精品解析：浙江省宁波市鄞州区十二校2024-2025学年八年级上学期11月期中联考数学试题

2024学年第一学期八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 2023年第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事，以下是某运会会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是(　　) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若，则下列不等式不一定成立是（ ） A. B. C. D. 4. 能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点P，连结，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3．请根据上述定义解决问题：若关于x不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 ( ) A. -8≤m<-5 B. -8<m≤-5 C. -8≤m≤-5 D. -8<m<-5 10. 如图，清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以和为边，按如图所示的方式作正方形、和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “x2倍与y的和是正数”用不等式可表示为______． 12. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 13. 等腰三角形中，则的度数是________________． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为_______________尺． 15. 已知，且，，若，则m的取值范围是______． 16. 一副三角板如图叠放，，，互相平分于点O，点F在边上，边交于点H，边交于点G． （1）_____； （2）若，则_____（用含a的代数式表示）． 三、解答题（第17、18、22题各6分，第19、20、21题各8分，第23题10分，共52分） 17. 计算: （1）解不等式，并写出满足该不等式的负整数解． （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18. 如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形（图1，图2，图3中所作的图形不全等）． 19. 已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，，求的长． 20. 已知：如图，在四边形中，，点是中点，连接、、，且． （1）求证：． （2）若，求证：是等边三角形． 21. 2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍． （1）该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？ （2）机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？ 22. 如图1是有两个外开式活动门扇双开入户铜门．门槛长为，，分别为左右门扇的底部门宽，且，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛，因门的遮挡，在门槛上留下三线段、、，只有线段晒到太阳，且，求此时C、D间的距离． 23. 如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． （3）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期八年级（上）期中数学试卷 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 2023年第19届亚运会是一场规模盛大的体育盛事，以下是某运会会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义“一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，逐项判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 2. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是(　　) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：通过验证两短边和大于最大边，即可进行判断． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； B、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； C、，符合三角形三边关系，故能构成三角形； D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形； 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 3. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，不等式一定成立，不符合题意； B、，不等式一定成立，不符合题意； C、，则，不等式一定成立，不符合题意； D、若，则；若，则，不等式不一定成立，符合题意； 故选：D． 4. 能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了命题与定理，直接把已知数据代入各个选项进而判断得出答案． 【详解】解：A、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，； B、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，； C、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例不可以为：，； D、∵当，时， ，， 故“若，则”是假命题的反例可以为：，； 故选：D． 5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，结合判定全等的方法添加条件即可．解题的关键是掌握：判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：A．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； B．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； C．添加，根据，能判定，故此选项不符合题意； D．添加，不能判定，故此选项符合题意． 故选：D． 6. 下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、设，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，则 ，可得是直角三角形，故本选项不符合题意； C、因为，所以，因为，则，可得是直角三角形，故本选项不符合题意； D、设 ，则 ，解得： ，所以 ，即不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 7. 在中，，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点P，连结，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角．根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得出，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：在中，，， 则， 根据线段垂直平分线的性质，得， ， ， 故选：C． 8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP=CD解决问题； 【详解】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小． 由作图可知：AE平分∠BAC， ∵∠C=90°， ∴DC⊥AC， ∵DP⊥AB， ∴DP=CD=5， ∴PD的最小值为5， 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题． 9. 对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q＝p-q＋pq，例如2@3＝2-3＋2×3．请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围为是 ( ) A. -8≤m<-5 B. -8<m≤-5 C. -8≤m≤-5 D. -8<m<-5 【答案】B 【解析】 【分析】利用题中的新定义得到不等式组，然后解不等式组，根据不等式组有3个整数解，确定出m的范围即可． 【详解】解：根据题中的新定义得到不等式组： ， 解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是≤x＜2， ∵不等式组有3个整数解，即整数解为﹣1，0，1， ∴﹣2＜≤﹣1， 解得：﹣8＜m≤﹣5． 故选：B． 【点睛】此题考查了新定义下的实数运算、解一元一次不等式组、求一元一次不等式组的整数解等知识，弄清题中的新定义是解本题的关键． 10. 如图，清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，分别以和为边，按如图所示的方式作正方形、和，与交于点，与交于点．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式，正确找出全等三角形是解题关键．设，，证明，得到，，再证明，得到，进而得出，再结合四边形的面积，得出，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 正方形、和， ，，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形和的面积和为5， 四边形和的面积和为5， ， ， ， 四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12， 正方形和四边形的面积和为， ， ， ， ， （负值舍去）， 的值为， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. “x的2倍与y的和是正数”用不等式可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，是解题的关键． 关系式为：x的2倍，把相关数值代入即可． 【详解】解：根据题意，可列不等式为：， 故答案为：． 12. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题． 故答案为：真． 13. 等腰三角形中，则度数是________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①是顶角；②是底角，③是底角，利用三角形的内角和进行求解． 【详解】解：等腰三角形中， ①当是顶角， ； ②是底角， 有； ③是底角， 有， 综上所述，的度数是或或， 故答案为：或或． 14. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千静止时踏板离地面的距离为1尺，将它往前面推送两步（即的长为10尺），秋千的踏板就和人一样高，知这个人的身高为5尺，则绳索的长度为_______________尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点B作于H，先判断四边形是矩形，则可得，，，设，在中，根据勾股定理构造关于x的方程，然后求解即可． 【详解】解∶过点B作于H， 根据题意得，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得， 即长为尺． 故答案：． 15. 已知，且，，若，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据题意得出，进而推出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∴ 故答案为： 16. 一副三角板如图叠放，，，互相平分于点O，点F在边上，边交于点H，边交于点G． （1）_____； （2）若，则_____（用含a的代数式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对应的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）连接，推出，，进而得到，得到，利用互余关系，求出即可； （2）利用含30度的直角三角形的性质得到，证明为等腰三角形，进而得到，求出的长，证明为等腰三角形，得到即可． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴， ∴， ∵互相平分于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（第17、18、22题各6分，第19、20、21题各8分，第23题10分，共52分） 17. 计算: （1）解不等式，并写出满足该不等式负整数解． （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1），、； （2），数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），掌握不等式的解法，以及不等式组解集的确定方法是解题关键． （1）先解不等式，再写出满足该不等式的负整数解即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：， ， 满足该不等式的负整数解为、； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 18. 如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形（图1，图2，图3中所作的图形不全等）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】解：如下图即为所求作 19. 已知：如图，在中，于点D，E是上一点，连结交点于点F，，． （1）求证：． （2）求证：． （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理． （1）利用证明，即可； （2）利用，得，从而证得，即可得出结论； （3）利用得，从而求得，利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴． 20. 已知：如图，在四边形中，，点是中点，连接、、，且． （1）求证：． （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再根据等边对等角的性质和三角形外角的性质，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵是斜边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：在和中，点是中点， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定等知识，掌握相关知识点是解题关键． 21. 2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍． （1）该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？ （2）机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？ 【答案】（1）最多购买台A型号机器人； （2）有两种方案：A型号台、B型号台或A型号台、B型号台． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，能根据题中不等关系列出不等式是解题的关键， （1）设该垃圾处理厂购买台型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的倍”列出不等式求解即可； （2）根据“总费用不超过万元”列出不等式，结合（1）中不等式的解和为整数，即可得出共有两种方案． 【小问1详解】 解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则 ， ∴， 答：最多购买台型号机器人． 【小问2详解】 解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则 ， ∴， ，又是整数， ∴或， 当A型号为台时、B型号为台；当A型号为台时、B型号为台， 答：共有2种方案，A型号台、B型号台；A型号台、B型号台． 22. 如图1是有两个外开式活动门扇的双开入户铜门．门槛长为，，分别为左右门扇的底部门宽，且，关上门时，C与D重合．阳光明媚的某天，将两扇门向外开到如图2的位置（平面示意图），这时阳光正好垂直照射向门槛，因门的遮挡，在门槛上留下三线段、、，只有线段晒到太阳，且，求此时C、D间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，和勾股定理，熟练掌握比例的性质和勾股定理是关键．根据比例得到，，，，，再结合勾股定理和矩形的判定和性质得到，，进而得到，即可解题． 【详解】解： ，， ， 同理，， ， ， 作于点， 由题知，，， 四边形为矩形， ， ， ． 23. 如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由． （3）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）等腰三角形，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定与性质、直角三角形的分类讨论． （1）利用等腰三角形性质证明即可； （2）利用同角的余角相等证明，再证明即可； （3）分类讨论或即可． 【小问1详解】 证明：是边上的中线 又 是等腰直角三角形； 【小问2详解】 是等腰三角形，理由： 是边上的中线 是等腰直角三角形 ，即 是等腰三角形； 【小问3详解】 解：①当时， 在和中 设，则 ，解得，即； ②当时， 作，同理可证 设，则 ，解得 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$