【双基聚焦】2025年黑龙江省普通高中学业水平（合格性）考试数学模拟卷4

2025年黑龙江省高中学业水平合格性考试模拟卷（四） 数学 平面向量及解三角形 考生须知 1.考生要认真填写考场号和座位号。 2.本试卷共8页，分为两部分。第一部分选择题24小题，共72分；第二部分非选择题6小题，共30分。满分100分。考试时间60分钟。 3.所有试题答案必须填涂或书写在答题卡上。第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用0.5毫米黑色签字笔作答。 4.考试结束后，考生将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。（备注：本试卷带有答题卡，供学生选用） 第一部分 选择题（共72分） 一、选择题（本大题共有24个选择题，每小题所列的4个选项中只有一项符合题意。每道小题3分，共计72分） 1.（2023·黑龙江·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【答案】B 【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可. 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选：B 2.（2023·云南·学业考试）已知向量，若，则（    ） A．-8 B．8 C．-10 D．10 【答案】D 【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量，， 则，解得. 故选：D. 3.（2024·贵州·学业考试）如图，在平行四边形ABCD中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由平面向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】由题意得，. 故选：B. 4.（2024·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据加法运算法则分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 5.（2023·辽宁·学业考试）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】, 故选：B. 6.（2024·新疆·学业考试）在△ABC中，角的对边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】根据余弦定理得，，则. 故选：A. 7.（2023·辽宁·学业考试）如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量线性运算求解即可. 【详解】因为是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点， 所以. 故选：C. 8.（2023·甘肃·学业考试）已知向量的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为向量的夹角为，，则， 则，即，解得. 故选：A 9.（2024·吉林·学业考试）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 【答案】D 【分析】利用向量平行的坐标表示判断A；根据投影向量定义求向量在向量上的投影向量判断B；应用向量数量积运算律求判断C；由单位向量定义求与向量方向相同的单位向量判断D. 【详解】A：由，故不成立，错； B：由，错； C：，则，错； D：与向量方向相同的单位向量是，对. 故选：D 10.（2023·山西·学业考试）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求，判断AB，根据向量的坐标运算求，再由向量的模的坐标表示求，判断CD. 【详解】因为，，， 所以， 所以，，A错误，B错误， 所以， 所以，C正确，D错误. 故选：C. 11.（2024·贵州·学业考试）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求得，再由正弦定理求解即可. 【详解】由，，可得，由正弦定理可得，即. 故选：D. 12.（2024·贵州·学业考试）三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形面积公式直接求△的面积即可. 【详解】由三角形面积公式知：. 故选：A 13.（2023·新疆·学业考试）若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与的夹角，通过代入条件计算即可. 【详解】设与的夹角， 因为 所以 解得， 所以， 故选：B. 14.（2023·山西·学业考试）已知等边三角形的边长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 直接利用向量的数量积公式计算得到答案. 【详解】 因为，且向量与的夹角为，所以， 故选：C． 15.（2023·新疆·学业考试）为的内角，且，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据，两边平方结合平方关系求出，进而可得出结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 又因，所以， 所以为钝角， 所以是钝角三角形. 故选：A. 16.（2022·重庆·学业考试）小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距25米的C，D两观测点，且C，D与教学楼底部B在同一水平面上，在C，D两观测点处测得教学楼顶部A的仰角分别为45°，30°，并测得，则教学楼AB的高度是（    ） A．20米 B．25米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设，用 x表示出BC与BD，然后在三角形BCD中用余弦定理列方程即可. 【详解】设 ，在直角三角形中， ， 在三角形BCD中，， 即 ，解得（舍）. 故选：B. 17.（2023·新疆·学业考试）在平行四边形ABCD中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据向量的运算可得答案. 【详解】. 故选：A. 18.（2023·辽宁·学业考试）在中，若，则最大角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得到，从而确定最大角，利用余弦定理即可求. 【详解】由正弦定理，得， 设，，，， 因为，所以， 所以， 因为， 所以，即这个三角形的最大角是． 故选：B 19.（2023·新疆·学业考试）已知向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出与后，结合向量共线的坐标运算即可得. 【详解】由，，则，， 由与共线，则有， 化简得，即. 故选：A. 20.（2023·吉林·学业考试）在△中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法、减法和数乘运算表示所求向量即可. 【详解】因为为中点，为中点， 所以. 故选：B. 21.（2024·重庆·学业考试）在梯形中，且为上靠近点处的三等分点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算计算即可 【详解】由题意， 故选：A 22.（2024·贵州·学业考试）△三内角A，B，C所对边分别是a，b，c．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知及余弦定理、三角形内角性质可得，再应用正弦定理有，将目标式转化为且，利用正弦型函数性质求最大值即可. 【详解】由余弦定理，又，故， 由正弦定理知：，则， 所以，而， 则且， 又，当时的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：应用正余弦的边角关系求得，再将目标式转化为三角函数形式，利用正弦函数性质求最值. 23.（2023·江苏·学业考试）已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔与灯塔的距离为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理求得正确的. 【详解】依题意， 所以. 故选：D 24.（2023·浙江·学业考试）已知为锐角的两个内角，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角恒等变换化得，再利用正弦定理得到，从而利用余弦定理结合基本不等式求得，由此得解. 【详解】因为， 所以，即，则， 故由正弦定理可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 因为为锐角三角形，所以，故. 故选：C. 第二部分 非选择题（共28分） 二、填空题：（共4小题，每小题3分，共12分） 25.（2023·云南·学业考试），则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解作答. 【详解】因为，则， 所以的坐标为. 故答案为： 26.（2023·山西·学业考试）已知，则等于 . 【答案】 【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值. 【详解】， 由于，所以. 故答案为： 27.（2022·甘肃·学业考试）在中，角的对边分别是，已知，则 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得：. 故答案为：. 28.（2023·吉林·学业考试）在△中，分别为三个内角所对的边，且，，，则△的面积为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理可得方程，可解出，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】由余弦定理可得， 因为且，， 所以，解得， 因此△的面积为 故答案为：. 三、解答题：（本题2小题，共16分） 29.（2023·辽宁·学业考试）给定三个平面向量． (1)求的大小； (2)若向量与向量共线，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量夹角公式计算； （2）运用向量共线的条件，将其转化为关于坐标的等式求解. 【详解】（1）， 则， 所以， 因为，所以； （2）， ， 因为向量与向量共线，所以， 解得． 30.（2023·广西·学业考试）已知向量，，记． (1)若，，求x的值的集合； (2)已知，若函数在区间上单调递增，且函数的图象的一个对称中心为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示和辅助角公式得，解出即可； （2）根据正弦函数的单调增区间通式得到，再根据其对称中心得到方程，解出即可. 【详解】（1）若，，则， 则，解得， 则x的值的集合为. （2）依题意知， 由，.解得，. 由于函数在区间内单调递增，故，即，. 当时，上式成立，即，结合得， 因为函数的图象的一个对称中心为， 则， 则，解得，， 结合，则. 学科网（北京）股份有限公司 $$