湖北省十堰市六县市区一中教联体2024-2025学年高二上学期11月联考数学试题

2024年十堰市六县市区一中教联体11月联考 高二数学试卷 考试时间：2024年11月5日下午15：00一17：00 试卷满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知复数z=3+ 则=() A.万 B.5 C.3 D.5 把 2.无论1为何值，直线(21+3)x+(2+4)y+2(2-1)=0过定点() 圜 A.（-2,2) B.（-2,-2) c.(-1,-) D.（-1, 3. 已知向量a=(1,2),6=(2,-1),=(3,-4),若0a+1衣，则n=（) 如 A.1 B.2 c D-月 的 4.直线2x-4y-1=0关于x+y=0对称的直线方程为() 阳 长 A.4x-2y-1=0 B.4x-2y+1=0 C.4x+2y+1=0 D.4x+2y-1=0 ? 5.在棱长为6的正四面体8CD中，点P与Q满起和-号丽，且G而=22，则1的值为( A.丽 B.15 C.7 D.9 杯 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”。如图是 翻 放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 量 P()是阴影部分（包括边界）的动点，则之2的最小值为（) A司 a昌 c号 D.-1 7.将一枚均匀的骰子抛掷2次，事件A=“没有出现1点”，事件B=“出现一次1点”，事件 C-“两次抛出的点数之和是8”，事件D=“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是() A.事件A与事件B是对立事件 B.事件A与事件D是相互独立事件 C.事件C与事件D是互斥事件 D.事件C包含于事件A 荞 8.己知平面上一点M(5,0)若直线1上存在点P使|PM=4则称该直线为点M(5,0)的相关直线”， 下列直线中不是点M(5,0)的“相关直线”的是() A.y=x-3 B.y=2 C.4x-3y=0 D.2x-y+1=0 高二数学试题4-1 扫描全能王创建 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线1：x+2y-2-1=0,圆C:x2+y2=1,0为坐标原点，下列说法正确的是() A.若圆C关于直线1对称，则1=-2 B.点O到直线1的距离的最大值为√ C.存在两个不同的实数1，使得直线l与圆C相切 D。存在两个不同的实数入，使得圆C上恰有三个点到直线！的距高为号 10.已知点A1,0,B(-2,0),动点P满足PA=2,则下面结论正确的为（) IPBI A.点P的轨迹方程为(c十3)2+y2=4 B.点P到原点O的距离的最大值为5 C.△PAB面积的最大值为4 D.PAPE的最大值为18 11.在边长为2的正方体ABCD-B'CD中，M为BC边的中点，下列结论正确的有() A.M与DB'所成角的余弦值为 10 B.过A,M,D三点截正方体ABCD-AB'CD'的截面面积为3 C.当P在线段AC上运动时，PB+PM的最小值为3 D.若Q为正方体表面BCCB上的一个动点，E、F分别为AC的两个三等分点，则№E+2F 的最小值为2√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2,1,1，那么这个球的表面积 是 13.某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔.某同学经过考核选拔通过 该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a,b,,已知三个社团中 他恰好能进入两个的概率为行，假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独 立，则该同学一个社团都不能进入的概率为 14.过直线y=2上任意一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线，切点分别是A、B,则△OAB面积 的最大值为 高二数学试题4-2 扫描全能王创建 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15,(13分)已知两圆x24y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0,求： (1)m取何值时两圆外切？ (2)当m=45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长， 16.(15分)某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远 球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40 人，考核得分的频率分布直方图如图所示。 ◆频率/组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 05060708090100考核得分 (1)由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数： (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练。现采用分层抽样的方法 (样本量按比例分配)，从得分在[70,90)内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求 两人得分分别来自[70,80)和80,90)的概率： 17.(15分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，平面ABC⊥平面ACCA,侧面ACCA为菱形， AC=2,∠AAC=60,底面ABC为等腰三角形，AB=BC,O是AC的中点. B C 高二数学试题4-3 器 扫描全能王创建 (1)证明：平面OAB⊥平面ABC: (2)若平面AOB与平面OBC,的夹角余弦值为，求三棱柱ABC-ABG的体积. 4 18、(17分)如图O,在梯形BCD中，AB∥CD,∠BAD骨，AB=2AD-2CD-4,P为B的 中点，AC与DP交于点O.将△ACD沿AC折起到△ACD的位置，得到三棱锥D'ABC,使得二 面角B-ACD为直二面角（如图②）， (1)求证：BC∥平面POD: (2)求平面ABC与平面BCD的夹角的大小 PQ (3)在线段PD上是香存在点O,使得平面OC2⊥平面ABD?若存在，求出p0的值：若 些 不存在，请说明理由. 席 烟 哦 霄 19(17分)圆C:x2-(1+a)x+y2-ay+a=0. (1)若圆C与x轴相切，求圆C的方程： (2)求圆心C的轨迹方程： (3)已知a>1,圆C与x轴相交于两点M、N(点M在点N的左侧).过点M任作一条直 线与圆O:x2+y2=4相交于两点A、B.问：是否存在实数a,使得∠ANM=∠BNM?若存在， 求出实数a的值，若不存在，请说明理由. 高二数学试题44 扫描全能王创建2024 年十堰市六县市区一中教联体 11 月联考 高二数学试卷答案详解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A B A D C D D ABD ABD AC 12． 6π 13. 14. 4 1．B【详解】       23 i 1 i3 i 3 3i i i 4 2i 2 i 1 i 1 i 1 i 2 2 z                .  222 1 5z     . 2．A【详解】由      2 3 4 2 1 0x y        得：    2 2 3 4 2 0x y x y       ， 由 2 2 0, 3 4 2 0 x y x y        得 2, 2, x y     ∴直线      2 3 4 2 1 0x y        恒过定点  2,2 . 3．B【详解】 )122(   ，ba 由题可得 2,0)12(4)2(3   4．A【详解】设直线 2 4 1 0x y   上一点  0 0,P x y 关于直线 0x y  对称点的坐标为  ,P x y ，则 0 0 0 0 1 0 2 2 y y x x x x y y         ，整理可得： 0 0 x y y x      ， 2 4 1 0y x    ， 即直线 2 4 1 0x y   关于 0x y  对称的直线方程为： 4 2 1 0x y   . 5．D【详解】 以 , ,AB AC AD   为基底，则 6AB AC AD     ， 60BAC BAD CAD    ， 所以 6 6 cos60 18AB AC AB AD AC AD                . 因为  1 22 3PQ AQ AP AC AD AB           2 1 1 3 2 2 AB AC AD       . 2 2 2 1 1 3 2 2 PQ AB AC AD            2 2 24 1 1 2 2 1 9 4 4 3 3 2 AB AC AD AB AC AB AD AC AD                  16 9 9 12 12 9      19 . 6．C【详解】记  2,0A ，则 2 yk x   为直线 AP的斜率， 故当直线 AP与半圆    22 1 1 0x y x    相切时，得 k最小， 此时设  : 2AP y k x  ，故 2 1 2 1 1 k k     ，解得 4 3 k   或 0k  （舍去），即 min 4 3 k   ． 7．D【详解】连续抛掷质地均匀的骰子两次，共 36种等可能的不同结果， 所以事件 A包含的基本事件个数为 25，事件 B包含的基本事件个数为 10， 事件 C包含的基本事件个数为 5，事件 D包含的基本事件个数为 6， 事件 AD包含的基本事件个数为 5，所以 P(A) = ，P(B) =  =  ，P(C) =  ，P(D) =   = ， P(AD) = ，则 P(A) + P(B) =   ≠ 1，故事件 A，B不相互对立，故 A错误； P(A) ⋅ P(D) ≠ P(AD)，故事件 A，D不相互独立，故 B错误； 出现(4,4)是事件 C，D同时发生，故事件 C，D不互斥，故 C错误； 事件 C是包含以下样本点：(2,6)，(3,5)，(,4,4,)，(5,3)，(6,2)，没有出现 1点，故事件 A发 生， 事件 C包含于事件 A，所以故 D正确． 8．D【详解】由题意，当M 到直线的距离小于或等于 4时，称该直线为点M 的“相关直线” A ， (5,0)M ，直线为 3y x  ，所以点到直线的距离为： 2 4d   ，即点M 到直线的最 小值距离小于 4，所以直线上存在点 P使 | | 4PM  成立，是点 (5,0)M 的“相关直线”； B ， (5,0)M ，直线为 2y  ，所以点M 到直线的距离为 2 4 ，所以点M 到直线的最小值距 离小于 4，所以直线上存在点 P使 | | 4PM  成立，是点 (5,0)M 的“相关直线”； C ， (5,0)M ，直线为 4 3 0x y  ，所以点到直线的距离为： 4d  ，所以点M 到直线的最小 值距离等于 4，所以直线上存在点 P使 | | 4PM  成立，是点 (5,0)M 的“相关直线”； D ， (5,0)M ，直线为2 1 0x y   ，所以点到直线的距离为： 11 5 4 5 d   ，即点M 到直线 的最小值距离大于 4，所以直线上不存在点 P使 | | 4PM  成立，不是点 (5,0)M 的“相关直线”． 9．ABD【详解】直线 l： 2 0x y     过定点  2,1P ，圆C： 2 2 1x y  ，圆心  0,0C ， 半径 1r  ， 对选项 A：直线过圆心，则 2 0   ，解得 2   ，故选项 A正确； 对选项 B：点 O到直线 l的距离的最大值为 1 4 5PC    ，故选项 B正确； 对选项 C：直线 l与圆C相切，圆心到直线距离 2 2 1 1 d        ，得 3 4    ，故选项 C错误； 对选项 D：当圆C上恰有三个点到直线 l的距离为 1 2 时，圆心C到直线 l的距离 2 2 1 21 d        ，解得 8 19 3    ，故选项 D正确. 10.ABD 【详解】设动点 P(x，y)，则由 밈 ＝2，得 ＝2， 即(x－1)2＋y2＝4[(x＋2)2＋y2]， 化简得：x2＋y2＋6x＋5＝0，即(x＋3)2＋y2＝4，A正确； 因为点 P 轨迹是圆心为(－3，0)，半径为 2的圆， 则点 P到原点 O的距离最大值为 ＋2＝5，B正确； 又 A，B 和点 P 轨迹的圆心都在 x 轴上，且|AB|＝3， 所以当圆的半径垂直于 x轴时，△PAB 面积取得最大值 ×3×2＝3，C 错误； 又밈 · ＝(1－x，－y)·(－2－x，－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2＝x2＋y2＋x－2， 因为 y2＝－x2－6x－5(－5≤x≤－1)，所以밈 · ＝－5x－7(－5≤x≤－1)， 则밈 · ≤－5×(－5)－7＝18，D 正确． 11．AC【详解】以 A为坐标原点， A D ， A B ， A A 所在直线分别为 x，y，z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，则  0,0,2A ，  1,2,2M ，  2,0,0D ，  0,2,0B ，  2,2,0C ， ∴  1,2,0AM   ，  2, 2,0D B     ， ∴ 10cos , 10 AM D BAM D B AM D B               ， ∴ AM 与D B 所成角的余弦值为 10 10 ，故 A正确； 取CC的中点N，连接MN，D N ， AD，则MN BC AD ∥ ∥ ， 故梯形MND A 为过点A，M ，D¢的该正方体的截面，∵ 2MN  ， 2 2AD  ， 5AM D N   ，∴梯形MND A 的高为 2 2 3 25 2 2         ，∴梯形MND A 的面积为  1 3 2 92 2 22 2 2    ，故 B错误； 由对称性可知， PB PD   ，故 PB PM PD PM    ， 又由于 A，B，C，D¢四点共面，故 3PB PM PD PM DM      ，当 P为 A C 与DM 的交点时等号成立，故 C正确， 设点 F 关于平面 BCC B 的对称点为 F ，连接 EF ，当 EF 与平面BCC B 的交点为Q时， QE QF QE QF    最小，过点 E作 AD的平行线，过点 F 作 AB的平行线，两者交于点 G，此时 1 2 2 3 3 EG AD  ， 2GF   ， 2 22 2 2 112 3 3 EF           ，故 D错误. 12．6π【详解】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为 2 2 22 2 1 1 6   r ， 故这个球的表面积是  224π π 2 6πS r r   . 13. 【详解】由题知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为 ， 则 ab ⋅ 1 − + a(1 − b) + b(1 − a) = ，所以 (a + b) − ab = ，所以 a + b − ab = ， 所以该同学一个社团都不进入的概率：P = (1 − a)(1 − b) ⋅ (1 − ) = [1 − (a + b) + ab] = {1 − [(a + b) − ab]} = × (1 −  ) = ． 14． 4 【详解】如图,设 P(t,2),因为 OA⊥PA,OB⊥PB,所以点 A,B在以 OP为直径的圆 C上, 易知圆心 C , ,半径为 4 ,所以圆 C的方程为 - +(y-1)2= 4 4 ,又圆 O:x 2+y2=1,所以将 两方程相减,可得直线 AB 的方程为 tx+2y-1=0.于是,点 O(0,0)到直线 AB:tx+2y-1=0 的距离 d= 4 ,|AB|=2 - 4 =2 4 ,故 S△AOB= |AB|·d= ×2 4× 4 = 4 .不妨设 m= ,则 m≥ ,且 t2=m2-3,故 S△AOB= = .因为 y=m+在[ ,+∞)上单调递增,所以 y≥4 ,则 S△AOB≤ 4 ,即当 t=0,点 P的坐标为(0,2)时,△OAB的面积取得最大值 4 . 15．(1)25 10 11 (2) 4 3 23 0x y   ； 2 7 【详解】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：    22 2 2( 1) ( 3) 11,( 5) 6 61 61x y x y m m          ， 则圆心分别为    1,3 , 5,6M N ，半径分别为 11和 61 m ， 当两圆外切时，满足 2 2(5 1) (6 3) 11 61 25 10 11m m         …………5 分 （2）当 45m  时，有 61 4m  ，则 2 24 11 (5 1) (6 3) 4 11       ，所以两圆相交， 则两圆的公共弦所在直线的方程为：  2 2 2 22 6 1 10 12 45 0x y x y x y x y          ， 即 4 3 23 0x y   ， 圆心  1,3M 到直线 4 3 23 0x y   的距离 2 2 4 9 23 2 4 3 d      ， 所以公共弦长 2 11 4 2 7l    ． …………13 分 16．(1) 0.03t  ，85 (2) 3 5 【详解】（1）由题意得：  10 0.01 0.015 0.02 0.025 1t      ，解得 0.03t  ， 设第 60百分位数为 x，则  0.01 10 0.015 10 0.02 10 0.03 80 0.6x         ， 解得 85x  ，即第 60百分位数为 85. …………6 分 （2）由题意知，抽出的 5位同学中，得分在 70,80 的有 85 2 20   人，设为A， B， 在 ǡ 的有 125 3 20   人，设为 a，b，c. 则 样 本 空 间 为                     Ω , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c ，  Ω 10n  . …………12 分 设事件M  “两人分别来自  70,80 和 ǡ ”， 则             , , , , , , , , , , ,M A a A b A c B a B b B c ，   6n M  ， 因此       6 3 Ω 10 5 n M P M n    ， 所以两人得分分别来自  70,80 和 ǡ 的概率为 3 5 . …………15 分 17．(1)证明见解析 (2) 3 【详解】（1）菱形 1 1ACC A 中 1 60A AC   ，则 1AAC△ 为等边三角形， 又 O是 AC的中点，则 1OA AC ， 又平面 ABC⊥平面 1 1ACC A ，平面 ABC平面 1 1ACC A AC ， 1OA Ì平面 1 1ACC A ， 1OA 平面 ABC，又 1OA 面 1 1OAB ，则面 1 1OAB 面 ABC . …………5 分 （2）由（1）知 1OA 平面 ABC，又 AB BC ，O是 AC的中点，则 BO AC ， 以点 O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由 2AC  ， 设 0OB t  ， 则 밈 ， 1( 1, 3, )B t ， 1( 2, 3,0)C  ， 所 以 (1,0,0)OA   ， 1 ( 1, 3, )OB t   ， 1 ( 2, 3,0)OC    ， …………7 分 设平面 1AOB 法向量 1 1 1( , , )m x y z  ， 则 1 1 1 1 1 0 3 0 m OA x m OB x y tz              ， 令 1 3z  ， 1 10,x y t   ，得 (0, , 3)m t   ， …………10 分 设平面 1 1COB 法向量 2 2 2( , , )n x y z  ，则 1 2 2 1 2 2 2 2 3 0 3 0 n OC x y n OB x y tz                ， 令 2 3z  ， 2 2 3 , 2x t y t    ，可得 ( 3 , 2 , 3)n t t    ， …………13 分 所以 2 2 2 2 2 3 10cos , 43 3 4 3 m n tm n m n t t t                 ，由 0t  ，解得 1t  ， 3,1 2 1 1  OAOBACS ABC ， 三棱柱 1 1 1 ABC ABC 的体积为 1 3ABCV S OA  . …………15 分 18．解:(1)证明:在梯形 ABCD中,因为 AB∥CD,AB=2CD=4,P为 AB的中点, 所以 CD∥AP,CD=AP,连接 PC,所以四边形 APCD为平行四边形, 因为 AC∩DP=O,所以 O为 AC的中点,所以 OP∥BC. 在三棱锥 D'-ABC中,因为 OP⊂平面 POD',BC⊄平面 POD',所以 BC∥平面 POD'.…………4 分 (2)在平行四边形 APCD中,因为 AP=AD=2, 所以四边形 APCD为菱形,所以 AC⊥DP, 所以在三棱锥 D'-ABC中,AC⊥OD',AC⊥OP. 因为 OD'⊂平面 ACD',OP⊂平面 ACB,所以∠D'OP即为二面角 B-AC-D'的平面角, ………6 分 所以∠D'OP=π,即 OP⊥OD'. 如图所示,以 O为坐标原点,分别以 OA,OP,OD'所在直线为 x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则 B(- ,2,0),C(- ,0,0),D'(0,0,1),所以' =( ,-2,1), =(0,2,0). 设平面 BCD'的法向量为 n=(x,y,z), 则 · = = , ·' = - = , 令 x=1,得 n=(1,0,- ). 易知平面 ABC的一个法向量为 m=(0,0,1), 所以 cos<m,n>= ·||·||=- , 所以平面 ABC与平面 BCD'的夹角的大小为π.………10 分 (3)假设在线段 PD'上存在点 Q,使得平面 OCQ⊥平面 ABD'. 设 =λ' (0≤λ≤1),因为 P(0,1,0),所以 =( ,1,0),' =(0,-1,1), 所以 = + = +λ' =( ,1-λ,λ),易知 =(- ,0,0),밈 =(-2 ,2,0). …………13 分 设平面 OCQ的法向量为 t=(x1,y1,z1), 则 · = - = , · = (-) = , 令 y1=λ,得 t=(0,λ,λ-1). 设平面 ABD'的法向量为 s=(x2,y2,z2), 则 ·밈 = - = , ·' = - = , 令 x2=1,得 s=(1, , ). 由 t·s=(0,λ,λ-1)·(1, , )= λ+ λ- =0,解得λ=, 所以当 Q为线段 PD'的中点时,平面 OCQ⊥平面 ABD',此时'= . …………17 分 19【答案】解：(1)由圆 C与 x轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等． 故先将圆 C的方程化成标准方程为：(x − ᓈ ) 2 + (y − ᓈ ) 2 = ( ᓈ ) 2 + ᓈ 4 − a，…………2 分 由( ᓈ ) 2 = ( ᓈ ) 2 + ᓈ 4 − a，整理可得a 2 − 2a + 1 = 0，解得 a = 1， 即可得到所求圆 C的方程为x2 − 2x + y2 − y + 1 = 0，即(x − 1)2 + (y − ) 2 = 4．………4 分 (2)设圆心 C点坐标为 x,y ，则 x = ᓈ y = ᓈ ，消去参数 a得 x − y = ， 因此，圆心 C的轨迹方程为 2x − 2y − 1 = 0．…………8 分 (3)在圆 C的方程中，令 y = 0，得x2 − (1 + a)x + a = 0，即(x − 1)(x − a) = 0， ∵ a > 1，且点 M在点 N的右侧，所以点 M 1,0 、N a,0 ， 假设存在实数 a，当直线 AB与 x轴重合时，A、B、N、M四点共线，则∠ANM = ∠BNM成 立； 当直线 AB与 x轴不重合时，…………10 分 设直线 AB的方程为 x = my + 1，设点 A(x1,y1)、B x2,y2 ， 联立 x = my + 1 x2 + y2 = 4，消去 x并整理得 m 2 + 1 y2 + 2my − 3 = 0， Δ = 4m2 + 12 m2 + 1 = 16m2 + 12 > 0， 由韦达定理得y1 + y2 =− ，y1y2 =− ，…………13 分 ∵ ∠ANM = ∠BNM，所以直线 AN、BN的斜率互为相反数， 即kAN + kBN = ᓈ + ᓈ = ᓈ + ᓈ = ᓈ香ᓈ香ᓈ香ᓈ香 = ᓈ香香ᓈ香ᓈ香 = ᓈ香 ᓈ香ᓈ香 = ᓈ4香 ᓈ香ᓈ香 = 0恒成立， 所以，a − 4 = 0，解得 a = 4． 综上所述，存在 a = 4，使得∠ANM = ∠BNM．…………17 分