专题26.6 反比例函数与一次函数综合（8大题型）（题型梳理与分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.6 反比例函数与一次函数综合（8大题型）（题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】一次函数和反比例函数的图象综合.....................................1 【题型2】一次函数和反比例函数交点问题.......................................1 【题型3】一次函数和反比例函数平移（行）综合.................................2 【题型4】一次函数和反比例函数几何综合.......................................4 【题型5】一次函数和反比例函数动点问题.......................................5 【题型6】一次函数和反比例函数实际应用..........................................6 【题型7】直通中考...........................................................7 【题型8】拓展延伸...........................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一次函数和反比例函数的图象综合 【例1】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（   ） A． B． C． D． 【变式】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）反比例函数， 当时，y随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（   ） A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限 C．第一，三，四象限 D．第二，三，四象限 【题型2】一次函数和反比例函数交点问题 【例2】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知，一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，的取值范围是 ． 【变式2】（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型3】一次函数和反比例函数平移（行）综合 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，直线反比例函数图象交于点，交y轴于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，将沿射线方向平移，平移后A、O、B的对应点分别为，，，当点恰好落在反比例函数的图象上时，求点的坐标； (3)设，过P作x轴的平行线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求n的取值范围． 【变式1】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于．将直线向下平移个单位得直线，直线交反比例函数的图象于点，连接，，，若的面积为，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【变式2】（2023·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】（2022·山东青岛·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点，的面积是．若将直线向左平移 个单位，则所得直线与双曲线的交点只有一个． 【题型4】一次函数和反比例函数几何综合 【例4】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【变式1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，矩形的边在x轴的正半轴上，C，D在第一象限内，，，直线经过点交轴于点，双曲线经过点，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式2】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 【题型5】一次函数和反比例函数动点问题 【例5】（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 【变式1】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【变式2】（19-20九年级上·四川达州·期末）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当达到最大时，点的坐标是 ． 【题型6】一次函数和反比例函数实际应用 【例6】（2024·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【变式1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【变式2】（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 第三部分【题型展示与方法点拨】 【题型7】直通中考 【例7】（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．   (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【题型8】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【题型8】拓展延伸 【例9】（2021·广东深圳·三模）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝（x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S△BOC＝；③S△CDF＝S△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（　　）    A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【例10】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为 ；②当平分时，正方形的面积为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.6 反比例函数与一次函数综合（8大题型）（题型梳理与分类讲解） 第一部分【题型目录】 【题型1】一次函数和反比例函数的图象综合.....................................1 【题型2】一次函数和反比例函数交点问题.......................................2 【题型3】一次函数和反比例函数平移（行）综合.................................4 【题型4】一次函数和反比例函数几何综合......................................10 【题型5】一次函数和反比例函数动点问题......................................15 【题型6】一次函数和反比例函数实际应用.........................................19 【题型7】直通中考..........................................................22 【题型8】拓展延伸..........................................................27 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】一次函数和反比例函数的图象综合 【例1】（24-25九年级上·湖南郴州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限． 根据一次函数和反比例函数的特点，，所以分和两种情况讨论．当两函数系数取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案． 解：分两种情况讨论： ①当时，与轴的交点在正半轴，过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；A、B、C、D选项都不符合题意； ②当时，与轴的交点在正半轴，过第一、二、三象限，反比例函数的图象在第二四象限，A、B、C选项都不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 【变式】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）反比例函数， 当时，y随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（   ） A．第一，二，三象限 B．第一，二，四象限 C．第一，三，四象限 D．第二，三，四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的性质和反比例函数的性质．由反比例函数的性质可判断k的符号，再根据一次函数的性质即可判断一次函数的图象经过的象限． 解：反比例函数， 当时，y随x的增大而增大， ， ， 则一次函数的图象经过第一，二，四象限， 故选：B． 【题型2】一次函数和反比例函数交点问题 【例2】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知一次函数与反比例函在同一直角坐标系中的图象如图所示，当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数，巧用数形结合的思想是解题的关键． 利用数形结合的思想即可解决问题． 解：根据所给的函数图象可知， 图象在直线右侧，且在轴左侧的部分， 一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 即， 图象在直线右侧的部分， 一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 即． 所以当或时，． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知，一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，用图解法解不等式． 即直线位于双曲线下方部分，根据图象即可得到答案． 解：∵一次函数与反比例函数交于点，， 即直线位于双曲线下方部分， ∴根据图象可知此时或． 故答案为：或． 【变式2】（2024·湖北武汉·模拟预测）通过构造恰当的图形，可以直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．请利用直角坐标系构造恰当的图形，判断不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解． 解：∵， ∴ 函数的图象和函数图象如下： 由图象可知，不等式的解集是或， 故选：B． 【题型3】一次函数和反比例函数平移（行）综合 【例3】（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，直线反比例函数图象交于点，交y轴于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，将沿射线方向平移，平移后A、O、B的对应点分别为，，，当点恰好落在反比例函数的图象上时，求点的坐标； (3)设，过P作x轴的平行线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)；(3) 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出k值，即可求反比例函数的解析式； （2）由直线的解析式可得出直线的解析式为，联立直线及反比例函数解析式成方程组，通过解方程组即可得出点的坐标（取正值）； （3）先分别求出在与两个函数中，当时，的值，再分当点P纵坐标点A纵坐标时，即时，与当点P纵坐标点A纵坐标时，即时，两种情况，分别求出不等关系，即可求解． 解：（1）∵直线过点， ∴ ∴点的坐标为， 将代入， ∴， ∴； （2）如图所示， ∵沿射线方向平移，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立直线及反比例函数解析式，得：， 解得：，（舍去） ∴点的坐标为； （3）如图，过作平行于轴的直线如图所示： 在函数中，当时，； 在函数中，当时，； 当点P纵坐标点A纵坐标时，即时， ，即， 令， ， 经检验：，都是原方程的根，不合题意，舍去， 结合函数图像可得：； 当点P纵坐标点A纵坐标时，即时， ，即，同理可得：． 综上所述，． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、解一元二次不等式以及反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法，求出m，k的值；（2）联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点O'的坐标；（3）由的范围，找出关于n的一元二次不等式． 【变式1】（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）如图，直线交轴于点，交反比例函数的图象于．将直线向下平移个单位得直线，直线交反比例函数的图象于点，连接，，，若的面积为，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线交轴于点，连接，设点的坐标为，根据，可求得点的坐标，进而可求得答案． 解：如图所示，设直线交轴于点，连接，设点的坐标为．      根据平移的性质可知，， ∴． ∴． ∴． ∴点的坐标为． 因为直线的图象过点， 所以， 解得．故选：D． 【点拨】本题主要考查图形平移的性质、一次函数和反比例函数的图象和性质，牢记图形平移的性质（一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等）是解题的关键． 【变式2】（2023·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度，交轴于点，交反比例函数图象于点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解析式联立，解方程求得的横坐标，根据定义求得的纵坐标，把纵坐标代入反比例函数的解析式求得的坐标，代入即可求得的值． 解：直线与反比例函数的图象交于点， 解得， 或， ， ， 的纵坐标为， 把代入得，， ， 将直线沿轴向上平移个单位长度，得到直线， 把的坐标代入得，求得， 故选：D． 【点拨】本题考查了函数图象平移以及反比例函数与一次函数的交点问题，掌握平移规律，求得交点的坐标是解题的关键． 【变式3】（2022·山东青岛·模拟预测）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点，的面积是．若将直线向左平移 个单位，则所得直线与双曲线的交点只有一个． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式．过点作轴于点，根据一次函数图象上点的坐标特征以及的面积是即可得出的长度，进而可找出点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式，然后解析式联立，利用根的判别式即可求得． 解：过点作轴于点，如图所示． 令直线中，则，解得：， 即． 的面积是， ， 解得：． 点的纵坐标为1， 当时，有， 解得：， 点的坐标为， ， 即双曲线解析式为． 设将直线向左平移个单位得到的直线的解析式为， 联立得，整理得， 依题意得， 解得（舍去）或， 将直线向左平移1个单位，则所得直线与双曲线的交点只有一个． 故答案为：1． 【题型4】一次函数和反比例函数几何综合 【例4】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数y与反比例函数y的表达式； (2)点Q为y轴上一动点，求当取得最小值时点Q的坐标； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数为，反比例函数的解析式为； (2)；(3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形的面积的计算、轴对称的性质、最短路径问题等知识点，灵活运用待定系数法求函数的解析式及数形结合是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q，然后运用待定系数法求得直线的解析式，再令，即可求得点Q的坐标； （3）先求得D的坐标，然后根据求得的面积，即可求得，根据中心对称的性质得出，即可得到，从而得到可求得，即可求得P的坐标． 解：（1）将代入可得：，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得： ，解得：， ∴一次函数为． （2）如图：作点关于y轴的对称点，则，连接与y轴的交点即为点Q， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴， 当时，，即． （3）如图：由题意可知：， ∴， 把代入得，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ∴，解得：， ∴或． 【变式1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，矩形的边在x轴的正半轴上，C，D在第一象限内，，，直线经过点交轴于点，双曲线经过点，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征．由一次函数图象上点的坐标特征求得点的坐标，根据矩形的性质易求点的坐标，再把点的坐标代入双曲线解析式即可求得的值． 解：解：根据矩形的性质知点的纵坐标是， 直线经过点， ， 解得，， 即点的坐标是． 矩形在第一象限，在轴正半轴上，，， ， 双曲线经过点， ，即的值为1．故选：C． 【变式2】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，，过原点作的平行线，交反比例函数的图象于点，连结交轴于点，连结．若，则的值为 ，四边形的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，关键是掌握反比例函数的性质和待定系数法求函数解析式． 设点坐标为，，然后根据已知条件求出点坐标，用待定那个系数法求直线的解析式，再根据求出直线解析式，然后解方程组求出点坐标，求出点坐标，然后把，，坐标代入直线解析式，从而求出的值，再根据面积公式求面积． 解：解：设点坐标为，， ，点在轴上， ， 设的表达式为， 代入，得， 解得， 的表达式为， ， 的表达式为， 联立方程组， 解得， ，， ， 点，， 设直线的表达式为，代入，得：， 把点坐标代入得：， ， 解得， 点所在反比例函数解析式为， 则． 故答案为：，． 【题型5】一次函数和反比例函数动点问题 【例5】（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点． (1)试求反比例函数与正比例函数的函数表达式及点的坐标． (2)请直接写出的解集． (3)现把的图象绕点顺时针旋转得到了．试问在函数图象上是否存在一动点，使是以为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点的坐标；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为；正比例函数表达式为；; (2)或 (3)存在，或. 【分析】（1）利用待定系数法确定即可得到表达式，再联立方程组求解即可得到答案； （2）的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合求解即可得答案； （3）由旋转性质，结合直线性质得到，根据点的对称性及中垂线的判定与性质得到，若使是以为底边的等腰三角形，则，结合含的直角三角形性质得到线段，最后由两点之间距离公式列方程求解即可得到答案． 解：（1）解：反比例函数图象与正比例函数图象相交于点， ，即反比例函数表达式为； ，即正比例函数表达式为； 反比例函数图象与正比例函数图象相交于点与点， 联立，解得或，即； （2）解：的解集是指反比例函数图象在正比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，如图所示： 、， 当或时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即的解集是或 （3）解：如图所示： 把的图象绕点顺时针旋转得到了， 直线垂直直线， 与关于原点对称， 直线是线段的垂直平分线， 当在直线上时，由垂直平分线性质可得， 若使是以为底边的等腰三角形，则， 此时是等边三角形， 在中，，，则，由勾股定理可得， 设，则，解得或， 或． 【点拨】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、直线与双曲线的交点、利用图象法解不等式、函数与特殊三角形、中垂线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理、两点之间距离公式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图象与性质、灵活运用相关几何性质是解决问题的关键． 【变式1】（22-23八年级下·江苏连云港·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，点是线段上一动点，过点作轴，轴，垂足分别是点、，，若双曲线经过点，则的值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线求出，的长，设出，，由得出，的长，进而得出结论． 解：对于，当时，；当时，， ， ， 设， 轴，轴， ∴四边形是矩形， ， ， 解得： 经检验，是原方程的根， ∵点在反比例函数的图象上， ，即， 故选：A． 【点拨】本题考查了反比例函数综合及矩形的判定及性质，用到的知识点是待定系数法求函数的解析式等，难度适中，正确求得C的坐标是关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式2】（19-20九年级上·四川达州·期末）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当达到最大时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可． 解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数得：y1＝2，y2＝1， ∴A（1，2），B（2，1）， ∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB， ∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB， 即此时线段AP与线段BP之差达到最大， 设直线AB的解析式是y＝kx+b， 把A、B的坐标代入得：， 解得：k＝﹣1，b＝3， ∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3， 当y＝0时，x＝3， 即P（3，0）． 故答案为（3，0）． 【点拨】本题主要考查了反比例函数的综合题的知识，熟练掌握三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式，解此题的关键是确定P点的位置． 【题型6】一次函数和反比例函数实际应用 【例6】（2024·辽宁铁岭·二模）小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温20℃），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，饮水机内水的温度约为多少℃？并求：在这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】(1); (2); (3)饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃. 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 解：（1）解：设将、代入得 解得 水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：依据题意，得： 即， 故， 当时， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每40分钟图象重复出现一次， 到经历286分钟，， 当时， 答：饮水机内水温约为80℃，共有7次达到100℃． 【变式1】（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点拨】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 【变式2】（2024·广东深圳·二模）如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出． 解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴与之间的反比例函数为， 当时，, ∵，， ∴， 把代入得， 解得． 故答案为： 第三部分【题型展示与方法点拨】 【题型7】直通中考 【例7】（2024·山东济南·中考真题）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点A重合）的一点．   (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的垂线与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； (3)如图2，将点A绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)点． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点作轴，过点作于点，过点作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 解：（1）解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， （2）解：如图，设点，那么点，    由可得， 所以， 解得（舍）， ; （3）解：如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点，   ， 点绕点顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 【题型8】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)若点P是y轴上一动点，连接．当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数表达式为; (2); (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数上，可得的值，进而求出反比例函数，再将代入求出的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）依据题意，设直线交轴于点，交轴于点，由直线为，可得，故，再由，进而计算可以得解； （３）依据题意，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长，结合)与关于轴对称，故为，又，可得直线为，再令，则，进而可以得解． 解：（1）解：由题意，∵在反比例函数上， ∴． ∴反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ∴． ∴． 设一次函数表达式为， ∴， ∴，． ∴一次函数的表达式为． （2）解：由题意，如图，设直线l交x轴于点A，交y轴于点B， 又直线l为， ∴，． ∴，， ∴； （3）解：由题意，如图，作点M关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则的最小值等于的长． ∵与关于y轴对称， ∴为． 又，设的解析式为， 则，解得， ∴直线为． 令，则． ∴． 【题型8】拓展延伸 【例9】（2021·广东深圳·三模）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有动点A，连接OA，y＝（x＞0）的图象经过OA的中点B，过点B作BC∥x轴交函数y＝的图象于点C，过点C作CE∥y轴交函数y＝的图象于点D，交x轴点E，连接AC，OC，BD，OC与BD交于点F．下列结论：①k＝1；②S△BOC＝；③S△CDF＝S△AOC；④若BD＝AO，则∠AOC＝2∠COE．其中正确的是（　　）    A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为，， 的图象经过点， ，故①正确； 过点作轴交函数的图象于点， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②正确； 如图，过点作轴于．          ，，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴点， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由，解得， ，， ， ， ， ，故③正确； ，，，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 故选：D． 【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标． 【例10】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、C恰好落在双曲线上，且点O在上，交x轴于点E．①当A点坐标为时，D点的坐标为 ；②当平分时，正方形的面积为 ．    【答案】 12 【分析】①先求解，如图，连接，过作轴于，过作轴于，证明，可得，从而可得答案； ∴； ②设，同理可得：，求解直线为，可得，求解，，如图，过作于，证明，可得，可得，而，求解，，从而可得答案． 故答案为：， 解：①∵在上， ∴，即， 如图，连接，过作轴于，过作轴于，    ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， 同理可得：， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 当时，则， 解得：，即， ∴， ， 如图，过作于，    ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理可得：， ∴，而， ∴，， ∴正方形的面积． 故答案为：， 【点拨】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，反比例函数的应用，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，角平分线的性质，本题难度较大，属于压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$