精品解析：江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

南昌十九中2024--2025学年上学期期中考试高二数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 2. 已知空间直角坐标系中有一点，点 是平面内的直线上的动点，则，两点间的最短距离是（ ） A. B. C. D. 3. 若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或. D. 或 4. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 若，则直线在轴和轴上的截距相等 D. 若直线不经过第二象限，则 10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于坐标原点对称 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 四叶草曲线所围的区域面积大于 D. 四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 11. 在平面直角坐标系中，动点的轨迹为曲线C，且动点到两个定点的距离之积等于3．则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C的方程为 C. 面积的最大值 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 13. 已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为______． 14. 设抛物线的焦点为F，若：与抛物线有四个不同的交点，记y轴同侧的两个交点为A，B，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，由半柱圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心． （1）求的方程； （2）若点分别在上运动，点，求的最大值，并求出此时点的坐标. 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上． （1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 17. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 18. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． （1）求E的方程； （2）若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 19. 已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． （1）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程； （2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十九中2024--2025学年上学期期中考试高二数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知点与点关于轴对称，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中坐标关于轴对称性质求解即可. 【详解】依题意，点关于轴的对称点. 故选：A. 2. 已知空间直角坐标系中有一点，点 是平面内的直线上的动点，则，两点间的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据空间中两点间的距离公式，将两点间距离的最小值，转化为二次函数的最小值问题； 【详解】点是平面内的直线上的动点， 可设点，由空间两点之间的距离公式， 得， 令， 当时，的最小值为， 所以当时，的最小值为，即两点的最短距离是， 故选：B. 【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力. 3. 若圆上存在两个点到直线的距离为，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. 或. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为距离距离为的直线与圆有且只有两个交点. 【详解】由两平行直线距离公式可知，与相距的直线为与. 又的圆心为，半径为，与相距. 则与中一条直线与圆相交，另一条与圆相离. 即一条直线到距离小于，另一条直线到距离大于. 则或或. 故选：C 4. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系（ ） A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆相切计算与圆心距离即可得答案. 【详解】因与圆相切，则. 则到圆心的距离为，则在圆外. 故选：B 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于另一点，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出各点坐标，利用点差法得到斜率的表达式，化简即可得到离心率的值. 【详解】直线经过原点，设，，. . 又，，两式相减，得. ，.离心率为. 故选：B. 6. 已知是双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，过点作轴，求得，代入双曲线方程求解. 【详解】如图所示： 因为为等腰三角形，且顶角为， 所以，过点作轴，垂足为， 在中，则，故， 代入双曲线方程得，解得，即， 所以，解得. 故选：D 7. 已知抛物线上的点到原点的距离为，焦点为F，准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到原点的距离为求出抛物线方程，再设点坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解. 【详解】因为点到原点的距离为， 所以，解得，（负值舍）， 将点代入抛物线方程，得，所以， 所以. 由于抛物线关于轴对称，不妨设， 因为，， 所以为等腰三角形，， 所以， 所以， 解得或(舍)， 所以. 故选：D. 8. 函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得双曲线夹角为，再结合二倍角的正切公式求出，即可得解. 【详解】因为直线和直线的夹角为， 由题意可得双曲线夹角为， 而双曲线的渐近线方程为， 所以， 则，解得（负值舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 若，则直线的倾斜角为 B. 直线过定点 C. 若，则直线在轴和轴上的截距相等 D. 若直线不经过第二象限，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线方程与直线倾斜角、直线过定点、直线截距、直线斜率变换关系，逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，若，则直线，所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，，所以，则直线过定点，故B正确； 对于C，若，则直线，令得，令得，所以则直线在轴和轴上的截距相等均为，故C正确； 对于D，若，则直线，此时直线不过第二象限， 又直线过定点，要使得直线不过第二象限，则，解得，所以若直线不经过第二象限，则，故D错误. 故选：ABC. 10. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于坐标原点对称 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 四叶草曲线所围的区域面积大于 D. 四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AB 【解析】 【分析】由点在上，点亦在上，即可得A；借助基本不等式计算，结合两点间距离公式可得B；由B知曲线在圆内部，计算出该圆面积即可得C；由B知、的取值范围，即可得D. 【详解】对A：若点在上，则亦在上， 故曲线关于坐标原点对称，故A正确； 对B：若，，， 则，即，当且仅当时等号成立， 故曲线上的点到原点的最大距离为，故B正确； 对C：由B知，故曲线在圆内部， 圆的面积为， 故叶草曲线所围的区域面积不大于，故C错误； 对D：由B知，则，， 则当、为整数时，只有、，此时满足曲线， 故四叶草曲线只经过1个整点，故D错误. 故选：AB. 11. 在平面直角坐标系中，动点的轨迹为曲线C，且动点到两个定点的距离之积等于3．则下列结论正确的是（ ） A. 曲线C关于y轴对称 B. 曲线C的方程为 C. 面积的最大值 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的信息，列式求出曲线C的方程，再逐项分析判断即可. 【详解】对于B，依题意，，整理得， 因此曲线C的方程为，B正确； 对于A，方程中的换成方程不变，因此曲线C关于轴对称，A正确； 对于C，显然，则，解得：， 令，则，即， 的面积，C错误； 对于D，，因此的取值范围为，D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，①如果，则曲线C关于y轴对称；②如果，则曲线C关于x轴对称；③如果，则曲线C关于原点对称. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线与直线有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，根据点到直线的距离公式与数形结合的思想计算即可求解. 【详解】由可得， 即曲线表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分， 画出图形，可得当直线经过点时，， 当直线与曲线相切时，由圆心到直线的距离可得，由图可得， 所以要使直线与曲线有两个公共点，则. 故选：C. 故答案为： 13. 已知椭圆：，则过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设出直线方程，直曲联立得出一元二次方程，利用韦达定理即可求出长度 【详解】根据题意知过点且斜率为的直线的方程是． 设此直线与椭圆的交点为，． 联立直线方程和椭圆方程，得消去，化简得， 故，． 所以 ． 故答案为：． 14. 设抛物线的焦点为F，若：与抛物线有四个不同的交点，记y轴同侧的两个交点为A，B，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】联立抛物线与圆的方程，消元后得到关于的一元二次方程，由于有四个交点，结合韦达定理得的取值范围，再根据抛物线定义得关于的关系式，即可得取值范围. 【详解】解：由题可得，如图：不妨设在轴右侧 将方程与抛物线方程联立： ，得， 设，在轴同侧，不妨设 则由与抛物线有四个不同的交点可得有两个不等的正根，得： ，即， 由抛物线定义可得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，由半柱圆和两个半圆、组成曲线，其中点依次为的左、右顶点，点为的下顶点，点依次为的左、右焦点．若点分别为曲线的圆心． （1）求的方程； （2）若点分别在上运动，点，求的最大值，并求出此时点的坐标. 【答案】（1） （2），此时、. 【解析】 【分析】（1）由圆心的横坐标确定的值，再用可得方程； （2）运用圆外定点到圆上的点的距离最大值为到圆心的距离加半径可得当三点共线，同时三点共线，最大，结合圆的性质即可得解. 【小问1详解】 依题意，，所以， 于是的方程为； 【小问2详解】 ， 当三点共线，同时三点共线，有，、 由，，则此时， 故，， 则，同理可得. 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上． （1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求圆C的方程，结合切线性质求切线方程，注意讨论切线的斜率是否存在； （2）根据题意可知点M的轨迹方程为，结合两圆的位置关系分析求解. 【小问1详解】 根据题意，圆心C在直线上，也在直线上， 联立方程，解得，即， 所以圆． 当切线斜率存在时，过点A的切线方程可设为，即， 则，所以切线方程． 当切线斜率不存在时，直线也与圆相切； 综上所述：所求切线直线方程为或． 【小问2详解】 设点，， 因为，则， 即点M的轨迹方程为， 又点M在圆C上，所以， 若存在这样的点M，则与有公共点， 即两圆的圆心距d满足，即， 解得或， 所以圆心C的横坐标a的取值范围为. 17. 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值. 【答案】（1） （2） ，当直线与轴重合时，的方程为， 此时不妨令，则； 当直线与轴不重合时，的方程可设为， 由，得， 设，则， 综上，为定值4. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，结合平行四边形的判定定理、三角形面积公式进行求解即可； （2）根据直线的斜率是否为零，结合一元二次方程根与系数关系分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，因为， 所以四边形为平行四边形，其面积设为，则 ，所以， 所以， 又， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据直线所过点的特征进行恰当选择直线方程. 18. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． （1）求E的方程； （2）若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可； （2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得，代入中化简即可得出最值. 【小问1详解】 设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. 【小问2详解】 如图， 由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 19. 已知抛物线的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”． （1）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为2，求直线的方程； （2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于2． 【答案】（1） （2）证明：设直线的方程为，与联立得， ，所以， 所以． 由（1）知，所以， 即点A的坐标为． 又点A在抛物线上，所以，所以， 又，所以，所以点A的横坐标， 同理可证，B，C两点的横坐标也小于2． 所以三个顶点的横坐标均小于2． 【解析】 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据及得到点C的坐标为，代入抛物线方程，求出，得到直线方程； （2）设直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A的坐标为，代入抛物线方程，得到，由根的判别式得到，所以，所以点A的横坐标，同理可证另两个顶点横坐标也小于2. 【小问1详解】 设直线的方程为，与联立得， 由得， 设，则， 所以， 由题意知， 因为， 所以， 所以，故 即点C的坐标为，代入抛物线E的方程得：，解得， 满足条件， 所以直线的方程为． 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $