精品解析：福建省龙岩市上杭县农村片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

上杭县2024-2025学年第一学期农村片区校半期联考九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列关于体育运动的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，熟知在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 将一元二次方程化为一般形式后，的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握“通过移项、合并同类项将方程化为的形式”是解题的关键．将方程通过移项、合并同类项化为一般形式，再确定、、的值． 【详解】解：∵ 原方程为， ∴ 移项得， 合并同类项得， ∴与一般形式对比，得，，， 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据二次函数的顶点式即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：． 4. 如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，，再根据角的和差关系即可解答． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转的定义，角的和差关系，掌握旋转的性质是解题的关键． 5. 如果将抛物线向左平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为， 故选：C． 6. 已知和关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据关于原点对称的两个点的坐标特点求出a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵和关于原点对称，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了关于原点对称的两个点的坐标特点和代数式的求值问题，解题的关键是掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 7. 已知二次函数y=－x2，下列说法正确的是（ ） A. 该抛物线的开口向上 B. 顶点坐标是（0，0） C. 对称轴是x=－ D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案． 【详解】∵y=－x2， ∴，抛物线的开口向下，故选项A错误； 顶点坐标是（0，0），故选项B正确； 对称轴是x=0，故选项C错误； 抛物线的开口向下，对称轴是x=0，当x＜0时，y随x的增大而增大，故D错误. 故选：B. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=ax2中，对称轴为x=0，顶点坐标为（0，0）． 8. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 9. 根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程 ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 抛物线 是二次函数，则m=_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，形如“(a、b、c是常数，且)”的函数就是二次函数，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值． 【详解】解：∵抛物线 是二次函数， ∴ ， ∴ ， 故答案为：3． 12. 二次函数的最小值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向，把抛物线配方变顶点式，确定顶点的最值位置即可得出答案． 【详解】二次函数=（x-1）2+1， ∵a=10,抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点（1，1）， 抛物线的最小值是1． 故答案为:1． 【点睛】本题考查抛物线的最值问题，会确定抛物线的开口方向，会把抛物线变成顶点式，，特别是自变量由范围时，考虑对称轴是否在区间内，会求边值比较是关键． 13. 用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．根据配方法的一般步骤，将配方为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 故答案为：20． 14. 等边三角形绕其中心旋转一定的角度 与原图形重合，则这个旋转角度至少为_______． 【答案】120° 【解析】 【分析】根据旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 【详解】解：根据等边三角形的性质，结合图形可以知道旋转角度应该等于120°． 故答案为120°． 【点睛】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 15. 若一元二次方程 的两个根分别为，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的定义、根与系数的关系是解题关键． 先根据一元二次方程根的定义、根与系数的关系可得，再代入求值即可得． 【详解】由题意得： ， 即， 则， 故答案为：． 16. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则；其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性是解题的关键，注意数形结合．根据二次函数的图象和性质依次判断即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 故①错误； 当时，； ∴， ∴②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴当时，函数值不大于， ∴， ∴（m为任意实数）， ∴③错误； 点到对称轴的距离为：， 到对称轴的距离为：， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴④正确． 综上，正确的有②④． 故答案为：②④． 二、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解本题的关键． （1）移项，利用直接开平方法求解即可； （2）移项，利用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 ， ， ， ∴，． 【小问2详解】 原方程可变形为 ， 提公因式得： 即， 所以 或， 解得： 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点A逆时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． 【解析】 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求实数a的取值范围； （2）若a是自然数，求 的值． 【答案】（1）且 （2）2或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的根的判别式． （1）根据根的判别式得到，然后解不等式可得到，根据一元二次方程的定义得； （2）根据a是自然数，结合（1）中a的取值范围可得，代入后解方程即可得，，进而可求得的值． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个实数根，， ∴且， ∴且， ∴且； 【小问2详解】 解：∵a是自然数，且； ∴， 则原方程为：， 整理得：， ∴或， 解得：或， 故或． 20. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （2）当x取______时，y随x的增大而减小； （3）当时，的取值范围为______． 【答案】（1） 如图二次函数的图象即为所求； （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． （1）利用描点法画出二次函数图形即可； （2）观察图象即可求出x的范围； （3）利用函数图形，写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，，解得，，． 由图象可知，当时，． 21. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质得： ，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，旋转的性质等知识，证明两个三角形全等是关键． （1）根据旋转的性质，得，，，再证明即可； （2）设，则可求得，从而得，，由三角形内角和即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则； ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 【答案】（1） 证明：令，则， ∴， ∴该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）令，则，根据，作答即可； （2）令，则，即，由，可得，由的面积与的面积相等，可得，即或，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，则，即， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，即或， 解得或， ∴或． 23. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． （1）若，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； （2）若，求矩形菜园面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，解题的关键根据旧墙的长度判断函数最值． （1）设，则，根据矩形的面积列方程即可解决问题； （2）根据矩形面积列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 设，则， 根据题意得， 解得，， 当时，，不合题意舍去； 当时，， 答：的长为； 【小问2详解】 设，矩形菜园面积为 ， ∴对称轴为直线， ，， S随x的增大而增大， 当时，S的最大值为． 答：矩形菜园面积的最大值为． 24. 已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，求t的值； （3）已知点，，若该二次函数的图象与线段只有一个公共点，请求出m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）直接用待定系数法求即可； （2）根据二次函数的图象的顶点坐标为，分两种情况求解①当时和②当时，分别求出其最大值和最小值，再根据其差值为8即可求出t的值； （3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定m的范围即可． 【小问1详解】 解：由题意知二次函数的图象的顶点坐标为． 设该二次函数的解析式为． 把点代入，得， 解得， ∴该二次函数的解析式为 【小问2详解】 由题意知二次函数的图象的顶点坐标为． ①当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴，此时方程无实数解； ②当时，二次函数的最小值为． ∴当时，该二次函数最大值与最小值的差是8， ∴该二次函数最大值为． ∵时， ∴时，， 即，解得（舍去）或， ∴当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，t的值为 【小问3详解】 由题意知，该二次函数的大致图象如图所示． 当时，，此时点M的坐标为． 由图知当时，交点只有一个． ∵， ∴当时，图中也符合只有一个交点， ∴该二次函数的图象与线段只有一个公共点时，m的取值范围为或 25. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点EF分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合，由，得，即点F、D、G共线，易证≌______，故EF、BE、DF之间的数量关系为______． （2）类比引申 如图2，点EF分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边BC上，且．若，，求DE的长． 【答案】（1），； （2），理由：如图2所示．∵， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合， ∵， ∴点C、D、G在一条直线上． ∵△AEB≌△AGD， ∴，，． 又∵， ∴∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90°， ∴． ∵， ∴ ∴． 在和中， ∵，， ∴≌． ∴． ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合，根据四边形ABCD为正方形，， ，可得点F、D、G共线，由旋转，，可证≌．得出即可． （2）把绕点A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合，可证点C、D、G在一条直线上．由旋转，，．可证≌．得出即可． （3）把旋转到的位置，连接DF，则，BF=CE．可证，再证≌．得出，根据等腰直角三角形性质得出，可证是直角三角形．根据勾股定理．用等线段替换计算即可． 【详解】解：（1）如图1所示：， 把绕点A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合， ∵四边形ABCD为正方形，， ∴，点F、D、G共线， ∵△ADG≌△ABE， ∴，， ∴， 即． 在和中， ∵，， ∴≌． ∴． ∴，即． 故答案为：； （2） 略 （3）把旋转到的位置，连接DF，则，BF=CE． ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴≌． ∴， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形． ∴． ∴． ∴ 【点睛】本题考查通过类比联想，引申拓展研究典型题目，图形旋转，正方形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，角的和差计算，线段和差计算，掌握图形旋转，正方形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，角的和差计算，线段和差计算是解题关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上杭县2024-2025学年第一学期农村片区校半期联考九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列关于体育运动的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式后，的值为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，绕点顺时针旋转到的位置．如果，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 如果将抛物线向左平移2个单位，那么所得抛物线的表达式为 （ ） A. B. C. D. 6. 已知和关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 已知二次函数y=－x2，下列说法正确的是（ ） A. 该抛物线的开口向上 B. 顶点坐标是（0，0） C. 对称轴是x=－ D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 8. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 9. 根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ） A. 可以找到一个实数，使得 B. 无论实数取什么值，都有 C. 可以找到一个实数，使得 D. 无论实数取什么值，都有 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 抛物线 是二次函数，则m=_______． 12. 二次函数的最小值是_________． 13. 用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是________． 14. 等边三角形绕其中心旋转一定的角度 与原图形重合，则这个旋转角度至少为_______． 15. 若一元二次方程 的两个根分别为，，则的值为__________． 16. 已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论： ①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则；其中正确的结论是_________．（写出所有正确结论的序号） 二、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）； 18. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若和关于原点O成中心对称，画出； （2）将绕点A逆时针旋转，画出旋转后得到的． 19. 已知关于x的方程有两个实数根，． （1）求实数a的取值范围； （2）若a是自然数，求 的值． 20. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出该二次函数的图象； （2）当x取______时，y随x的增大而减小； （3）当时，的取值范围为______． 21. 如图，中，，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点，与相交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）求证：该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数图像的顶点为C，与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m 的值． 23. 如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． （1）若，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； （2）若，求矩形菜园面积的最大值． 24. 已知某二次函数的图象的顶点坐标为，且图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差是8，求t的值； （3）已知点，，若该二次函数的图象与线段只有一个公共点，请求出m的取值范围． 25. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点EF分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转90°至，可使AB与AD重合，由，得，即点F、D、G共线，易证≌______，故EF、BE、DF之间的数量关系为______． （2）类比引申 如图2，点EF分别在正方形ABCD的边CB、DC的延长线上，．连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边BC上，且．若，，求DE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $