专题16 平面直角坐标系（7大考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题16 平面直角坐标系 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断点所在的象限】 1 【考点二 求点到坐标轴的距离】 2 【考点三 已知点所在的象限求参数】 4 【考点四 建立平面直角坐标并写出坐标】 5 【考点五 平面直角坐标系中点与坐标的距离及直线与坐标平行的综合问题】 8 【考点六 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 10 【考点七 作图——轴对称变换作图】 12 【过关检测】 17 【典型例题】 【考点一 判断点所在的象限】 例题：（23-24七年级下·广东肇庆·期中）平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了判断点所在象限，根据第一象限的点的坐标特征为，第二象限的点的坐标特征为，第三象限的点的坐标特征为，第四象限的点的坐标特征为，判断即可得解． 【详解】解：平面直角坐标系中，点所在的象限是第二象限， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）点在平面直角坐标系中所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查平面直角坐标中点的特征，熟练记住各象限内点的符号特征是解决问题的关键，根据各象限点的特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴点所在的象限是第四象限， 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了第四象限中点坐标的特征．熟练掌握第四象限中点坐标的特征是解题的关键． 由，可知为，在第四象限，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴为，在第四象限， 故选：B． 【考点二 求点到坐标轴的距离】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ，到原点的距离是 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了点的坐标的几何意义， 横坐标的绝对值就是到y轴的距离， 纵坐标的绝对值就是到x轴的距离.求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离， 求得P的横坐标绝对值即可求得P点到y轴的距离， 求点的长度可得出到原点的距离． 【详解】解： 点P坐标为， 点P到 x轴的距离是； 到y轴的距离， 到原点的距离为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为5、到y轴的距离为4，则点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查求点的坐标，根据第二象限内点的符号特征为，点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：∵点P在第二象限， ∴， ∵点P到x轴的距离为5、到y轴的距离为4， ∴， ∴点的坐标为：； 故答案为： 2．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点的坐标、解一元一次方程，根据题意得，，即或，再分别求解即可． 【详解】解：∵点P到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，， 当时，，， ∴或， 故答案为：或． 【考点三 已知点所在的象限求参数】 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查根据点的特征，求参数的值．根据轴上的点的纵坐标为0，求出的值，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了y轴上的点的特点，掌握y轴上的点的特点是解题的关键．根据y轴上的点的特点，横坐标为零，进行求解即可． 【详解】解：∵点在y轴上， ∴ 故答案为：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系内，点在第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查的是根据点所在的象限求解参数的取值范围，一元一次不等式组的解法，根据题意列出关于的不等式，解之即可得． 【详解】解：根据题意，得：， 解得：， 故答案为：． 【考点四 建立平面直角坐标并写出坐标】 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为，超市的坐标为． (1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场的坐标； (2)在（1）的坐标系中，标出小明家，小刚家，学校的位置． 【答案】(1)平面直角坐标系见解析，火车站，体育场 (2)图见详解 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握利用坐标表示位置是解题的关键； （1）根据文化馆的坐标为，超市的坐标为可确定平面直角坐标系，然后问题可求解； （2）根据（1）可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得平面直角坐标系如图所示： ∴火车站的坐标为，体育场的坐标为； （2）解：根据（1）可得小明家，小刚家，学校的位置如图所示． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)作出校园平面示意图所在的平面直角坐标系； (2)写出宿舍楼、食堂、图书馆的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)宿舍楼，食堂，图书馆 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查平面直角坐标系： （1）根据旗杆、实验室的坐标确定x和y轴，建立坐标系； （2）根据宿舍楼、食堂、图书馆在坐标系中的位置写出坐标． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示． （2）解：由平面直角坐标系得：宿舍楼，食堂，图书馆． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地图，如图所示，已知游乐园的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请按题意建立平面直角坐标系； (2)写出其他各景点对应的点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)，，， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系的建立和在平面直角坐标系中确定点的位置的方法． （1）根据题意建立坐标系解答； （2）根据平面直角坐标系写出其他景点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由（1）中直角坐标系可得： 音乐台坐标为：， 湖心亭坐标为：， 望春亭坐标为：， 牡丹园坐标为：． 【考点五 平面直角坐标系中点与坐标的距离及直线与坐标平行的综合问题】 例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的坐标为，直线轴． 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，熟练掌握坐标轴上点的坐标特点，平行y轴的直线上点的坐标特点，是解题的关键． （1）根据x轴上点的坐标特点得出，求出，再求出，即可得出答案； （2）根据平行y轴的直线上点的横坐标相同得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：因为点在轴上， 所以， 所以， 所以， 所以点． （2）解：因为点，且点的坐标为，直线轴， 所以， 所以， 所以， 所以点． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，点到坐标轴的距离． （1）根据轴上的点的纵坐标为0可得答案； （2）根据A到两坐标轴的距离之和为4列出绝对值方程，再根据A在第四象限去绝对值解方程即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ； （2）解：点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4， 的横坐标为正，纵坐标为负，， ， ． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)已知点，当轴时，求点的坐标和线段的长； (2)当点到轴的距离为1时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了坐标与图形，掌握距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上绝对值的符号，这是解题的关键． （1）根据轴，得到M，N点的纵坐标相等，求出m的值，得到点M的坐标，从而得到线段的长度； （2）根据点M到y轴的距离为1，得到，求出m的值即可得到点M的坐标． 【详解】（1）解：轴， ，点的纵坐标相等， ，点， ， ， ， ，         线段的长度； （2）点到y轴的距离为1， ， 或， 或， 或， 或． 【考点六 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 例题：（湖北省十堰市城区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）已知点和点在平面直接坐标系中关于轴对称，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】问题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称点的坐标规律，根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，直接得到答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点坐标为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）若点与点C关于x轴对称，则C点的坐标为 ，若点A与点B关于y轴对称，则B点的坐标为 ．则A，B两点间的距离为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内点的对称规律，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，然后根据两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：∵点与点C关于x轴对称， ∴点C的坐标为， ∵点A与点B关于y轴对称， ∴B点的坐标为， ∴A，B两点间的距离为， 故答案为：，，． 2．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）已知点和和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求得，的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 则， 故答案为． 【考点七 作图——轴对称变换作图】 例题：（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知各顶点坐标分别为、、． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出的各顶点坐标； (3)试求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）根据图形写出坐标即可得解； （3）连接，，再根据三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， ； （2）解：由图可得：，，； （3）解：如图：连接，， ， 则的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． (1)求出点的坐标； (2)作出关于轴对称的； (3)在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【知识点】坐标与图形、画轴对称图形 【分析】此题考查坐标系中点坐标特点，画轴对称图形，利用三角形面积求点坐标， （1）根据平行于轴，得到，求出，即可得到点的坐标； （2）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可得到； （3）根据得到，求出点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵，，平行于轴， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）如图，即为所求； （3）∵，点的坐标为，平行于轴，， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为个单位长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在网格线交点上的三角形）． (1)作出关于轴对称的 (2)若在内有一点，则在内点的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查作图-轴对称变换， （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据“关于轴成轴对称的两个图形，对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数”可得答案； 解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）解：∵与关于轴对称，点是内一点， ∴在内点的对应点的坐标为， 故答案为：． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系点所在象限的判断．判断出点的横纵坐标的符号即可求解． 【详解】解：∵， ∴点在第二象限， 故选：B． 2．（24-25八年级上·四川广元·期中）点与点关于y轴对称，则关于x轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了坐标与图形，掌握关于坐标轴对称的坐标特征是解题关键．根据坐标关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同，求出、的值，再根据关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：点与点关于y轴对称， ，， ， 关于x轴的对称点的坐标是， 故选：C． 3．（四川省嘉祥教育集团2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试题）在学习《位置与坐标》这一章内容时，某老师以自己学生的位置为例，将A同学标记为，将B同学标记为，则同学C的坐标应为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查位置与坐标，根据A，B同学坐标确定原点，建立平面直角坐标系，即可求解． 【详解】解：如图，    可知同学C的坐标应为， 故选C． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题侧重考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组， 首先根据关于x轴对称的点的坐标的关系得到点P关于x轴对称的点的坐标为，根据点在第一象限可得不等式组，解之即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点为，且在第一象限， ∴， 解得：． 故选B． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三线合一、坐标与图形 【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可． 【详解】解：过点作轴，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰三角形， ∴， ∴，即：； 故选C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 【答案】4 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值是解题关键． 根据在平面直角坐标系中，点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值即可得． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离为， 故答案为：4． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则A，B两点间的距离为 . 【答案】3 【知识点】坐标与图形 【分析】本题考查求平面直角坐标系内两点间距离，利用数形结合的思想是解题的关键．根据A，B两点的坐标可推出轴，即得出． 【详解】解：∵A，B两点的坐标分别为，， ∴轴， ∴． 故答案为：3． 8．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴，解得：， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点且直线轴，则点位于第 象限． 【答案】四 【知识点】判断点所在的象限、坐标与图形 【分析】本题考查坐标与图形的性质，各象限内点的坐标特点，解答本题的关键是明确平行于轴的直线上的点的纵坐标都相等． 根据点和点且直线轴，可知点和点的纵坐标相等，从而可以得到，然后求出的值即可得出答案． 【详解】解：直线轴， ， 解得， ，， 点位于第四象限． 故答案为：四． 10．（江西省南昌市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，斜边，若平面直角坐标系中存在一点P（不与点O重合），使得与全等，则点P的坐标为 ． 【答案】或或． 【知识点】全等三角形综合问题、坐标与图形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质等，根据全等三角形的性质在平面直角坐标系中画出图形，即可求解．画出所有可能的情况是解题的关键． 【详解】解：为等腰直角三角形，斜边， ，， 当与全等时，存在三种情况，如图： 与全等时，，，可得； 与全等时，，，可得； 与全等时，，轴，可得； 综上可知，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，． (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)写出C的坐标__________； (3)有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)画图见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形、坐标系中描点 【分析】此题主要考查了坐标与图形，正确得出原点位置是解题关键． （1）直接利用，得出原点的位置进而得出答案； （2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案； （3）根据点E的坐标为先确定点在第四象限，再根据坐标确定具体位置即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图：   ； （2）解：由平面直角坐标系可得； （3）解：∵E的坐标为， ∴在坐标系的位置如图所示． 12．（24-25八年级上·全国·期中）已知点，根据下列条件，分别求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点到轴的距离为； (3)点，轴． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【知识点】绝对值方程、求点到坐标轴的距离 【分析】（）根据上点的横坐标为列方程求出的值，再求解即可； （）根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值列出方程求出的值，再求解即可； （）根据可得点的纵坐标相等，列出方程求出的值即可求解； 本题考查了坐标与图形，绝对值的意义，掌握坐标轴上点的坐标特征、点到轴的距离等于纵坐标的绝对值及平行轴直线上点的纵坐标相等是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在上， ， 解得， ∴， ∴； （2）解：∵点到轴的距离为， ∴， 或， 解得或， 或， 点的坐标为或； （3）∵点，轴， ∴， 解得， ∴， ∴． 13．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点A在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，且线段轴，求出点的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为； (2)点A的坐标为． 【知识点】坐标与图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查坐标轴上的点的坐标特点，平行于坐标轴的点的坐标特点．熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． （1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案； （2）由平行于y轴的点的横坐标相同，可得，即，求得a的值，再将a的值代入求得纵坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上，点， ∴，即， ∴， ∴， ∴点A的坐标为； （2）解：∵点的坐标为，且线段轴，点， ∴，即， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； （3）内一点，在内的对称点的坐标为__________； （4）在轴上确定一点，使得最短，画出点所在位置． 【答案】（1）图见详解；（2）；（3）；（4）图见详解 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形 【分析】本题主要考查坐标与图形—轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称问题是解题的关键； （1）先画出点A、B、C关于y轴对称的点，进而问题可求解； （2）根据（1）中图形可进行求解； （3）根据点的坐标关于坐标轴对称的特征“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”可进行求解； （4）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解 【详解】解：（1）所作如图所示： （2）由（1）图可得： 故答案为； （3）由题意得：内一点，在内的对称点的坐标为； 故答案为； （4）先作点B关于y轴的对称点D，连接，则与y轴的交点即为所求的点P，如图所示： 15．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在轴上．求出点P的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P到轴、轴的距离相等且点P在第一或第二象限，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了坐标与图形，在x轴上点的坐标特点，点到坐标轴的距离问题： （1）在x轴上的点纵坐标为0，据此求出a的值即可得到答案； （2）平行于x轴的直线上的点纵坐标相同，据此求出a的值即可得到答案； （3）点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，到y轴的距离为横坐标的绝对值，结合第一象限横纵坐标都为正，第二象限横坐标为负，纵坐标为正进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点的坐标为，直线轴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵点P到轴、轴的距离相等，且点P在第一或第二象限， ∴当点P在第一象限时，则， ∴， ∴． ∴ 当点P在第二象限时，则，解得， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 16．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，连接． ①若，求证：． ②当时，求的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)①证明过程见详解；②2 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、坐标与图形、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①由，可得，则，如图2，作于，于，由，可知，，则，即是的平分线，，，进而可证；②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； （2）①证明：∵， ∴， ∴， 如图2，作于，于，    ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②解：如图3，在上截取，使，    由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 平面直角坐标系 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断点所在的象限】 1 【考点二 求点到坐标轴的距离】 1 【考点三 已知点所在的象限求参数】 2 【考点四 建立平面直角坐标并写出坐标】 2 【考点五 平面直角坐标系中点与坐标的距离及直线与坐标平行的综合问题】 3 【考点六 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 4 【考点七 作图——轴对称变换作图】 4 【过关检测】 6 【典型例题】 【考点一 判断点所在的象限】 例题：（23-24七年级下·广东肇庆·期中）平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）点在平面直角坐标系中所在象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．无法确定 【考点二 求点到坐标轴的距离】 例题：（23-24八年级上·四川达州·期末）点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ，到原点的距离是 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为5、到y轴的距离为4，则点P的坐标是 ． 2．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 【考点三 已知点所在的象限求参数】 例题：（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，若点在轴上，则点的坐标是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，点在y轴上，则m的值为 ． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系内，点在第三象限，则m的取值范围是 ． 【考点四 建立平面直角坐标并写出坐标】 例题：（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）请给下图建立平面直角坐标系，使文化馆的坐标为，超市的坐标为． (1)画出坐标轴，并写出火车站、体育场的坐标； (2)在（1）的坐标系中，标出小明家，小刚家，学校的位置． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)作出校园平面示意图所在的平面直角坐标系； (2)写出宿舍楼、食堂、图书馆的坐标． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）现有一张利用平面直角坐标系画出来的某公园景区地图，如图所示，已知游乐园的坐标为，体育馆的坐标为． (1)请按题意建立平面直角坐标系； (2)写出其他各景点对应的点的坐标． 【考点五 平面直角坐标系中点与坐标的距离及直线与坐标平行的综合问题】 例题：（24-25八年级上·河北保定·期中）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上． (2)点的坐标为，直线轴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第四象限且到两坐标轴的距离之和为4，求的值． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）已知平面直角坐标系中有一点． (1)已知点，当轴时，求点的坐标和线段的长； (2)当点到轴的距离为1时，求点的坐标． 【考点六 关于x轴、y轴对称的点的坐标】 例题：（湖北省十堰市城区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）已知点和点在平面直接坐标系中关于轴对称，则点的坐标是 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）若点与点C关于x轴对称，则C点的坐标为 ，若点A与点B关于y轴对称，则B点的坐标为 ．则A，B两点间的距离为 ． 2．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）已知点和和关于轴对称，则的值为 ． 【考点七 作图——轴对称变换作图】 例题：（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知各顶点坐标分别为、、． (1)画出关于y轴对称的； (2)直接写出的各顶点坐标； (3)试求的面积． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，，，点，平行于轴． (1)求出点的坐标； (2)作出关于轴对称的； (3)在轴上找一点，使得，请直接写出点的坐标_____． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在边长为个单位长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在网格线交点上的三角形）． (1)作出关于轴对称的 (2)若在内有一点，则在内点的对应点的坐标为 ． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·四川广元·期中）点与点关于y轴对称，则关于x轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（四川省嘉祥教育集团2024-2025学年八年级上学期期中检测数学试题）在学习《位置与坐标》这一章内容时，某老师以自己学生的位置为例，将A同学标记为，将B同学标记为，则同学C的坐标应为（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·河北保定·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，，则A，B两点间的距离为 . 8．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）在平面直角坐标系中，若点在第三象限，则的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·河南郑州·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点且直线轴，则点位于第 象限． 10．（江西省南昌市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，斜边，若平面直角坐标系中存在一点P（不与点O重合），使得与全等，则点P的坐标为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．如图是某围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，棋盘上A、B两颗棋子的坐标分别为，． (1)根据题意，画出相应的平面直角坐标系； (2)写出C的坐标__________； (3)有一颗黑色棋子E的坐标为，请在图中画出黑色棋子E． 12．（24-25八年级上·全国·期中）已知点，根据下列条件，分别求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点到轴的距离为； (3)点，轴． 13．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点A在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，且线段轴，求出点的坐标． 14．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）请画出关于轴对称的（其中分别是的对应点）； （2）直接写出三点的坐标：__________，__________，__________； （3）内一点，在内的对称点的坐标为__________； （4）在轴上确定一点，使得最短，画出点所在位置． 15．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知点，解答下列各题： (1)若点P在轴上．求出点P的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点P的坐标； (3)若点P到轴、轴的距离相等且点P在第一或第二象限，求出点P的坐标． 16．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，连接． ①若，求证：． ②当时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$