专题01 集合与常用逻辑用语（知识梳理+8考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（广东小高考专用）

专题01 集合与常用逻辑用语 目录 考情解读 1 知识梳理 2 考点精讲 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 6 考点三：集合的基本运算 7 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围) 9 考点五：充分、必要条件的判定 9 考点六：充分、必要条件的应用 11 考点七：含有量词的命题的否定及真假判断 12 考点八：含有量词命题的应用 14 实战训练 15 考点 考频 考查内容 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 充分条件和必要条件 5年1考 判断充分条件和必要条件 全称量词和存在量词 5年4考 含有量词命题的否定 考情解读 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系 (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 (3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算 4.充分条件与必要条件 (1)理解命题的概念. (2)了解“若,则q"形式的命题. (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义, 5.全称量词与存在量词 (1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合 表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A， 且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 注：1.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A． (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A． (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A． 2.常用结论 （1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． （2）空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集． （3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB． （4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 考点精讲 考点一：集合的基本概念 【典型例题】 解题策略 (1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 例1．（2023•广东学业考试）给出下列说法： ①在一个集合中可以找到两个相同的元素； ②好听的歌能组成一个集合； ③高一（1）班所有姓氏能构成集合； ④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个． 其中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 例2．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（    ） A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3} 例5．已知集合，则A中元素个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 例6．设集合，，，则中的元素个数为 ． 【即时演练】 1．数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 2．方程的所有实数根组成的集合（    ） A． B． C． D． 3．图中阴影区域所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（   ） A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江} C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江} 5．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是 6．已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 考点二：集合间的基本关系 【典型例题】 解题策略 集合关系问题的应用技巧 (1)判断两集合的关系有两种方法，一是化简集合，通过表达式寻求；二是列举元素，从元素关系中寻找． (2)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．同时，要注意空集是任何集合的子集，以防漏解． 例1．（2024•广东学业考试）已知集合，则集合的非空真子集有　　个 A．5 B．6 C．7 D．8 例2．集合的所有子集的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 例3．设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 例4．已知集合，，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 例5．已知集合，若，则 . 例6．设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即时演练】 1．已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则集合的真子集的个数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高三上·广东·学业考试）已知， 设集合， ，则（ ） A．​ B．​ C．  ​ D．​ 4．已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 考点三：集合的基本运算 【典型例题】 解题策略 求解集合基本运算的方法步骤 例1．（2021•广东学业考试）已知集合，，，1，3，，则　 A．，1， B．，，1， C．，1，3， D．， 例2．（2024•广东学业考试）已知集合，，，0，，则　　 A．，1， B． C．， D．，0，1， 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 例5． （2023•广东学业考试）设集合，2，3，4，5，，，4，，，3，， 则　　 A．， B．， C．，3， D．，3，4， 例6．（2022•广东学业考试）已知全集，1，2，3，，设集合，1，，，2，，则　 A． B． C．， D． 例7．已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1.（2023•广东学业考试）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 2.（2020•广东学业考试）设集合，，，，则　　 A．， B．，0， C． D．， 3．集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．设全集，集合，，则 . 5．若集合，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 7．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围)【典型例题】 解题策略 利用集合的运算求参数的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合中的元素是用不等式(组)表示的，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 例1．（2021•广东学业考试）已知集合，，，，，如果，那么实数等于　　 A． B．0 C．2 D．4 例2．（2020•广东学业考试）已知集合，3，，，，，则　　 A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3 例3．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【即时演练】 1．设全集，集合，. (1)若，求， (2)若，求实数的取值范围. 2．已知全集为U，，则其图象为（    ） A．   B．   C．   D．   考点五：充分、必要条件的判定 【典例讲解】 解题策略 充分条件、必要条件的3种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理的判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于以否定形式给出的问题． 例1．（2024•广东学业考试）“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例4．已知命题，且，命题，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5．已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例6．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点六：充分、必要条件的应用 【典例讲解】 解题策略 应用充分条件、必要条件求解参数范围的方法 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 例1．已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 例4．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【即时演练】 1．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 3．已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 考点七：含有量词的命题的否定及真假判断 【典例讲解】 解题策略 (1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论． (2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 例1．下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称 C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似 例2．（2023高三·广东·学业考试）下列存在量词命题是假命题的是（    ） A．存在，使 B．存在，使 C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角 D．有的有理数没有倒数 例3．（2024•广东学业考试）命题“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 例4．（2024•广东学业考试）命题，，则命题的否定为　　 A．， B．， C．， D．， 例5．（2023•广东学业考试）“，使得”的否定是　　 A．，使得 B．，使得 C．， D．， 【即时演练】 1．下列命题为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2022•广东学业考试）命题：“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 3．命题：“”的否定是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·广东·学业考试）设命题，则p为（    ） A． B． C． D． 5．命题“，有”的否定是（   ） A．，使得 B．，有 C．，使得 D．，有 6．已知命题，，则命题的为（    ） A．， B．， C．， D．， 7．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 考点八：含有量词命题的应用 【典例讲解】 解题策略 (1)全称量词命题多与“恒成立”问题有关，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入求解，也可以根据函数或不等式中恒成立问题的求解方法求解． (2)存在量词命题多以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论做出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致了矛盾，则否定了假设． 例1．（2024•广东学业考试）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是 　　． 例2．若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是 ． 例3．若命题为真命题，则的最大值为 . 例4．若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．设命题，不等式恒成立：命题． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 2．若命题“”是假命题，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．3 3．若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 实战训练 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．设全集，，则（    ） A． B． C． D． 6．设集合，则 ． 7．已知集合，则集合A的非空真子集有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 8． “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．已知命题：，，则命题的否定为（    ）． A．， B．， C．， D．， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 目录 考情解读 1 知识梳理 2 考点精讲 4 考点一：集合的基本概念 4 考点二：集合间的基本关系 9 考点三：集合的基本运算 13 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围) 17 考点五：充分、必要条件的判定 19 考点六：充分、必要条件的应用 23 考点七：含有量词的命题的否定及真假判断 26 考点八：含有量词命题的应用 30 实战训练 34 考点 考频 考查内容 集合 5年5考 集合间的关系、集合的运算 充分条件和必要条件 5年1考 判断充分条件和必要条件 全称量词和存在量词 5年4考 含有量词命题的否定 考情解读 1.集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系 (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 (3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算 4.充分条件与必要条件 (1)理解命题的概念. (2)了解“若,则q"形式的命题. (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义, 5.全称量词与存在量词 (1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知识梳理 1、元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 2、集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3、集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合 表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A， 且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 注：1.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A． (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A． (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A． 2.常用结论 （1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． （2）空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集． （3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB． （4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 4、充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 5、全称量词与存在量词 （1）全称量词 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示. （2）存在量词 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示. （3）全称量词命题及其否定 ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. （4）存在量词命题及其否定 ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 考点精讲 考点一：集合的基本概念 【典型例题】 解题策略 (1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 例1．（2023•广东学业考试）给出下列说法： ①在一个集合中可以找到两个相同的元素； ②好听的歌能组成一个集合； ③高一（1）班所有姓氏能构成集合； ④把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个． 其中正确的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】对于①，集合中的元素是互不相同的，故①错误； 对于②，好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合，故②错误； 对于③，高一（1）班所有姓氏是确定的，所以能构成集合，故③正确； 对于④，因为集合中的元素满足无序性，故由1，2，3三个元素只能组成一个集合，故④错误， 所以正确的个数为1个． 故选：． 例2．已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由元素与集合的关系即可求解. 【详解】由元素与集合的关系可知：若集合，则. 故选：B. 例3．已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系即可求解. 【详解】, 故选：D 例4．已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（    ） A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3} 【答案】D 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合是由三个元素构成， 所以. 故选：D 例5．已知集合，则A中元素个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】由列举法即可判断 【详解】，共有9个元素. 故选：B 例6．设集合，，，则中的元素个数为 ． 【答案】4 【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数. 【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8． 根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素． 故答案为：4． 【即时演练】 1．数集中的不能取的数值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据集合的互异性即可得结果. 【详解】由集合的互异性可得，即， 所以不能取的数值的集合是， 故选：D. 2．方程的所有实数根组成的集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解一元二次方程的根组成的集合 【详解】解方程，得或， 方程的所有实数根组成的集合为. 故选：C 3．图中阴影区域所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义以及表示方法，即可求解. 【详解】阴影中有两个数字，分别是1，2所以表示的集合为. 故选：C 4．设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（   ） A．{长江，黄河} B． {长江，黑龙江} C． {长江，珠江} D． {长江，黄河，黑龙江，珠江} 【答案】D 【分析】根据集合的概念及表示即得. 【详解】∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合， ∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}. 故选：D. 5．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是 【答案】7 【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素. 【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7； 故答案为：7. 6．已知数集含有（）个元素，定义集合． (1)若，写出； (2)写出一个集合，使得； (3)当时，是否存在集合，使得？若存在，写出一个符合条件的集合；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据集合的新定义，写出中元素即可得解； （2）根据条件分析集合中元素即可得解； （3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以为中元素， 故. （2）取，此时， 满足. （3）当时，不存在集合，使得. （反证法） 假设时，存在集合，使得， 不妨设，且， 则， 所以为中7个不同的元素， 所以， 由解得. 此时，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在这样的集合. 考点二：集合间的基本关系 【典型例题】 解题策略 集合关系问题的应用技巧 (1)判断两集合的关系有两种方法，一是化简集合，通过表达式寻求；二是列举元素，从元素关系中寻找． (2)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．同时，要注意空集是任何集合的子集，以防漏解． 例1．（2024•广东学业考试）已知集合，则集合的非空真子集有　　个 A．5 B．6 C．7 D．8 【解析】由集合，1，， 所以集合的非空真子集为：，，，，，，，，，共有6个． 故选：． 例2．集合的所有子集的个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【解析】用列举法求出集合的子集即可得解. 【详解】解：因为集合，则集合的子集为： 、、、、 、、共8个， 故选：D. 【点睛】本题考查了集合子集的概念，属基础题. 例3．设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】对于选项A：由元素与集合的关系可知，故A错误； 对于选项B：由元素与集合的关系可知，故B正确； 对于选项C：由元素与集合的关系可知，故C错误； 对于选项D：由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：B 例4．已知集合，，若，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】就分类讨论后可得实数的取值范围. 【详解】当时，，此时，故满足. 当时，，因为，故即. 当时，，此时不成立， 综上，. 故选：C. 【点睛】本题考查含参数的集合的包含关系，注意对含参数的集合，要优先讨论其为空集或全集的情形，本题属于基础题. 例5．已知集合，若，则 . 【答案】 【解析】由，得到是方程是方程的根，代入即可求解. 【详解】由题意，集合， 因为，所以，即是方程是方程的根，解得， 当，可得集合,此时满足， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解参数问题，其中解答中熟记集合件的包含关系，结合元素与集合的关系，列出方程求解是解答的关键，属于基础题. 例6．设集合，，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合相等直接得解. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：D 【即时演练】 1．已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据可得出关于的等式，解出即可. 【详解】集合，，，，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 2．已知集合，则集合的真子集的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出集合所含元素的个数，可得集合的真子集的个数. 【详解】解：由集合，可得， 其中集合中含有4个元素，可得集合的真子集的个数是个， 故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的子集、真子集的个数，求出集合中元素的个数是解题的关键. 3．（2023高三上·广东·学业考试）已知， 设集合， ，则（ ） A．​ B．​ C．  ​ D．​ 【答案】D 【分析】先求出全集，从而判断四个选项的正误，可得答案. 【详解】由题意，, 得, 故，A错误；,故B错误， ，故属于集合间符号使用不正确， C错误， ,D正确， 故选：D 4．已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解； 【详解】解：因为且， 所以，且， 又， 所以和为方程的两个实数根， 所以； 故选：D 考点三：集合的基本运算 【典型例题】 解题策略 求解集合基本运算的方法步骤 例1．（2021•广东学业考试）已知集合，，，1，3，，则　　 A．，1， B．，，1， C．，1，3， D．， 【解析】因为， 又，，1，3，， 所以，1，． 故选：． 例2．（2024•广东学业考试）已知集合，，，0，，则　　 A．，1， B． C．， D．，0，1， 【解析】集合，，，0，， ，0，1，． 故选：． 例3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集的定义即可求解. 【详解】由，， 则， 故选：B. 例5． （2023•广东学业考试）设集合，2，3，4，5，，，4，，，3，， 则　　 A．， B．， C．，3， D．，3，4， 【解析】，4，，，3，， ，3，4，，，． 故答案为：． 例6．（2022•广东学业考试）已知全集，1，2，3，，设集合，1，，，2，，则　　 A． B． C．， D． 【解析】，1，2，3，，，1，， ，，又，2，， ． 故选：． 例7．已知集合，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以，，，故A、B、C正确，D错误； 故选：D 【即时演练】 1.（2023•广东学业考试）已知集合，，则　　 A． B． C． D． 【解析】集合，， ． 故选：． 2.（2020•广东学业考试）设集合，，，，则　　 A．， B．，0， C． D．， 【解析】集合，，，， ，0，． 故选：． 3．集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集的运算求解即可； 【详解】由题意可得， 故选：B. 4．设全集，集合，，则 . 【答案】 【分析】确定，再计算并集得到答案. 【详解】，，则， ，则. 故答案为：. 5．若集合，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集、并集的定义直接求解即可. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：C 6．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由题意，，. 故选：C. 7．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由补集的定义即可求解. 【详解】若全集，集合，则. 故选：D. 8．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】由可得或， 所以， 故选：D 9．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用集合的交补运算求集合. 【详解】由题设，则. 故选：C 考点四：利用集合的运算求参数的值(范围) 【典型例题】 解题策略 利用集合的运算求参数的方法 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合中的元素是用不等式(组)表示的，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解． (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围． 例1．（2021•广东学业考试）已知集合，，，，，如果，那么实数等于　　 A． B．0 C．2 D．4 【解析】， ． ，，，，， ． 故选：． 例2．（2020•广东学业考试）已知集合，3，，，，，则　　 A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3 【解析】． ，，3，， 或，解得或（与集合中元素的互异性矛盾，舍去）． 综上所述，或． 故选：． 例3．已知集合，，若，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由交集的结果，根据及集合的性质，即可求的值. 【详解】由，而，故， 故选：B. 【即时演练】 1．设全集，集合，. (1)若，求， (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）先代入化简集合，再利用集合的交并补运算即可得到结果； （2）先由得到，再分类讨论与两种情况，结合数轴法即可得到所求. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，， 所以，或， 故或. （2）因为，所以， 因为，， 所以当时，，解得，此时； 当时，， 由数轴法得，解得，故； 综上：，即. 2．已知全集为U，，则其图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据给定条件，可得，结合韦恩图的意义判断作答. 【详解】全集为U，，则有，选项BCD不符合题意，选项A符合题意. 故选：A 考点五：充分、必要条件的判定 【典例讲解】 解题策略 充分条件、必要条件的3种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理的判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于以否定形式给出的问题． 例1．（2024•广东学业考试）“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】或， 因为，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 例2．“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，一定有，满足充分性， 但时，如，不满足，即不满足必要性， “”是“”的为充分不必要条件． 故选：A． 例3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解. 【详解】当时，， 当时， ， 则“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 例4．已知命题，且，命题，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分必要条件的定义，结合不等式的性质即可得解. 【详解】当，且时， 由得同号，再由得，且， 即充分性成立； 当，且时，，且，即必要性成立； 所以是的充要条件. 故选：C. 例5．已知，，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】由，，，，得，于是， 由，，取，满足，显然“，”不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 例6．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的知识确定正确答案. 【详解】不等式成立的一个充分不必要条件是， 是的必要不充分条件， 是的非充分非必要条件， 是的充分必要条件. 故选：A 【即时演练】 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据指数运算可得，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】由可得，故， 因此“”是“”的充分不必要条件 故选：A 2．设，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义求解. 【详解】对于 ，比如 ，显然 ，不能推出 ； 反之，如果 ，则必有 ； 所以“ ”是“ ”的必要不充分条件； 故选：B. 3．已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据“充分必要条件”的定义求解. 【详解】如果 ，则有 ，是充分条件；如果 ，则有 ，但不能推出 ， 比如 ，不是必要条件； 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件； 故选：A. 4．已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】满足，但无意义，不成立，不充分， 反之，满足，但无意义，即不成立，因此不必要， 从而应为既不充分也不必要条件 故选：D． 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果. 【详解】若，则，又因为，所以，即， 若，因为，当时，不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．已知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断. 【详解】“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件. 故选：B 考点六：充分、必要条件的应用 【典例讲解】 解题策略 应用充分条件、必要条件求解参数范围的方法 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 例1．已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分不必要条件求参数，得到，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 例2．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案. 【详解】由条件，解得或； 因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件， 故是或的真子集， 则的取值范围是， 故选：B． 例3．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 例4．集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【即时演练】 1．若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 2．已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 3．已知集合，或，为实数集． (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，根据得到，解得答案. （2）确定是的非空真子集，得到，解得答案. 【详解】（1）由不等式，解得，则， 或，，则，解得， 即实数的取值范围为. （2）或，， 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 又由题意知，所以是的非空真子集，， 解得，所以实数的取值范围为. 考点七：含有量词的命题的否定及真假判断 【典例讲解】 解题策略 (1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论． (2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 例1．下列命题中，含有存在量词的是（    ） A．存在一个直角三角形三边长均为整数 B．所有偶函数图象关于y轴对称 C．任何梯形都不是平行四边形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】A 【分析】根据存在量词的含义判断即可. 【详解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词. 故选：A. 例2．（2023高三·广东·学业考试）下列存在量词命题是假命题的是（    ） A．存在，使 B．存在，使 C．存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角 D．有的有理数没有倒数 【答案】C 【分析】对于C选项，利用钝角三角形定义判断即可.A，B，D选项举例说明. 【详解】当时，.故A正确. 当时，.故B正确. 因为对任意的钝角三角形，其内角和是，所以内角是锐角或是钝角，所以选项C不正确. 0是有理数，0没有倒数.所以有的有理数没有倒数.所以D正确. 故选：C 例3．（2024•广东学业考试）命题“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】根据特称命题的否定为全称命题可知：命题“，”的否定是“， “， 故选：． 例4．（2024•广东学业考试）命题，，则命题的否定为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】根据题意，命题，为存在量词命题， 则命题的否定应该为，． 故选：． 例5．（2023•广东学业考试）“，使得”的否定是　　 A．，使得 B．，使得 C．， D．， 【解析】“，使得”的否定是：，使得． 故选：． 【即时演练】 1．下列命题为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据特称命题和全称命题的真假一一判断即可. 【详解】对A，取，则，则“，”为假命题； 对B，取，则，则“，”为假命题； 对C，时，恒成立，则不存在，使得，则其为假命题； 对D，，解得，则“，”为真命题. 故选：D. 2．（2022•广东学业考试）命题：“，”的否定是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】命题：“，”的否定是：，． 故选：． 3．命题：“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“”的否定为：“”. 故选：C. 4．（2024高三上·广东·学业考试）设命题，则p为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】该命题含有量词“”，故该命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题， 故p为：． 故选：B 5．命题“，有”的否定是（   ） A．，使得 B．，有 C．，使得 D．，有 【答案】C 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】解：因为命题“，有”是全称量词命题， 所以其否定是存在量词命题，即“，使得”. 故选：C. 6．已知命题，，则命题的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据含有一个全称量词的否定的定义选择即可. 【详解】已知命题，， 则命的为,. 故选:A. 7．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断. 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：C 8．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由特称量词命题的否定形式求解即可. 【详解】因为命题“”是特称量词命题， 故其否定是“”. 故选：A 考点八：含有量词命题的应用 【典例讲解】 解题策略 (1)全称量词命题多与“恒成立”问题有关，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入求解，也可以根据函数或不等式中恒成立问题的求解方法求解． (2)存在量词命题多以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论做出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致了矛盾，则否定了假设． 例1．（2024•广东学业考试）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是 　　． 【解析】命题“，”为真命题， 当时，恒成立，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是，． 故答案为：，． 例2．若命题p：“，”是假命题，命题q：，，是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对于命题，根据其为假命题,得到否定为真命题，可得出关于的不等式；对于命题，根据其为真命题也可得出关于的不等式，最后求这两个不等式的交集得到的取值范围. 【详解】因为命题是假命题， 那么它的否定是真命题. 对于二次函数，其判别式. 展开得到，解得.即. 命题是真命题，即对恒成立. 所以，解得. 综合以上两个命题的结果，取交集可得的取值范围是 故答案为： 例3．若命题为真命题，则的最大值为 . 【答案】9 【分析】由题意可得，进而结合二次函数的最值求解即可. 【详解】由题意，命题为真命题， 所以， 因为，所以当时，， 则，即， 所以的最大值为9. 故答案为：9. 例4．若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由“”为真命题可排除A，由“”为假命题可排除BD，即可得到结果. 【详解】若“”为真命题，则A错误， 又“”为假命题，则“”为真命题，则B,D错误， 则集合可以是. 故选：C 【即时演练】 1．设命题，不等式恒成立：命题． (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. （2）根据真假或假真，列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）对于命题，不等式恒成立， 当时，恒成立. 当时，则需，解得. 综上所述，的取值范围是. （2）由得， 所以，解得. 若真假，则“”且“或”，则. 若假真，则“或”且“”，则. 综上所述，的取值范围是或. 2．若命题“”是假命题，则的值可以为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定的真假性，对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】由题知是真命题， 当，即时，恒成立，时，不恒成立； 当时，，解得， 综上得. 故选：B. 3．若命题“”为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据存在性命题真假性可得，运算求解即可. 【详解】若命题“”为真命题， 则，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 实战训练 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合并集计算即可； 【详解】由题意可得， 故选：D. 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的含义即可. 【详解】由题意得. 故选：D. 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合，根据集合交集的概念与运算，可得. 故选：C. 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义计算可得； 【详解】集合，，则. 故选：C 5．设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 6．设集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】， 则. 故答案为：. 7．已知集合，则集合A的非空真子集有（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，得到集合，结合非空真子集的概念，即可求解. 【详解】由集合， 所以集合的非空真子集为：，，，，，，共有6个. 故选：B. 8． “为整数”是“为整数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由当为整数时，必为整数；当为整数时，不一定为整数；即可选出答案. 【详解】当为整数时，必为整数； 当为整数时，不一定为整数， 例如当时，. 所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 9．命题，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称存在量词命题的否定形式，直接求解. 【详解】全称存在命题的否定是存在量词命题，并且否定结论， 所以命题，的否定是，. 故选：A 10．已知命题：，，则命题的否定为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题的否定为，. 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$