，由D点坐标，则可设出D′坐标，代入反比例函数解析式，则可得到关于D点坐标的方程，可求得D点坐标． 解：（1）∵和 为全等的等腰直角三角形，， ∴， ∴点坐标为， 代入得，； ∴反比例函数解析式为； （2）依题意，得，过作轴于点，交于点， 设交轴于点， ∵，， ∴， ∴点坐标为， 设横坐标为，则， ∴， ∴， ∴， ∵在反比例函数图象上， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ 【点拨】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平移的性质等知识．在（1）中求得B点坐标是解题的关键，在（2）中表示出D′坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 【变式】（17-18八年级下·江苏无锡·期中）已知点．点P在函数的图象上，过点P作轴，垂足为点Q．若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，则满足条件的点P共有多少个（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质求解即可． 解：当时，，或； 当时，，或． 故选C． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形，熟知全等三角形的性质是解题的关键，要分类讨论，以防遗漏． 【题型2】反比例函数与相似问题 【例2】（19-20九年级上·辽宁丹东·期末）如图，、、、分别为反比例函数与图象上的点，且轴，轴，与相交于点，连接、. （1）若点坐标，点坐标，请直接写出点、点、点的坐标； （2）连接、，若四边形是菱形，且点的坐标为，请直接写出、之间的数量关系式； （3）若、为动点，与是否相似？为什么？ 【答案】（1）、、；（2）；（3），证明详见解析. 【分析】（1）先利用A,B两点求出两个反比例函数的解析式，然后根据C点与A点纵坐标相同，D点与B点横坐标相同即可得到C,D的坐标，然后P的横坐标与B的横坐标相同，纵坐标与A的纵坐标相同； （2）分别把A,C的坐标表示出来，再利用菱形的性质和点P的坐标即可求出答案； （3）设点的坐标为，分别表示出点A,B,C,D的坐标，求出 的长度，能够得出，所以 解：（1）∵点在上，点在上 ∴ ∴ ∵轴，轴 ∴A,C的纵坐标相同，B,D的横坐标相同，点P的横坐标与B的横坐标相同，纵坐标与A的纵坐标相同 ∴ 当时，代入到中得 ，∴点 当时，代入到中得 ，∴点 ∴，， （2）∵点的坐标为 ∵轴，轴 ∴A,C的纵坐标与点P的纵坐标相同 当时，代入到中得 ，∴点 当时，代入到中得 ，∴点 ∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∴ （3）解： 证明：设点的坐标为 则点的坐标为、点的坐标为 点的坐标为、点的坐标为 ， ， ，，即 又 【点拨】本题主要考查反比例函数和相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 【变式】（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，以O为位似中心，相似比为2，把线段放大，点A的对应点B在双曲线上，则 ． 【答案】/0．25 【分析】根据根据相似比可得对应点的坐标关系，进而即可解得． 解：∵，， 又∵，， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查了反比例函数和位似图形对应点的坐标关系，解题的关键是熟悉反比例函数和位似比的性质． 【题型3】反比例函数与面积问题 【例3】（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在平行四边形中，点、、的坐标分别是、、，双曲线（，）过点． (1)写出点坐标； (2)求双曲线的解析式； (3)作直线交轴于点，连接，求的面积． 【答案】(1)； (2)；(3)3 【分析】（1）如图，连接交于，设，由平行四边形，、、的坐标分别是、、，可得，计算求解，进而可得点坐标； （2）将代入，可求，进而可得双曲线的解析式； （3）由，，可得轴，根据，计算求解即可． 解：（1）如图，连接交于， 设， ∵平行四边形，、、的坐标分别是、、， ∴， 解得，， ∴； （2）将代入得，， 解得：， ∴双曲线的解析式为； （3）∵，， ∴轴， ∴， ∴的面积为3． 【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式，坐标与图形是解题的关键． 【变式】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，于点，轴，点在轴上，点，在函数的图象上，则与的面积之比为，若的面积为，那么的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，解题的关键是学会利用设元法将图中点的坐标利用几何性质表示出来解决问题．设，，利用的面积为6，求出，根据与的面积之比为，列式即可解决问题． 解：设，， ∵，的面积为6，轴， ∴， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， 解得：， 故选：A． 【题型4】反比例函数与平移问题 【例4】（2023·贵州六盘水·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的纵坐标是2． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象交于点．若的面积为36，求平移后的直线表达式． 【答案】(1)； (2). 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）利用求出点的坐标为，将点代入反比例函数中求出即可； （2）连接、，设平移后的解析式为，根据平移的性质得到，列得，求出b即可得到函数解析式． 解：（1）点在直线上，且点的纵坐标是2， ，解得， 即点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为． （2）连接，如图． 联立， 解得或， ． 设平移后的直线表达式为． 该直线平行于直线， ， ， ， ， 平移后的直线表达式为． 【变式1】（2024·福建厦门·二模）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形全等的判定与性质、反比例函数的性质、平移的性质，由题意得，，作轴于，证明得出，设将沿轴正方向平移个单位后得到，得出，，结合反比例函数的性质求出的值即可得解． 解：∵点，， ∴，， 如图：作轴于，    则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设将沿轴正方向平移个单位后得到， ∴，， ∵点的对应点恰好落在双曲线上， ∴， 解得：， ∴平移的距离为， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点． 以为边长作正方形，点C在反比例函数的图像上，将正方形沿x轴的负半轴方向平移a个单位长度后，点D刚好落在该函数图像上，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形变化——平移等等，过点作轴于点，过点作轴于点，证明，，根据全等三角形的性质推出，，则可利用待定系数法求出对应的反比例函数解析式，再根据平移方式得到点在反比例函数图象上，据此列出方程求解即可． 解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． 四边形为正方形， ，， ， 又， ． 在和中， ， ， ，． 同理可得： ， ∵， ，， ∴， ，． ∵点C在反比例函数的图象上 ， ∴反比例函数解析式为 正方形沿x轴的负半轴方向平移个单位长度后在反比例函数的图象上， ∴点在反比例函数图象上， ∴， ∴ 故答案为：6． 【题型5】反比例函数与旋转问题 【例5】（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，已知，． (1)点的坐标为（____，____）； (2)将绕点顺时针旋转度． ①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； ②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；②当时，、能同时落在上述反比例函数的图象上． 【分析】（1）作轴于点，在直角中，利用三角函数即可求得、的长度，则的坐标即可求解； （2）①当时，点的位置与一定关于轴对称，在的坐标可以求得，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； ②当时，旋转后点的横纵坐标正好互换，则一定都在反比例函数的图象上． 解：（1）如图，作轴于点， 在直角中，， 则，， 则的坐标是， 故答案为：，； （2）解：①当时，的坐标与一定关于轴对称，则旋转后的点． 把代入函数解析式得：； ②当时，旋转后点，点， ， 当，、能同时落在上述反比例函数的图象上． 【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，图形的旋转，三角函数的综合应用，坐标与图形等，正确求得点的坐标是关键． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．设点，根据将点绕原点旋转后得到点，可得，易得，，然后由四边形的面积求解即可． 解：如下图， 根据题意，点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上， 可设点， ∵将点绕原点旋转后得到点， ∴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，，，， ∴四边形的面积 ． 故选：C． 【变式2】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转，交y轴于C点，则△ABC面积为 ． 【答案】20 【分析】过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E，证明△AEF≌△FDB（AAS），设BD＝a，则EF＝a，由点A（4，4）和点B（0，2）可得AE+OD＝4，求得，可得F（3，1），进而求得直线AC的解析式为y＝3x﹣8，令x＝0，得出C（0，﹣8），即可求解． 解：∵点A在反比例函数y的图象上，且点A的横坐标与纵坐标相等， ∴A（4，4）， 过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF延长线于E， ∵，则△ABF为等腰直角三角形， ∴ 在△AEF与△FDB中 ∴△AEF≌△FDB（AAS）， 设BD＝a，则EF＝a， ∵点A（4，4）和点B（0，2）， ∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a， ∵AE+OD＝4， ∴4﹣a+2﹣a＝4， 解得a＝1， ∴F（3，1）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得， ∴y＝3x﹣8， 令x＝0，则y＝﹣8， ∴C（0，﹣8）， ∴BC＝10， ∴20， 故答案为：20． 【点拨】本题考查了反比例函数与一次函数综合，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，一次函数与几何图形，数形结合是解题的关键． 【题型6】反比例函数与折叠问题 【例6】（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，垂足为B． (1)如图1，当，时，是轴上的动点，将点绕点顺时针旋转得点． ①若，直接写出点的坐标是______； ②点在过点的双曲线上，求的值； (2) 如图2，将过点的双曲线的分支沿轴折叠得到另一双曲线，将线段绕点旋转，点刚好落在折叠后的双曲线上的点处，试探究和的数量关系． 【答案】(1)①；②或；(2)或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，折叠的性质； （1）①设反比例函数解析式为，根据题意得：当，，求得，从而求出反比例函数解析式为，根据条件确定，，从而确定；②根据点在过点的双曲线上，将代入计算即可； （2）①当点与点关于轴对称时，，，可得， ②当点绕点旋转时，得到点，点在上，过点作轴于点，则，进而解答即可． 解：（1）(1)①如图，设反比例函数解析式为， 根据题意得：当，， ， ， 反比例函数解析式为， 过点作轴的垂线， ， 根据题意得：，， ， 故答案为：； ②根据题意得：， 点在上， ， 或； （2）如图2， ①当点与点关于轴对称时，， ， ②当点绕点旋转时，得到点，点在上，过点作轴于点， 则， ，， ， ， 即 ， 点在上， ， 综上所述： 和的数量关系是或． 【变式1】矩形在平面直角坐标系中如图，已知，，是上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数与相交于点，则线段的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先根据折叠的性质得到，，，然后利用勾股定理求得的长，从而得到，设点的坐标为，则可以表示，，然后在中，利用勾股定理，解得值后即可求得反比例函数的解析式，代入后求得的值即可求得． 解：将沿折叠，点刚好与边上点重合， ，，， ，， ，， 由勾股定理得：， ， 设点的坐标为， ，， 在中， ， 即：， 解得：， 反比例函数的解析式是， 令， 解得：， ， 故选：． 【点拨】本题考查了反比例函数的综合知识，还涉及到了折叠问题、勾股定理等知识，综合性强，难度中等偏上． 【变式2】（2024·广东汕头·二模）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据正方形的性质和折叠性质得到，，设，再利用两点坐标距离公式解方程求得，进而利用待定系数法求得直线的表达式为和直线的表达式为，联立方程组求得，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求得m值即可． 解：∵正方形的边长为4，点D是边的中点， ∴，，则，，， ∵沿折叠得到， ∴，， 设，则，， 解得，，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴， ∵反比例函数的图象经过点F， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查反比例函数与几何图形的综合，涉及反比例函数图象与一次函数图象的交点问题、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、折叠性质、两点坐标距离公式、解方程等知识，利用数形结合思想建立各知识的联系是解答的关键． 【题型7】反比例函数与最值问题 【例7】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在第一象限内，，轴，点在的上方，点的坐标为，，，点在内（含边界），反比例函数的图象经过点． (1)当时 ①点在点处时，求的值． ②分别求出的最小值与最大值． (2) 的最大值与最小值之差记作，求出关于的函数表达式及的取值范围． 【答案】(1)①；②的最小值为，最大值为；(2) 【分析】本题考查反比例函数性质、待定系数法求一次函数解析式及一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）①根据求出点坐标，代入求出值即可；②先求出直线的解析式，根据反比例函数经过点时有最小值，当反比例函数与直线只有一个交点时有最大值，联立反比例函数和直线解析式，利用一元二次方程根的判别式求出得出最大值，把代入求出最小值即可； （2）根据得出，用表示点坐标，利用待定系数法用表示直线解析式，联立反比例函数和直线解析式，利用一元二次方程根的判别式用表示出的最大值，进而得出关于的函数表达式． 解：（1）解：①∵， ∴， ∵，轴，点的坐标为，， ∴，， ∵点在点处，反比例函数的图象经过点， ∴． ②点在内（含边界），反比例函数的图象经过点， ∴反比例函数经过点时有最小值，当反比例函数与直线只有一个交点时有最大值， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立反比例函数和直线解析式得， ∴， 整理得：， ∵反比例函数与直线只有一个交点时有最大值， ∴， 解得：， 当反比例函数经过点时，， ∴的最小值为，最大值为． （2）∵，轴，点的坐标为，，， ∴，，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立反比例函数和直线解析式得， ∴， 整理得：， ∵反比例函数与直线只有一个交点时有最大值， ∴， 解得：， 由（1）可知：的最小值为， ∵的最大值与最小值之差记作， ∴． 【变式1】（2022·山东滨州·二模）如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立正比例函数y=2x与反比例函数，求出点A，B的坐标，连接BP，连接BC并延长，交圆C于点D．根据已知条件可得，所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值，即当点P运动到点D时，BP取得最大值，为BD的长．过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得BC=的长，进而可得BD=BC+CD的长，即可得出答案． 解：联立正比例函数y=2x与反比例函数， 得，解得，， ∴点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（-1，−2）， 连接BP，连接BC并延长，交⊙C于点D． 由反比例函数图象的对称性可知，点O为AB的中点， ∵点Q为AP的中点， ∴OQ=PB， ∴所求OQ长的最大值，即求PB长的最大值， 则当点P运动到点D时，BP取得最大值，即为BD的长． 过点B作BE⊥x轴于点E， 则OE=1，BE=2， ∵C点坐标为（-2，0）， ∴OC=2，CE=CO-OE=1， 由勾股定理得BC=， ∴BD=BC+CD=， ∴OQ=． 故选：B． 【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 【变式2】（2024·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．设点为轴负半轴一动点，以为边作正方形，点在轴负半轴上，点在第三象限内，连接、，记的面积为，设，则的最大值为 ．    【答案】1 【分析】通过反比例函数的解析式求得的值，根据点在轴负半轴上得到，根据正方形的性质得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 解：点在函数的图象上， ， ； 点在轴负半轴上， ， 四边形为正方形， ，轴， 的面积为， ， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值，的最大值是1， 故答案为：1． 【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型8】反比例函数与动点问题 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集：______； (3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【分析】本题考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）反比例函数值大于等于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）设，先求出，表示出，根据的面积为，表示出，解方程即可求解． 解：（1）函数的图象经过， ，解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）解：函数的图象经过， ， ， 由图可得，不等式的解集是：或； （3）解：设， 如图： 在中， 当时，得， 解得：， ， ， ，， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点B，以为斜边作等腰．点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在反比例函数图象上运动，则点C所在的函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，连接，作轴于D，轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设A点坐标为，得出，，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键． 解：如图，连接，作轴于D，轴于E， ∴ ∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点A与点B关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设A点坐标为，得出，， ∴C点坐标为， ∵， ∴点C在反比例函数图象上． 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，将代入中，得到点B的坐标，作轴于点E， 作轴于点 F，证明，利用，，得到点D的坐标，再根据点D在反比例函数图像上，点D的横坐标为n，利用坐标相等即可求解． 解：将代入中，得， 点B的坐标是， 作轴于点E， 作轴于点 F，如图所示，    四边形是正方形， ，， ，， ， 又，， ， ，， ， 点D的坐标是 ， 点D在反比例函数图像上，点D的横坐标为n， 点D的坐标是， ，， ，， ， ， ． 故答案为：2． 【题型9】反比例函数与存在性问题 【例9】（2023·四川成都·模拟预测）如图，直线分别交x轴、y轴于B、A两点，交双曲线于点C，且 (1)求双曲线的解析式； (2)在C点右侧的双曲线上是否存在点P，使？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，. 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的性质，以及全等三角形的判定和性质． （1）设，根据，代入即可得出a的值，将a代入一次函数即可求出点C的坐标，然后再代入双曲线的解析式，即可求出k的值． （2）根据一次函数求得点B的坐标，假设存在点P使得，作交于D，作，作，作于F，交x轴于Q，则，可证明，有，，求得和，可得点，进一步求得直线的解析式，与反比例函数联立即可求得点P． 解：（1）设， 当时， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴双曲线的解析式为． （2）由得， ∴ ∴， 假设存在点P使得， 作交于D，作，作，作于F，交x轴于Q，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式是， 由得， ∴，（舍去）， ∴． 【变式1】（2023·浙江绍兴·三模）如图，过原点O的直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转，与双曲线交于B、D两点，以下四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在菱形；④不存在正方形；其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据双曲线和直线的中心对称性质和平行四边形，矩形，菱形和正方形的判定，结合图形即可得到答案． 解：∵双曲线和双曲线是关于原点O对称的中心对称图形，直线和直线是关于原点O的中心对称图形， ∴ ∴四边形为平行四边形，故①正确，符合题意； ∵如图双曲线在双曲线的内侧， ∴以为圆心，为半径作圆，交双曲线于两点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴, ∴， ∴四边形为矩形，故②正确，符合题意； ∵A，B两点都在第一象限， ∴, ∵四边形要想成为菱形和正方形，对角线都需要互相垂直即， ∴四边形不可能是菱形和正方形，故③不正确，不符合题意，④正确，符合题意． 故选：C    【点拨】本题考查了双曲线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定和正方形的的判定等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【变式2】（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、．则： （1） ； （2）若y轴正半轴上存在点C（不与原点O重合），且，则点C的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合、勾股定理，公式法解一元二次方程； （1）先求出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，再把的值代入进行计算，即可作答． （2）先运用勾股定理求出，设点的坐标为，结合勾股定理列式得出，再运用公式法解方程，即可作答． 解：（1）由题意可知，把代入， 得出， ∴反比例函数的解析式为， ∴点B坐标为， 将点A、点B的坐标代入， 得， 解得， ∴； （2）根据题意可得， ∵， ∴以点A为圆心，AB长为半径作圆，与y轴正半轴交于C，D两点， 设点的坐标为 则 即 解得或 ∴点C坐标为或． 故答案为：或． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；；; (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 解：（1）当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 【例2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)，; (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式．一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式． （2）由已知条件求出点C，点B，点D的坐标，过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，利用两点之间的距离公式分别求出，，的值，最后根据即可求出答案． 解：（1）∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． （2）∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为4．点D的横坐标为4． ∴， ∴， ∴ 过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F， ∴，点E的纵坐标为， ∴， 把代入，得， ∴， ∴点， ∴， ∴ 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得，即可判断①；设点的坐标为，则点的坐标为，点，求出的长度，由此可得出与的关系无法确定，即可判断②；利用分割图形求面积法即可得出，即可判断③；设点的坐标为，则点的坐标为，点，由点是的中点可得出，将其带入点的坐标即可得出点是的中点，即可判断④，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 解：①∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，故①正确； ②设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∴，， ∵与的关系无法确定，故结论②错误； ③∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴，故结论③正确； ④设点的坐标为，则点的坐标为，点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴点是的中点，故结论④正确； ∴正确的结论为①③④， 故选：． 【例2】（23-24九年级下·山东济宁·自主招生）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，再过点作交的图象于点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键思想是学会利用参数解决问题．过点作轴于点，过点作轴于点，交于点，，利用几何性质和反比例函数先表示出点的坐标，再利用几何性质表示出点的坐标，利用反比例函数定义求解即可． 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，交于点， 由点在直线上，设， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴，点的纵坐标为，四边形是矩形， ∴，，，， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 化简得：， 设， 则，即， 解得：或（舍）， 即， ∴（负值舍）， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.7 反比例函数与几何综合（11大类型）（题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 题型目录 【题型1】反比例函数与全等问题...............................................1 【题型2】反比例函数与相似问题...............................................2 【题型3】反比例函数与面积问题...............................................2 【题型4】反比例函数与平移问题...............................................3 【题型5】反比例函数与旋转问题...............................................4 【题型6】反比例函数与折叠问题...............................................5 【题型7】反比例函数与最值问题...............................................6 【题型8】反比例函数与动点问题...............................................7 【题型9】反比例函数与存在性问题.............................................8 【题型10】直通中考.........................................................10 【题型11】拓展延伸.........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】反比例函数与全等问题 【例1】（2020·广东东莞·一模）如图，两个全等的等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，在轴上，，，反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把沿射线移动，当点落在图象上的时，求点的坐标． 【变式】（17-18八年级下·江苏无锡·期中）已知点．点P在函数的图象上，过点P作轴，垂足为点Q．若以点P、O、Q为顶点的三角形与全等，则满足条件的点P共有多少个（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2】反比例函数与相似问题 【例2】（19-20九年级上·辽宁丹东·期末）如图，、、、分别为反比例函数与图象上的点，且轴，轴，与相交于点，连接、. （1）若点坐标，点坐标，请直接写出点、点、点的坐标； （2）连接、，若四边形是菱形，且点的坐标为，请直接写出、之间的数量关系式； （3）若、为动点，与是否相似？为什么？ 【变式】（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A在双曲线上，以O为位似中心，相似比为2，把线段放大，点A的对应点B在双曲线上，则 ． 【题型3】反比例函数与面积问题 【例3】（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在平行四边形中，点、、的坐标分别是、、，双曲线（，）过点． (1)写出点坐标； (2)求双曲线的解析式； (3)作直线交轴于点，连接，求的面积． 【变式】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在四边形中，于点，轴，点在轴上，点，在函数的图象上，则与的面积之比为，若的面积为，那么的值（    ）    A． B． C． D． 【题型4】反比例函数与平移问题 【例4】（2023·贵州六盘水·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，已知点的纵坐标是2． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与轴交于点，与反比例函数在第二象限内的图象交于点．若的面积为36，求平移后的直线表达式． 【变式1】（2024·福建厦门·二模）如图，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，点，直角顶点，点在第二象限．将沿轴正方向平移后得到，点的对应点恰好落在双曲线上，则平移的距离等于（    ）    A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点． 以为边长作正方形，点C在反比例函数的图像上，将正方形沿x轴的负半轴方向平移a个单位长度后，点D刚好落在该函数图像上，则a的值是 ． 【题型5】反比例函数与旋转问题 【例5】（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系内，已知，． (1)点的坐标为（____，____）； (2)将绕点顺时针旋转度． ①当时，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值； ②在旋转过程中，点、能否同时落在上述反比例函数的图象上？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【变式1】（2024九年级·全国·竞赛）已知点是第一象限内的点，且在反比例函数的图像上，将点绕原点旋转后得到点，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形的面积为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，已知点A的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A在反比例函数y的图象上．作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转，交y轴于C点，则△ABC面积为 ． 【题型6】反比例函数与折叠问题 【例6】（2024·江苏扬州·二模）在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，垂足为B． (1)如图1，当，时，是轴上的动点，将点绕点顺时针旋转得点． ①若，直接写出点的坐标是______； ②点在过点的双曲线上，求的值； (2)如图2，将过点的双曲线的分支沿轴折叠得到另一双曲线，将线段绕点旋转，点刚好落在折叠后的双曲线上的点处，试探究和的数量关系． 【变式1】矩形在平面直角坐标系中如图，已知，，是上一点，将沿折叠，点刚好与边上点重合，过点的反比例函数与相交于点，则线段的长为（　　） A． B． C．2 D． 【变式2】（2024·广东汕头·二模）如图，正方形的边长为4，点D是边的中点，连接，将沿折叠得到，与交于点F．若反比例函数的图像经过点F，则m的值为 ． 【题型7】反比例函数与最值问题 【例7】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在第一象限内，，轴，点在的上方，点的坐标为，，，点在内（含边界），反比例函数的图象经过点． (1)当时 ①点在点处时，求的值． ②分别求出的最小值与最大值． (2) 的最大值与最小值之差记作，求出关于的函数表达式及的取值范围． 【变式1】（2022·山东滨州·二模）如图，函数与函数的图象交于A，B两点，点P在以C(-2，0)为圆心，1为半径的圆C上，Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上．设点为轴负半轴一动点，以为边作正方形，点在轴负半轴上，点在第三象限内，连接、，记的面积为，设，则的最大值为 ．    【题型8】反比例函数与动点问题 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．与轴相交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集：______； (3)若点为轴上的一动点．连接，当的面积为时，求点的坐标． 【变式1】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点B，以为斜边作等腰．点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在反比例函数图象上运动，则点C所在的函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点是轴正半轴上一点，点是反比例函数图象上的一个动点，连结AB，以AB为一边作正方形ABCD，使点在第一象限且落在反比例函数的图象上，设点的横坐标为，点的横坐标为，则 ． 【题型9】反比例函数与存在性问题 【例9】（2023·四川成都·模拟预测）如图，直线分别交x轴、y轴于B、A两点，交双曲线于点C，且 (1)求双曲线的解析式； (2)在C点右侧的双曲线上是否存在点P，使？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2023·浙江绍兴·三模）如图，过原点O的直线l与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转，与双曲线交于B、D两点，以下四种说法：①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在菱形；④不存在正方形；其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点、．则： （1） ； （2）若y轴正半轴上存在点C（不与原点O重合），且，则点C的坐标是 ． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【例2】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【题型11】拓展延伸 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴，交的图象于点，轴，交的图象于点．当点在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②与始终相等；③四边形的面积不会发生变化；④当点是的中点时，点一定是的中点．其中一定正确的是（   ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【例2】（23-24九年级下·山东济宁·自主招生）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作直线的垂线，垂足为点，再过点作交的图象于点，若是等腰三角形，则点的坐标是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$