北京市第一七一中学2024-2025学年高二上学期期中调研数学试卷

第 1 页/共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 北京市第一七一中学 2024—2025 学年度第一学期 高二年级数学 期中调研试题 (时长：120 分钟 总分值：150 分 ) 一､选择题：共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项. 1. 直线𝑥 + 𝑦 − √3 = 0的倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D.135° 2.已知圆 C的方程为 2 2 2 4 0x y x    ，则该圆的圆心坐标及半径分别是（ ） A.  1,0 与 5 B.  1,0 与 5 C.  1,0 与 5 D.  1,0 与 5 3. 圆 2 2 1 : 2C x y  与圆 2 2 2 : ( 2) ( 2) 2C x y    的位置关系是（ ） A . 相交 B. 相离 C. 外切 D. 内切 4. 圆   22 2 4x y   与直线3 4 2 0x y   相交于A 、B 两点，则线段 AB的垂直平分线 的方程是（ ） A. 4 3 6 0x y   B. 3 4 8 0x y   C. 4 3 6 0x y   D. 4 3 6 0x y   5.“ 1a   ”是“直线 1 : 4 3 0l ax y   与直线  2 : 3 2 0l x a y    平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了 8 组投篮，得 分分别为 10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为 8 分，那么这组数据的 第 75 百分位数为（ ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 第 2 页/共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 7.已知 P 为椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     上的点，点 P 到椭圆焦点的距离的最小值为2， 最大值为 18，则椭圆的离心率为（ ） A. 3 5 B. 4 5 C. 5 4 D. 5 3 8. 如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AA AD AB   ， 2 BAD    ， 1 1 3 BAA A AD     ，则 1 1AB AD （ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 9. 设直线 l与圆（𝑥 + 1)2+𝑦2=5交于 ,A B 两点．若弦长 AB 既存在最大值又存在最小值， 则在下列所给的方程中，直线 l的方程可以是（ ） A. x ay a  B. 2ax y a  C 2ax y  D. 2x y a  10 曲线 3 3: 1C x y  .给出下列结论: ①曲线C 关于原点对称; ② 曲线C 上任意一点到原点的距离不小于 1; ③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点). 其中正确结论的序号是( ) A. ② B. ③ C. ①② D. ②③ 二、填空题：本大题共 5小题，共 25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．. 11. 直线 1 : 2 1 0l x y   与直线 2 : 2 1 0l x y   之间的距离为__________. 12. 已知空间  2,3,1a  ，  4,2,b x  ，若?⃗? ⊥ ?⃗?，则 b ＝_____． 13. 在正方体 ABCD A B C D    中， E是𝐶′𝐷′的中点，则异面直线 DE 与 AC 所成角的 余弦值为______. 14. 由直线 1y x  上的一点向圆 2 2( 3) 1x y   引切线，则切线长的最小值为 . . 第 3 页/共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 15. 如图,正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，点O为底面 ABCD的中心，点 P 在侧面 1 1BB C C 的边界及其内部运动.若 1D O OP ，则△ 1 1D C P 面积的 最大值为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证 明过程，并把答案写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．．．．. 16. 某市统计局就某地居民的月收入调查了 人，他们的月收入均在 内．现根据所得数据画出了该样本的频率分布直方图如下．（每个分 组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在 内） （1）求某居民月收入在 内的频率； （2）根据该频率分布直方图估计居民的月收入的中位数； （3）为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系，需再从这 人中利 用分层抽样的方法抽取 人作进一步分析，则应从月收入在 内的居民中抽取多少人? A B CD 1A 1 B 1C1D O P 第 4 页/共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 17.如图，在边长为2的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E为线段 1BB 的中点. （1）求证： 1//BC 平面 1AED ； （2）求点 1A 到平面 1AED 的距离； （3）直线 1AA 与平面 1AED 所成角的正弦值. 18. 已知圆C 的圆心在直线2 0x y  上，且与 x 轴相切于点  1,0 . （1）求圆C 的方程； （2）若圆C 与直线 : 0l x y m   交于A ， B 两点，____，求m 的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆C 被直线 l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1； 条件②： 2 2AB  ； 条件③： 90ACB   . 19.已知 1 2,F F 分别是椭圆 :C 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     的的左、右焦点， 2(2,0)F ，点 P 在 椭圆C 上且满足 1 2| | | | 2 6PF PF  . （1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆右焦点𝐹2 的直线 l 与椭圆C 相交于 ,A B 两点，若三角形 AOB 的面积为 3 ， 求直线 l 的方程. 第 5 页/共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 20. 如图，四棱锥P ABCD 中， AD平面 ABP， BC∥AD,∠PAB= 𝜋 2 , 𝑃𝐴 = 𝐴𝐵 = 2，𝐴𝐷 = 3，𝐵𝐶 = 𝑚 E是 PB的中点． （1）证明： AE平面 PBC ； （2）若二面角C AE D  的余弦值是 3 3 ，求m 的值； （3）若 2m  ，在线段𝐴𝐷上是否存在一点 F ，使得PF CE ．若存在，确定 F 点的位 置；若不存在，说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点.对任意的点 ( , )P x y ，定义 || || | | | |OP x y  .任取 点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，记 1 2 2 1'( , ), '( , )A x y B x y ，若此时 2 2 2 2|| || || || || ' || || ' ||OA OB OA OB   成立，则称点 ,A B 相关. （1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ① ( 2,1), (3,2)A B ； ② (4, 3),C  (2,4)D . （2）给定 *nN ， 3n  ，点集 {( , ) | , , , }n x y n x n n y n x y        Z . ①求集合 n 中与点 (1,1)A 相关的点的个数； ②若 nS   ，且对于任意的 ,A B S ，点 ,A B 相关，求 S 中元素个数的最大值. 第 6 页/共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 （草稿纸） 北京市第一七一中学 2024—2025 学年度第一学期 高二年级数学 期中调研试题答案 一 选择题 1-5 D BCAA 6-10 CBBAD 二填空题 11. 2√5 5 12. 2√6 13. √10 10 14. √7 15. √5 三．解答题 16. 1） 由频率分布直方图可知，居民月收入在 内的频率为 ． （2） 由频率分布直方图可知， ， ， ， 从而有 ， 所以可以估计居民的月收入的中位数为 元． （3） 由频率分布直方图可知，居民月收入在 内的频率为 ， 所以这 人月收入在 内的人数为 ，再从这 人中利用分层抽样的方法抽取 人， 则应从月收入在 内居民中抽取 人 17. 证明：在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1//AB C D 且 1 1AB C D ， 故四边形 1 1ABC D 为平行四边形，则 1 1//BC AD ， 因为 1BC 平面 1AED ， 1AD 平面 1AED ，因此， 1 //BC 平面 1AED . 【小问 2 详解】 解：以点A 为坐标原点，AD、AB 、 1AA 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的 空间直角坐标系， 则  0,0,0A 、  1 0,0,2A 、  0,2,1E 、  1 2,0,2D ， 所以，  1 0,0,2AA  ，  1 2,0,2AD  ，  0,2,1AE  ， 设平面 1AED 的法向量为  , ,n x y z ，则 1 2 2 0 2 0 n AD x z n AE y z           ， 取 2z   ，可得  2,1, 2n   ， 所以，点 1A 到平面 1AED 的距离为 1 4 3 AA n d n    . 【小问 3 详解】 解：因为 1 1 1 4 2 cos , 2 3 3 AA n AA n AA n       ， 因此，直线 1AA 与平面 1AED 所成角的正弦值为 2 3 . 18 设圆心坐标为  ,C a b ，半径为 r . 由圆C 的圆心在直线2 0x y  上，知：2a b . 又 圆C 与 x 轴相切于点  1,0 ， 1a  ， 2b  ，则 0 2r b   . 圆C 圆心坐标为  1,2 ，则圆C 的方程为     2 2 1 2 4x y    【小问 2 详解】 如果选择条件①： 120ACB  °，而 2CA CB  ， 圆心C 到直线 l 的距离 1cos60d CA   ， 则 1 2 1 1 1 m d      ， 解得 2 1m = 或 2 1  . 如果选择条件①和①： 2 2AB  ，而 2CA CB  ， 圆心C 到直线 l 的距离 2 2 1 2 2 d CA AB   ， 则 1 2 2 1 1 m d      ， 解得 1m   或 3. 如果选择条件①： 90ACB  ，而 2CA CB  ， 圆心C 到直线 l 的距离 cos45 2d CA   ， 则 1 2 2 1 1 m d      ， 解得 1m   或 3. 19（1）由题意， 2,2 2 6 6c a a    ，所以 2 2 2b a c   ，所以椭圆C 的方 程为 2 2 1 6 2 x y   . （2） 若直线斜率不存在，易得不合题意设直线 l 的方程为𝑦 = 𝑘(𝑥 − 2)， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 { 𝑥2 6 + 𝑦2 2 = 1 𝑦 = 𝑘(𝑥 − 2) 得：(1 + 3𝑘2)𝑥2 − 12𝑘2𝑥 + 12𝑘2 − 6 = 0， 𝑥1 + 𝑥2 = 12𝑘2 1+3𝑘2 , 𝑥1 ∙ 𝑥2 = 12𝑘2−6 1+3𝑘2 则|AB|=√1 + 𝑘2√ 144𝑘2 (1+3𝑘2)2 − 4 12𝑘2−6 1+3𝑘2 =√1 + 𝑘2 2√6+6𝑘2 1+3𝑘2 O到直线 l 的距离为 d= 2|𝑘| √1+𝑘2 所以 AOB 的面积为1 2 √1 + 𝑘2 2√6+6𝑘2 1+3𝑘2 2|𝑘| √1+𝑘2 = √3 解得𝑘4 − 2𝑘2 + 1 = 0 得𝑘=±1 所以直线 l 的方程𝑥 + 𝑦 − 2 = 0或 2 0x y   . 20. 【小问 1 详解】 证明：因为 AD平面 PAB，BC AD∥ , 所以 BC 平面 PAB, 又因为 AE 平面 PAB，所以 AE BC ． 在 PAB中，PA AB ，E 是 PB 的中点， 所以 AE PB ． 又因为 BC PB B , ,BC PB 平面PBC , 所以 AE 平面 PBC ． 【小问 2 详解】 因为 AD平面 PAB， ,AB PA平面 PAB， 所以 ,AD AB AD PA  , 又因为 PA AB , 所以如图建立空间直角坐标系 A xyz ． 则            0,0,0 , 0,2,0 , 0,2, , 1,1,0 , 2,0,0 , 0,0,3A B C m E P D , 则  0,2,AC m ，  1,1,0AE  ， 设平面 AEC 的法向量为?⃗? = (𝑥, 𝑦, 𝑧)． 则 0 0 AC n AE n       即 2 0 0 y mz x y      ， 令 1x  ，则 1y   ， 2 z m  ， 故 2 1, 1,n m        ． 因为 AD平面 PAB， PB平面 PAB， 所以 AD PB , 又 AE PB , , ,AD AE A AD AE  平面 AED, 所以 PB 平面 AED． 又因为  2,2,0PB   ， 所以取平面 AED的法向量为  2,2,0PB   所以 3 cos , 3 n PB n PB n PB    ， 则 2 2 2 3 34 2 2 2 m     ，解得 2 1m  ． 又因为 0m  ，所以 1m  ； 【小问 3 详解】 结论：不存在．理由如下： 证明：设   0,0, 0 3F t t  ． 当 2m  时，  0,0,2C ，    2,0, , 1, 1, 2PF t CE     ， 由 PF CE 知 0PF CE  , 2 2 0, 1t t     ，这与0 3t  矛盾, 所以在线段 AD上不存在点F ，使得PF CE ． 21. 解：（Ⅰ）①由题知 '( 2,2), '(3,1)A B ，进而有 2 2 2 2|| || || || (2+1) (3 2) 34OA OB     ， 2 2 2 2|| ' || || ' || (2+2) (3 1) 32OA OB     ， 所以 2 2 2 2|| || || || || ' || || ' ||OA OB OA OB   . 所以 ,A B两点相关； ②由题知 '(4,4), '(2, 3)C D  ，进而有 2 2 2 2|| || || || = 4+3) (2 4) 85OC OD   （ ， 2 2 2 2|| ' || || ' || 4+4) (2 3) 89OC OD    （ ， 所以 2 2 2 2|| || || || || ' || || ' ||OC OD OC OD   ， 所以 ,C D 两点不相关. （Ⅱ） (ⅰ)设 (1,1)A 的相关点为 ( , )B x y ， ,x yZ ， ,n x n n y n      , 由题意， '(1, )A y ， '( ,1)B x . 因为点 ,A B相关，则 2 2 2 24 2 | || | 1 2 | | 1 2 | |x y x y y y x x         . 所以 | || | | | | | 1 0x y x y    . 所以 (| | 1)(| | 1) 0x y   . 当 0x  时,  | | 0,1y  ,则 (1,1)A 相关点的个数共 3个; 当 | | 1x  时,则 (1,1)A 相关点的个数共4 2n 个; 当 | | 2x  时, | | 1y  ，则 (1,1)A 相关点的个数共 4 ( 1)n n  个. 所以满足条件点 B共有 24 ( 1) 4 2 3 4 5n n n n      (个). (ⅱ)集合 S 中元素个数的最大值为8 1n . {(0,0), (0, 1), ( 1, 1), ( 1, ), ( 2, ), , ( , )}S n n n n          符合题意.…12 分 下证：集合 S 中元素个数不超过8 1n . 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，若点 ,A B相关，则 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 22 | || | 2 | || |x y x y x y x y     2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 12 | || | 2 | || |x y x y x y x y      . 则 1 1 2 2 1 2 2 1| | | | | | | |x y x y x y x y   . 所以 1 2 1 2(| | | |)(| | | |) 0x x y y   . 设集合 S 中共有m 个元素，分别为 ( , )i i iA x y ，1 i m  ， *i N ， 不妨设 1 2| | | | | |mx x x  ，而且满足当 1| | | |i ix x  ， 1| | | |i iy y  . 下证： 1 2| | | | | |my y y   . 若 1| | | |i ix x  ， 1| | | |i iy y  . 若 1| | | |i ix x  ，则必有 1| | | |i iy y  . 记， 1 1| | | | | | | |i i i i id x y x y     ，1 1i m   ， *iN ， 显然，数列{ }id 至多连续 3项为 0，必有 1 2 3 1i i i id d d d      ， 假设 8 1m n  ， 则 1 2 8 1 1 2 3 4 8 1( ) 2 1n nd d d d d d d d n            . 而 1 2 8 1 8 1 8 1| | | | | | | | 2 1n n nd d d x x y y n         , 因此，必有 1 0x  或 1 0y  . 可得， 1 2,d d 不可能同时为 0，则 1 2 1d d  . 所以 1 2 8 1 1 2 3 4 8 1( ) ( ) 2n nd d d d d d d d n           . 必有 8 8| | | |n nx y n  ， 1 1 0x y  . 所以， 1 1d  ， 2 3 0d d  . 因此 2 2| | | | 1x y  ， 3 3| | | | 1x y  ， 4 4| | | | 1x y  . 若 2| | 1x  ，则 2 3 4, , {(1,0),( 1,0)}A A A   ，矛盾. 同理， 2| | 1y  ，矛盾. 因此，假设不成立. 所以 8 1m n  . 所以集合 S 中元素个数的最大值为8 1n .