精品解析：广东省汕头某校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学 命题时间：2024.10.14 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出该直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，故该直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 已知命题：直线与平行，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行满足的关系可得命题等价于或，结合充分不必要条件的判断即可求解. 详解】直线与平行，则 ，解得或，所以命题等价于或，命题． 则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件． 故选：A． 3. 已知三棱锥，点是棱的中点，点是的重心，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用重心的性质及空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 取的中点，连接, 因为点是的重心，所以, 所以 故选：A. 4. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理列出方程，代入坐标，得到方程组，解之即得. 【详解】由向量共面，有， 即， 故解得. 故选：A. 5. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若，，且，则的最小值为4 C. 若，则的最小值为 D. 函数的值域为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，直接求解分式不等式即可，对于B，由题意得，化简后利用基本不等式可求得其最小值，对于C，利用基本不等式判断，对于D，令，则，然后利用正弦函数的性质求其值域 【详解】选项A：，所以则或，故A正确； 选项B：，当且仅当时取得等号，故B正确； 选项C，，当且仅当时取得等号，而，从而上述不等式取不到等号，最小值要大于，故C错误； 选项D，可令，，则，，，，，故D正确． 故选：C． 6. 如图正方体的棱长为a，以下结论中，错误的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与垂直 C. 直线与平行 D. 直线与平行 【答案】C 【解析】 【分析】对A，根据直线再在三角形中判断即可； 对B，根据直线，结合正方体的性质判定即可； 对C，根据线面垂直的性质判断直线与垂直即可； 对D，根据平行四边形判断即可； 【详解】对A，正方体中，且，故平行四边形，故，易得正，故异面直线与所成角为直线与所成的角为，故A正确； 对B，因为正方形，故直线与垂直，又，故与垂直，故B正确； 对C，因为，平面，故，又平面，故平面，因为平面，故直线与垂直，故C错误； 对D，由A可知平行四边形，故，D正确； 故选：C 7. 在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，的长方体，求出其体对角线长即可求解作答. 【详解】三棱锥中，，，， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图， 设长方体的棱长分别为，，，则，，，则， 因此三棱锥外接球的直径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：A 8. 已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成的角的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由几何关系确定球心，再建立如图所示坐标系，然后分别求出及其模长，再代入向量的夹角公式，最后结合余弦函数的取值确定最小值即可. 【详解】设球的半径为，记正方形中心为， 因为为正方形，直线PQ经过球心，且平面． 所以过点且的中点为球心， 设球心为，以为原点，分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系， 设，， 则，，，， 所以，， 所以， 所以，， 又，即． 所以， 当且仅当时等号成立， 设直线所成的角为，则， 又，所以． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 下列结论不正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 直线恒过定点 D. 方程可以表示平面内所有过点的直线 【答案】BD 【解析】 【分析】求出横截距判断A；求出直线横纵截距的正负判断B；求出直线恒过的点判断C；由直线点斜式方程的意义判断D. 【详解】对于A，当时，，即直线在轴上的截距为1，A正确； 对于B，由，得直线的斜率，纵截距， 因此直线不经过第四象限，B错误； 对于C，直线，即恒过定点，C正确； 对于D，方程不能表示平面内过点垂直于的直线，D错误. 故选：BD 10. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合的平面的法向量分别是，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用线面平行的向量关系求解选项A；利用面面垂直的向量表示求解选项B；利用基底的概念求解选项C；利用空间四点共面的定理求解选项D. 【详解】对A，，所以或，A错误； 对B，，所以，B正确； 对C，利用反证法的思想， 假设三个向量共面，则， 所以， 若，则，则共线， 与是空间的一组基底矛盾； 若，则，则共面， 与是空间的一组基底矛盾； 所以假设不成立，即不共面， 所以也是空间的一组基底，C正确； 对D，因为P为平面ABC上的一点，所以四点共面， 则由共面定理以及可得， ，所以，D正确； 故选:BCD. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形的周长是 B. 曲线围成的图形有条对称轴 C. 若是曲线上任意一点，的最小值是 D. 曲线上的任意两点间的距离不超过 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆方程作出曲线图象，再由弧长公式，点到直线的距离公式对选项逐一判断， 【详解】当，时，曲线方程可化为，即， 是以为圆心，为半径的圆的一部分， 同理可作出其他象限内图象，如图所示， 对于A选项，曲线围成的图形的周长是，A对； 对于B选项，曲线围成的图形有条对称轴，分别是直线，，，，B错； 对于C选项，到直线的距离为， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值是，C对； 对于D选项，曲线上的任意两点间的距离最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于作出曲线的图形，结合图形逐一判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据向量平行的公式，计算未知数，然后求解即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得 所以16 故答案为：16 13. 在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，建立坐标系，运用向量的数量积公式，计算夹角余弦值，即可． 【详解】 结合题意，绘制图形，建立坐标系，得到点的坐标分别为： 故 ，所以 【点睛】本道题考查了向量数量积公式，考查了异面直线所成角余弦值计算方法，难度中等． 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】可得直线分别过定点和且垂直，可得设，则，,,则，利用正弦函数的性质求值域即可． 【详解】由题意可知，动直线，经过定点， 动直线即，经过定点， 时，动直线和动直线的斜率之积为， 时，也垂直， 所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， ， ． 设，则，， 由且，可得， ， ， ， ， ， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：因为，设，则，，则，即可求得的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两直线和的交点为． （1）若直线过点且与直线平行，求直线一般式方程； （2）若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）通过解二元一次方程组求解的坐标，再结合互相平行两直线方程的特征运用代入法进行求解即可； （2）根据圆的切线的性质，结合待定系数法进行求解即可. 【小问1详解】 联立方程组，解得， 所以直线和的交点． 因为直线与直线平行，故可设直线． 又直线过点，则，解得， 即直线的方程为． 【小问2详解】 设所求圆的标准方程为， 直线的斜率为，故直线CP的斜率为， 由题意可得，解得， 故所求圆的标准方程为． 16. 为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图. （1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数； （3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率. 【答案】（1）；（2）4人､6人､2人；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的各组的中间值进行计算求出平均值的估计值； （2）根据[4，6)，[6，8)，[8，10]的频率，求出此区间内的总人数，再根据需要取的样本总数，确定分层比例，即可求出结果； （3）利用列举法求出所有结果，根据古典概型即可求出结果． 【详解】解：（1）在[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]的概率分别为，，，， 则估计这组数据的平均数为. （2）由题意可知在中的总人数为人； 又采用分层抽样的方法抽取人，所以内抽取人； 所以内抽取人； 所以内抽取人； 所以在分别抽取4人､6人､2人， （3）由题图可知，答对题数在[4，6)中有6人，分别设为，，，，，， 答对题数在[2，4)中有3人，分别设为，，， 从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人的情况有 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 共有36种. 恰有1人答对题数在[2，4)内的情况有 ，，，，，，，，，，，，，，，，，， 共有18种. 故所求概率 17. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且． （1）求角A的大小； （2）若，求S的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、三角形面积公式变形给定等式，求出即可作答. （2）利用正弦定理把三角形面积表示为角C的函数，再利用正弦函数性质求解作答. 【小问1详解】 在锐角中，，由余弦定理， 得，即，又，， 因此，有，而，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 由正弦定理得：，即， 则 ， 又是锐角三角形，则有，即，亦即， 于是，， 所以S的取值范围是. 18. 如图，在直四棱柱中，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理算出，再用勾股定理可证得，结合，可证得平面； （2）建立适当的空间直角坐标系，算出两平面的法向量，继而利用公式算出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 连接． ∵在直四棱柱中平面，，平面， ∴，． ∵，，∴， ∵，∴，∴． ∵，平面，， ∴平面． 【小问2详解】 在直四棱柱中，⊥平面,， 可得,两两之间互相垂直. 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，， ∴，，． 设为平面的一个法向量，则 令，得． 设为平面的一个法向量，则 令，得． 设平面与平面的夹角为，且由图可得为锐角, 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. （1）试用来表示点和的坐标； （2）求的面积关于直线的斜率的函数关系式； （3）当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 【答案】（1）， （2） （3）当时，取最大值为 【解析】 【分析】（1）由直线与线段有公共点，可得的取值范围，联立直线可得交点坐标； （2）根据点到直线的距离及两点间距离可得三角形面积； （3）设，结合基本不等式可得最值. 【小问1详解】 如图所示， 设直线， 又直线与线段，均相交， 则， 直线方程为， 直线方程为， 联立，解得，即， 联立，解得，即； 【小问2详解】 又，又，则， 点到直线，即点到直线的距离， 所以的面积， 【小问3详解】 由（2）得， 设，即， 则， 又，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 即当时，取最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中考试 高二数学 命题时间：2024.10.14 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：直线与平行，命题，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知三棱锥，点是棱中点，点是的重心，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间中，若向量，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 下列说法错误的是（ ） A 若，则或 B. 若，，且，则的最小值为4 C. 若，则的最小值为 D. 函数的值域为 6. 如图正方体棱长为a，以下结论中，错误的是（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与垂直 C. 直线与平行 D. 直线与平行 7. 在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上，为正方形，若直线PQ经过球心，且平面.则异面直线所成角的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 下列结论不正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 直线恒过定点 D. 方程可以表示平面内所有过点直线 10. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 两个不重合的平面的法向量分别是，则 C. 若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 已知三棱锥，点P为平面ABC上的一点，且，则 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形的周长是 B. 曲线围成的图形有条对称轴 C. 若是曲线上任意一点，的最小值是 D. 曲线上的任意两点间的距离不超过 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则_______． 13. 在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知两直线和的交点为． （1）若直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程； （2）若圆过点且与相切于点，求圆的标准方程． 16. 为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图. （1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； （2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数； （3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率. 17. 在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且． （1）求角A的大小； （2）若，求S的取值范围． 18. 如图，在直四棱柱中，，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. （1）试用来表示点和的坐标； （2）求的面积关于直线的斜率的函数关系式； （3）当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$