【双基聚焦】2025年黑龙江省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷9

2025年黑龙江省高中学业水平合格性考试模拟卷（九） 数学 综合模拟卷（3） 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位号。 2.本试卷共8页，分为两部分。第一部分选择题24小题，共72分；第二部分非选择题6小题，共30分。满分100分。考试时间60分钟。 3.所有试题答案必须填涂或书写在答题卡上。第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用0.5毫米黑色签字笔作答。 4.考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。（备注：本试卷带有答题卡，供学生选用） 第一部分 选择题（共72分） 一、选择题（本大题共有24个选择题，每小题所列的4个选项中只有一项符合题意。每道小题3分，共计72分） 1.（2023·辽宁·学业考试）已知集合，，则（    ）． A．{2} B．{2，3} C．{2，4} D．{2，3，4} 【答案】D 【分析】直接根据集合并集运算求解即可. 【详解】解：因为，， 所以 故选：D 2.（2023·新疆·学业考试）设复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的虚部的定义求解. 【详解】因为复数，所以的虚部是. 故选：D 3.（2024·云南·学业考试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式求解即可． 【详解】由，得， 则不等式的解集为：， 故选：D 4.（2023·山西·学业考试）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A.由二次函数的性质判断；B.由一次函数的性质判断；C.由反比例函数的性质判断；D.由 判断； 【详解】A. 由二次函数的性质得，该函数是偶函数，在区间上单调递减，故错误； B. 由一次函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间上单调递减，故错误； C. 由反比例函数的性质得，该函数不是偶函数，在区间上单调递减，故错误； D. ，设，定义域为，关于原点对称，且，则该函数是偶函数，在区间上单调递增，故正确； 故选：D. 5.（2023·黑龙江·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质以及举反例逐项分析判断. 【详解】因为，则，，， 故A正确，BC错误； 对于D：例如，满足，但无意义，故D错误. 故选：A. 6.（2023·重庆·学业考试）已知，，，则的最大值是（　　） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立条件是，即时取等号， 即当且仅当时取等号， 所以ab的最大值是2. 故选：B. 7.（2024·广西·学业考试）已知一组数据按从小到大的顺序排列，得到，0，4，x，7，14，中位数为5，则这组数的平均数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由已知可求得，然后计算平均数，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，所以， 所以，这组数的平均数为. 故选：B. 8.（2023·重庆·学业考试）袋中有4个红球，5个白球，6个黄球，从中任取1个，则取出的球是白球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据样本空间和样本点和古典概型的概率即可求解. 【详解】在任取1个球的事件中，取记为取的是第个红球，记为取的是第个白球，记为取的是第个黄球，记取出的球是白球的事件为， 所以样本空间, 取出的球是白球的事件， 则取出的球是白球的概率为， 故选：A. 9.（2024·广西·学业考试）已知向量，则（    ） A．5 B． C．25 D．7 【答案】A 【分析】根据向量模长公式进行求解即可. 【详解】. 故选：A 10.（2023·黑龙江·学业考试）（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据两角和的正弦公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 11.（2023·吉林·学业考试）一个棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得所求球是棱长为的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案． 【详解】若棱长为的正方体的八个顶点都在同一个球面上， 则该球是正方体的外接球， 球的半径， 则球的体积. 故选：. 12.（2023·河北·学业考试）已知m，n是两条不同的直线，是平面，则下列四个结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若m，n与所成的角相等，则 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质定理以及空间中线线垂直的关系可判断A正确，C错误；由线面平行性质定理以及线面角的定义可得BD均错误. 【详解】由线面垂直的性质定理可得垂直于同一平面的两直线平行，即A正确； 若，，可知m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即B错误； 若，，则直线可以在平面内，所以C错误； 由线面角的定义可知，若m，n与所成的角相等，则m，n的位置关系可以是平行、相交或异面，即D错误. 故选：A 13.（2023·广东·学业考试）如图，在正方体中，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用异面直线所成角的定义可判断ABD选项，利用线面垂直的性质定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，，而，则与所成的角为， 故与不垂直，A错； 对于B选项，连接，因为平面，平面，， 所以，为锐角，因为，故与所成角不是直角，B错； 对于C选项，连接、， 因为且，故四边形为平行四边形， 故、所成角为或其补角， 设正方体的棱长为，则， 即是等边三角形，故，C错； 对于D选项，四边形为正方形，则， 平面，平面，， ，、平面，平面， 平面，，D对. 故选：D. 14.（2023·新疆·学业考试）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】D 【分析】直接根据平移规律求解即可. 【详解】， 故只需将函数的图象向右平移即可. 故选：D. 15.（2023·辽宁·学业考试）在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用正弦定理可求解. 【详解】，， ， 由正弦定理得， . 故选：B. 16.（2022·山西·学业考试）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出大小关系. 【详解】，. 故选：B. 17.（2024·辽宁·学业考试）下列函数为偶函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对数函数与指数函数不具有奇偶性，求定义域，判断定义域是否关于原点对称，验证是否成立. 【详解】对于A项，定义为关于原点对称，令 ，所以函数为奇函数，故A错误； 对于B项得知是指数函数，所以不具有奇偶性，所以B错误； 对于C项得知是对数函数，所以不具有奇偶性，所以C错误； 对于D项，定义域为关于原点对称，令 ，所以函数为偶函数. 故选：D 18.（2023·新疆·学业考试）某林场有树苗2000棵，其中松树苗400棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量50的样本，则样本中松树苗的数量是（    ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合分层抽样的抽取方法，列出方程，即可求解. 【详解】色号样本中松树苗的数量为棵，根据题意，可得，解得， 即样本中松树苗的数量为课. 故选：D. 19.（2024·广西·学业考试）已知cosα=，tanα=1，则sinα=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】. 故选：B 20.（2023·广西·学业考试）如图，O是正六边形的中心，下列向量中，与是平行向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行向量的定义判断即可. 【详解】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量. 由图可知，与方向相反，因此是平行向量. 故选：C. 21.（2024·贵州·学业考试）给出下列几种变换： ①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变．         ②向左平移个单位长度． ③横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．         ④向左平移个单位长度． 则由函数的图象得到的图象，可以实施的变换方案是（    ） A．①→② B．①→④ C．③→② D．③→④ 【答案】D 【分析】由三角函数的平移和伸缩变化即可得出答案. 【详解】的图象得到的图象，有如下两个方法， 第一种：向左平移个单位得到，再横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到，即②→③. 第二种，横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得到，再向左平移个单位长度得到，即③→④. 故选：D. 22.（2023·辽宁·学业考试）若“，”是真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全称命题或特称命题的相关性真假求解参数 【详解】由题意，，恒成立， 因为，所以，所以． 故选：B． 23.（2023·广东·学业考试）下列存在量词命题是假命题的是（    ） A．存在，使 B．存在，使 C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角 D．有的有理数没有倒数 【答案】C 【分析】对于C选项，利用钝角三角形定义判断即可.A，B，D选项举例说明. 【详解】当时，.故A正确. 当时，.故B正确. 因为对任意的钝角三角形，其内角和是，所以内角是锐角或是钝角，所以选项C不正确. 0是有理数，0没有倒数.所以有的有理数没有倒数.所以D正确. 故选：C 24.（2024·湖南·学业考试）如图，已知函数在单调递增，且经过点，，则，的值分别是（    ）    A．1， B．1， C．3， D．3． 【答案】A 【分析】根据函数经过的点，求得，，再由的单调性确定，即得. 【详解】因函数经过点，，则得，因，解得； 又，则得，解得，. 又由可得， 因函数在单调递增，则，解得， 故，经检验此时满足题意，. 故选：A. 第二部分 非选择题（共28分） 二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分） 25.（2023·甘肃·学业考试）命题“存在，”的否定是 ． 【答案】对任意的， 【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案. 【详解】命题“存在，”的否定是：对任意的，. 故答案为：对任意的，. 26.（2023·甘肃·学业考试）已知函数，则 . 【答案】 【分析】首先求得，可知. 【详解】，. 故答案为：. 27.（2024·福建·学业考试）在中，已知，，，则 【答案】 【分析】根据余弦定理即可求出的余弦值. 【详解】在中，根据余弦定理得. 故答案为： 28.（2023·吉林·学业考试）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则本次测试中成绩比较稳定的是 ．（填甲或乙） 【答案】乙 【分析】算出两者的成绩的方差，方差越小越稳定来判断． 【详解】按照公式先求出两者的平均值后算方差即可． ， . 由于，则本次测试中成绩比较稳定的是乙. 故答案为：乙. 三、解答题：（本题2小题，共16分） 29.（2023·云南·学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，甲、乙成功破译的概率分别为. (1)求甲､乙都成功破译密码的概率； (2)求至少有一人成功破译密码的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式计算作答. （2）利用对立事件及相互独立事件的乘法公式计算作答. 【详解】（1）令甲破译密码成功的事件为A，乙破译密码成功的事件为B，则，A，B相互独立， 甲、乙都成功破译密码的事件为，因此， 所以甲、乙都成功破译密码的概率. （2）至少有一人成功破译密码的事件，其对立事件， 则， 所以至少有一人成功破译密码的概率. 30.（2023·山西·学业考试）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）确定，，根据面面垂直得到平面，得到，得到证明. （2）设的中点分别为，确定平面，计算，根据得到，得到答案. 【详解】（1）是正三角形，是中点，所以， 因为是正方形，所以， 又因为侧面底面，平面平面， 平面，所以平面，平面，所以， 因为平面平面，所以平面． （2）设的中点分别为，根据对称性知，故， 设，则， 因为侧面底面，平面平面侧面， 所以平面， 在中，因为，所以， 所以， 设点到平面的距离为，则， 因为，所以， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$