【双基聚焦】2025年黑龙江省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷7

2025年黑龙江省高中学业水平合格性考试模拟卷（七） 数学 综合模拟卷（1） 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位号。 2.本试卷共8页，分为两部分。第一部分选择题24小题，共72分；第二部分非选择题6小题，共30分。满分100分。考试时间60分钟。 3.所有试题答案必须填涂或书写在答题卡上。第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用0.5毫米黑色签字笔作答。 4.考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。（备注：本试卷带有答题卡，供学生选用） 第一部分 选择题（共72分） 一、选择题（本大题共有24个选择题，每小题所列的4个选项中只有一项符合题意。每道小题3分，共计72分） 1.（2023·黑龙江·学业考试模拟）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的交集运算，直接求得答案. 【详解】集合， 则， 故选：B 2.（2023高二·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式计算作答. 【详解】. 故选：D 3.（2024·云南·学业考试）已知为虚数单位，设复数，则（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】应用复数的加法计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4.（2023·山西·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得或， 故选：D． 5.（2024·辽宁·学业考试）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件利用一元二次不等式解法直接求解即可作答. 【详解】解不等式得：或， 所以不等式的解集为. 故选：C 6.（2023·山西·学业考试）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】A选项可以举反例说明，BC选项可以通过作差法来说明，D选项可以通过基本不等式来说明. 【详解】A选项，若，则，A选项错误； B选项，， 由于，故，，故， 即，B选项正确； C选项，，由于，故， 即，C选项错误； D选项，根据基本不等式，， 当且，即时取得等号，此时，D选项错误. 故选：B 7.（2023·海南·学业考试）设，，且，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用均值不等式“1”的妙用求解作答. 【详解】因为，，且，则有， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 8.（2023·云南·学业考试）高一年级有男生210人，女生190人，用分层随机抽样的方法按性别比例从全年级学生中抽取样本，若抽取的样本中男生有21人，则该样本的样本容量为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的意义列式计算作答. 【详解】依题意，该样本的样本容量为. 故选：B 9.（2024·新疆·学业考试）袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用列举法，结合古典概型求解即可. 【详解】2个红球，设为；2个白球，设为．从中不放回地依次随机摸出2个球， 有共12种． 两次都摸到红球的情况为共2种．则概率. 故选：B. 10.（2023·云南·学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用商数关系直接计算作答. 【详解】因为，所以. 故选：D 11.（2023·新疆·学业考试）若在第三象限，那么在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【分析】根据的范围求出的范围即可得答案. 【详解】因为在第三象限 所以， 所以， 所以在第二、四象限. 故选：C. 12.（2023·重庆·学业考试）设， ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据单调性及充要条件的定义来判断即得． 【详解】因为在上为增函数，则可以推出，反之，若，则可推出， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 13.（2023·吉林·学业考试）已知向量与垂直，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】运用平面向量的垂直的坐标结论可解． 【详解】向量与垂直，则，即，解得. 故选：C. 14.（2024·浙江·学业考试）在空间中，有一平面，平面内有一直线，平面外有一点，下列说法正确的是（    ） A．过点且与平面垂直的直线不止一条 B．过点且与直线垂直的直线有且仅有一条 C．过点的直线与直线的夹角的余弦值有可能为 D．过点的直线与平面的夹角的余弦值不可能为 【答案】D 【分析】根据线线垂直、线面垂直的定义可判定A、B，利用线线夹角与线面夹角的定义可判定C、D. 【详解】过点且与平面垂直的直线有且只有一条，故A错误； 过点且与直线垂直的直线有无数条，故B错误； 两条直线的夹角范围在，所以其余弦值不能是负数，故C错误； 直线与平面的夹角范围在，所以其余弦值不能是负数，故D正确. 故选：D 15.（2024·福建·学业考试）如图，在中，，分别是，的中点，若，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以，， 所以. 故选：D 16.（2024·云南·学业考试）在中，内角的对边分别是，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由正弦定理求解即可． 【详解】由正弦定理得，， 得，得， 故选：D 17.（2023高二·湖南学业考试）在空间中，设m，n为两条不同的直线，为一个平面，下列条件可判定的是（    ） A．， B．， C．， D．，且 【答案】C 【分析】根据空间线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，当，时，，所以A选项错误. B选项，当，时，可能平行，所以B选项错误. C选项，当，时，，所以C选项正确. D选项，当，且时，可能平行，所以D选项错误. 故选：C 18.（2023·福建·学业考试）的内角、、所对的边分别为、、，且，，，则边的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理可求得边的长. 【详解】因为，，，由正弦定理，可得. 故选：B. 19.（2023·山西·学业考试）函数（无理数的零点所在的大致区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的单调性，计算得到答案. 【详解】当时，，在上单调递增， ，则函数的零点所在的大致区间为. 故选：B 20.（2023·辽宁·学业考试）已知函数，则在上的最大值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 【答案】A 【分析】先通过对称轴确定单调性，进一步可求最大值. 【详解】函数的对称轴为， 所以函数在上单调递减， . 故选：A. 21.（2024·贵州·学业考试）某校高一年级一次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，估计该次考试成绩的众数为（    ） A．65 B．75 C．85 D．95 【答案】C 【分析】根据众数的定义求解即可 【详解】由频率分布直方图可知考试成绩在80到90的最多， 所以该次考试成绩的众数为85， 故选：C 22.（2023·云南·学业考试）在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为. 【详解】连结、，如下图： 在正方体中，且； 四边形为平行四边形，则； 又在正方体中，为等边三角形， 就是异面直线与所成角,， 异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 23.（2024·江苏·学业考试）运动员甲次射击成绩（单位：环）如下：，则下列关于这组数据说法不正确的是（    ）. A．众数为7和9 B．平均数为7 C．中位数为7 D．方差为 【答案】C 【分析】结合众数、平均数、中位数、方差分别进行计算即可. 【详解】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次， 故众数为7和9，故A正确； 计算平均数为，故B正确； 将10次射击成绩从小到大排列为:， 则中位数为 ，故C错误； 方差为， 故D正确， 故选：C. 24.（2023·福建·学业考试）已知四棱锥底面为正方形，平面，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】推导出，可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用反证法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，则， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则，故为锐角，A错； 对于B选项，因为平面，平面，则，B对； 对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合， 矛盾，假设不成立，C错； 对于D选项，若平面，则与平面无公共点， 这与平面矛盾，假设不成立，D错. 故选：B. 第二部分 非选择题（共28分） 二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分） 25.（2023·新疆·学业考试）已知幂函数的图象经过点，则 . 【答案】 【分析】先根据幂函数图象经过的点求解出的值，然后可求. 【详解】由条件可知，所以， 所以，所以， 故答案为：. 26.（2023·新疆·学业考试）在△中，已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】已知三边，利用余弦定理可得. 【详解】已知，，， 由余弦定理得，， 解得. 故答案为：. 27.（2023·山西·学业考试）某高校为了解学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想主题教育的学习情况，对全体党员进行了党史知识测试，从中随机抽取200名党员的测试成绩，进行适当分组（每组为左闭右开的区间），整理得到如下的频率分布直方图，则成绩在内的频率为 ． 【答案】/ 【分析】根据概率和为1计算得到答案. 【详解】由频率分布直方图知：，， 则成绩在内的频率为 故答案为：. 28.（2023·山西·学业考试）若满足对任意的实数a、b都有且，则 ． 【答案】2024 【分析】根据且，令得到求解. 【详解】解：因为满足对任意的实数a、b都有且， 令得，即， 所以， 所以， 故答案为：2024 三、解答题：（本题2小题，共16分） 29.（2023·云南·学业考试）已知：如图，四棱锥，平面，四边形是平行四边形，为中点，. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）证明平面，根据线面垂直的性质可得，再证明平面，根据线面垂直的性质即可得证. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以点为的中点， 因为为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面， 又因平面，所以. 30.（2023·吉林·学业考试）已知函数． (1)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式的正负，进而得到，可判断单调性； （2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案. 【详解】（1）任取， 则， 因为，则，，， 则，故在上单调递减. （2）由（1）得，在上单调递减， 所以，，解得， 所以，即所求范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$