专题6.3对数函数（15题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

专题6.3对数函数 知识点一 对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 知识点二 对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点三 反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 知识点四 几个结论 1.在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． 2.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”． (1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”； (2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”． 题型一 对数函数的判断与求值 解题技巧提炼 对数函数的解析式同时满足： ①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义，即可判断. 【详解】①不是对数函数，因为的底数是自变量，不是常数； ②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数； ④是对数函数． 故选：A 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【答案】B 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】利用对数函数的定义求解． 【详解】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）若，则 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、求分段函数值 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为， 所以，， 所以. 故答案为： 题型二 求对数函数的解析式 解题技巧提炼 待定系数法． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、求对数函数的解析式 【分析】设对数函数解析式求参即可. 【详解】设对数函数为, 代入可得, 所以, 则对数函数的解析式为. 故选：C. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高一·上海·课堂例题）若对数函数（且）的图象经过点，求此对数函数的表达式. 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、求对数函数的解析式 【分析】利用待定系数法，结合指对数的互化即可得解. 【详解】将点的坐标代入，得， 所以，解得， 因为且，所以， 所以该对数函数的表达式为. 题型三 根据对数函数求参数 解题技巧提炼 1.对含参问题的讨论可通过构造函数或方程，利用函数与方程知识综合解决． 2.根据图象和性质，布列关于参数的方程，解方程即得． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）设（且），若图象经过和，则 ． 【答案】/ 【知识点】求对数函数的解析式、对数的运算性质的应用 【分析】由题意可得关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为，所以． 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 【答案】3 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】由题意可得，且，且，从而可求出的值. 【详解】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 题型四 对数（型）函数图象的辨识 解题技巧提炼 识图的三种常用方法 （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． (4)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． 9．（21-22高一上·陕西渭南·期中）若，且函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断对数型函数的图象形状 【分析】根据对数函数的性质可得，再根据函数图像平移判断即可. 【详解】因为，且，故，故为减函数，且过， 又的图像为的图像向右平移1个单位，则A满足. 故选：A 10．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图像的识别、判断对数型函数的图象形状 【分析】计算出时，，可排除A、B、D． 【详解】令，则，所以， ，故可排除A、B、D． 故选：C． 11．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断指数型复合函数的单调性、判断对数型函数的图象形状、对数型复合函数的单调性 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 12．（2013高一·全国·竞赛）函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数图象的应用 【分析】根据对数函数的图象，结合函数图象的变换，即可求得结果. 【详解】的图象可由在轴下方的图象向上翻折得到， 而的图象可由的图象向左平移1个单位得到. 又的图象过点，则过点，且为连续函数，故其图象为A中所画. 故选：A. 13．（2024·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用、指数函数图像应用 【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入判断C错误，则可得到D正确. 【详解】根据函数 的图象， 知 ， 而对A选项排除A； 对B选项，因为，则， 则，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B； 根据C选项的解析式， ， 而根据函数 的图象， 知 ， 排除 C. 故选：D. 题型五 对数函数图象过定点问题 解题技巧提炼 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 14．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【知识点】对数型函数图象过定点问题、求幂函数的解析式 【分析】由真数等于，求出定点的坐标，设幂函数，将点的坐标代入幂函数，求出的值，可得出幂函数的解析式，由此可计算出的值. 【详解】令，得，当时，，所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入，得，则， ，因此，. 故选：C. 15．（24-25高二上·山西·开学考试）函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先求出对数函数的定点,再结合点在线上得出1,最后应用基本不等式常值代换计算求解. 【详解】因为当时，所以函数 的图像恒过定点，即，因为点在直线上， 所以即 因为 所以 当且仅当 即时取等号. 故选：D. 16．（24-25高三上·上海·开学考试）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 【答案】 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，计算即可求解. 【详解】由题意知，令，得， 将代入解析式中，得， 则函数的图象恒定点，即. 故答案为： 题型六 对数函数图象的应用 解题技巧提炼 1.对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.有关对数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的对数型函数图象，数形结合求解． 3.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 【答案】A 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、由已知条件判断所给不等式是否正确 【详解】 解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A. 18．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线的图象恒在曲线的图象上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围 【分析】结合直线的图象与曲线的图象与轴的交点的位置关系即可求解. 【详解】如图所示，易知为凸函数，零点为，故，当时， 由图象，要使直线的图像恒在曲线的图像上方，可知， 故，所以. 故选：B． 19.（多选）（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】根据对数型函数图象判断参数的范围、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据函数图象，由单调性可判断，结合时，，可判断正负. 【详解】由函数图象可得在上单调递减，所以， 又时，，即，故A，D正确. 故选：AD. 题型七 对数（型）函数的定义域、值域 解题技巧提炼 1.定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性． 2.对数型复合函数的值域 对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)解f(x)>0，求出函数的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． 20．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】根据对数的真数大于，分式的分母不为，次幂的底数不为，即可求解定义域. 【详解】由已知可得，解得：且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 21．（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数解析式建立不等式组，可解得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故答案为：. 22．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 . 【答案】2 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、基本不等式求和的最小值 【分析】先求出函数的定义域，然后利用基本不等式求得内层函数的值域，然后利用对数函数的单调性求得外层函数的值域，即可解答. 【详解】根据题意得到，，解得，即，则的定义域是． 由于函数. 化简得到，由于， 则，当且仅当，即时取最值． 所以，则的最小值是2． 故答案为：2 23．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据对函数的单调性即可求解， （2）根据对数的运算性质，结合对数函数的单调性以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）的定义域为R． ∵，∴． ∴， ∴的值域为． （2）∵ ， 又∵，∴， ∴当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值2， ∴函数的值域是 24．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）换元法求函数解析式即可； （2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域； （3）分类讨论m的取值范围，再得出函数的定义域. 【详解】（1）令，得， 则， 所以． （2）若，则， 令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4． 因为为减函数，所以， 故的值域为． （3）． 当时，，则的定义域为； 当时，，则的定义域为； 当时，由，得或， 则的定义域为． 综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为． 题型八 根据对数（型）函数的定义域、值域（最值）求参数 解题技巧提炼 复合函数问题，往往利用换元法，即把对数式看做一个变量，将问题加以转化. 25．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的值域求参数值或范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】结合对数函数的单调性计算即可得. 【详解】因为的值域是，所以，解得． 故选：A. 26．（2013高一·全国·竞赛）若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】令，则在上取得最小值为，根据题意有且，求解即可. 【详解】令，则， 故当时，在上取得最小值为， 又因为函数在上的最大值是2， 所以且，即，解得． 故选：C. 27．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意，利用分段函数的性质，结合对数的运算法则，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数（其中，且）的最小值是3， 当时，函数为单调递减函数，所以， 则当时，函数为单调递增函数，则 且满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 28．（24-25高三上·福建·阶段练习）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、根据对数函数的值域求参数值或范围 【分析】分两种情况结合对数函数值域讨论函数值域为求参数. 【详解】当时，符合题意； 当时，需，解得． 综上可得． 故答案为：. 题型九 对数（型）函数的单调（性）区间 解题技巧提炼 复合函数的单调性遵循“同增异减”. 29．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，函数定义域 ；函数单调增区间 ． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】空1：令，解不等式即可求得定义域；空2：根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间. 【详解】空1：由题意可得，解得， 的定义域为. 空2：令， 在上单调递增；在上单调递减， 又在上单调递减， 的单调递增区间为. 故答案为：；. 30．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若的最小值为0，求a的值. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的值域求参数值或范围、对数型复合函数的单调性、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）先根据求出的值，再由复合函数单调性可得单调区间； （2）的最小值为0，转化为的最小值为，结合二次函数图象与性质即可求解的值. 【详解】（1）因为，所以，因此，则. 这时 由得，即函数f（x）的定义域为. 令，由，， 则在上单调递增，在上单调递减. 又在上单调递增， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）若的最小值为0，则有最小值，且最小值为1， 因此有，解得 故a的值为. 31．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案； （2）令，分和两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以，解得， 即函数的定义域为， ， 因为在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即得的单调递增区间为； （2）由（1）令，则，， 当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去； 当时，函数在上单调递减，， 所以，解得，符合题意，故. 题型十 根据函数的单调性、奇偶性求参数 解题技巧提炼 1.构建关于参数的方程（组）或不等式（组）. 2.已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种： ①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果． ②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验． 32．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可. 【详解】在区间上单调递增， 则在区间上单调递减且恒为正， 所以且，所以. 故选：C. 31．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数及对数函数单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由函数在R上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 32．（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】由函数为奇函数可得，结合对数的运算性质可得a得值，再验证即可. 【详解】是奇函数， ，即， ，即， ， 展开整理得， 要使等式恒成立，则有，即，解得． 当时，， 由，得， 解得或，即定义域为或， 定义域关于原点对称，且满足， 成立． 故答案为：-1. 33．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数满足． (1)若函数的定义域为，求a，b的值； (2)若，且函数在上单调递增，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求对数函数的定义域、由一元二次不等式的解确定参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）利用韦达定理求解即可； （2）根据复合函数单调性和真数大于0不等式组求解可得. 【详解】（1）由题知，的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得. （2）因为为增函数，且函数在上单调递增， 所以函数在单调递增，且恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为. 题型十一 对数（型）函数单调性应用 解题技巧提炼 1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性． (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较． (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较． (4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． 2.根据单调性求参数问题，要注意转化成“恒成立”问题，建立不等式（组）求解. 3.用定义证明形如y＝logaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系． 4.求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))． 34．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、由幂函数的单调性比较大小 【分析】由函数、和的单调性可依次得、和，进而得解. 【详解】因为是上的增函数， 所以，即， 又因为是增函数，所以， 又是上的增函数， 所以，即， 综上所述，a，b，c的大小关系为. 故选：A. 35．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较对数式的大小 【分析】利用对数的运算法则以及对数函数的单调性可得结论. 【详解】因为， 又因为在上单调递增，又，所以， 所以. 故选：C. 36．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】应用分段函数及指对数不等式计算求解即可. 【详解】因为或， 所以或, 所以或. 则不等式的解集为. 故选：B. 37．（23-24高一下·全国·课堂例题）若，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数单调性及定义得到不等式，求出x的取值范围. 【详解】由，得，解得， 所以实数x的取值范围为. 故答案为：. 38．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、求对数函数在区间上的值域、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】由二次函数、对数函数的性质判断、对应值域范围，即可得解集. 【详解】由题设，开口向下且对称轴为， 在上，在上递增，在上递减，且恒过点， 所以，上，上， 又，上，上， 综上，的解集为. 故答案为： 题型十二 对数（型）函数性质综合应用 解题技巧提炼 1.利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 2.常见的对数不等式有三种类型： (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解． 39．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、求对数函数的最值、对数函数单调性的应用、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由可得，则在定义域内为减函数，再根据已知条件列方程可求出的值； （2）由得，对函数化简后换元得，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以在上为严格减函数， 因为函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即，解得． （2）因为，所以， 所以， 令，则，， 所以当，即时，取最小值为． 40．（23-24高一上·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据对数函数的最值求参数或范围、对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可； （2）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围. 【详解】（1）当时，，不等式， 即，所以，即，等价于， 解得或； 所以不等式的解集为； （2）因为，，所以当时，函数为减函数， 所以函数在区间上单调递减， 又函数在区间上最大值和最小值的差不超过1， 所以， 即，即 所以， 即存在使成立，只需即可， 考虑函数，，令， ， 设，其中， 任取，且，则， 因为，所以，因为，所以， 所以，所以函数在上单调递减， 所以在单调递减，所以， ，所以， 所以的取值范围为. 题型十三 对数函数与奇偶性、单调性综合问题 解题技巧提炼 1.对于奇偶性的应用，主要是应用定义和图象的对称性；对于单调性的应用，较为广泛，如比较函数值大小、解不等式、研究不等式恒成立问题等． 2.要注意函数奇偶性及单调性的“变形”表达形式. 41．（23-24高三下·全国·开学考试）函数是（   ） A．是奇函数，不是增函数 B．是增函数，不是奇函数 C．既是奇函数，也是增函数 D．既不是奇函数，也不是增函数 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据对数可得，即可知是奇函数，再根据复合函数单调性以及奇函数性质判断单调性. 【详解】因为，可知的定义域为， 且， 即，所以是奇函数， 当时，在内单调递增，可知内单调递增， 且在定义域内单调递增，可知在内单调递增， 由奇函数性质可知在内单调递增， 所以在内单调递增. 故选：C. 42．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，是偶函数，且在区间上单调递减， 由得， 所以，所以或， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：D 43．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）设函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由函数解析式分析得为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，不等式等价于，求解即可. 【详解】函数，定义域为， ，函数为偶函数， 当时，在上单调递增， 则在上单调递减， 不等式，则有，解得且， 所以不等式解集为. 故答案为： 44．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，，（且）. (1)若，，解不等式； (2)若. （ⅰ）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （ⅱ）当时，若的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）为偶函数，理由见解析；（ⅱ）. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算、对数函数最值与不等式的综合问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）时，由，可得，根据对数函数的单调性即可求解； （2）（ⅰ）时，，判断其奇偶性即可； （ⅱ）时，函数的定义域为，且，根据二次函数及对数函数的性质分类讨论即可求解. 【详解】（1）若，则，， 由，可得. 因为，所以，解得. 所以不等式的解集为. （2）（ⅰ）若，则, 由，可得，即函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为定义在上的偶函数. （ⅱ）当时，， 令，解得，即函数的定义域为. 又 . 因为，所以，所以， 所以. 因为且， 所以当时，， 因为的最小值为，所以，解得. 当时，，不存在最小值，舍去. 综上所述，. 题型十四 指数函数、对数函数性质综合应用 解题技巧提炼 1.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 2.利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 45．（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数型复合函数的值域、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据对数的单调性可得，再根据二次函数的性质以及指数函数的性质即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 又，，故， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D. 46.（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数且. (1)若在区间上的最大值为2，求实数的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据对数函数的值域求参数值或范围、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，求的值； （2）由函数的值域为，求的值，利用单调性解对数不等式. 【详解】（1）已知函数（且）在区间上的最大值是2． 时，在区间上单调递减，时，在区间上单调递增， 则有或，解得或. （2）函数的值域为， 令，的最小值为2，单调递增，则的最小值为1， 则当，，所以 ，即，得， 解得，即不等式的解集为. 47．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数函数的单调性转化为指数不等式，换元后由一元二次不等式求解； （2）分离参数后，求的最小值，对数的真数换元后求出取值范围，即可由对数函数单调性求对数函数值域，即可得解. 【详解】（1）由题意可知，即. 令，则有，解得，所以，即. 所以不等式的解集为. （2）由题意可知，即， 即. 又 令， 易知在上单调递减， 所以，所以， 因为，所以. 故实数的取值范围为. 48．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）当时，不等式转化为，得到，即可求解； （2）把不等式，转化为对任意恒成立， 设，得到对任意恒成立， 设，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：当时，可得， 由不等式，即，可得，解得， 所以不等式的解集为． （2）解：由不等式，即， 等价于对任意恒成立， 设，即对任意恒成立， 设， 当时，，解得， 当时，，a无解， 综上，a的取值范围是． 题型十五 互为反函数图象对称性及其应用 解题技巧提炼 1.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. 2.互为反函数图象关于直线y=x对称，即函数图象上点（a,b）的对称点（b,a）在其反函数图象上. 49．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状、对数型函数图象过定点问题、对数型复合函数的单调性 【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论. 【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意； 当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意； 显然此时，则函数为单调递增，又恒过点， 因此函数的图象不过第四象限. 故选：D 50．（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 . 【答案】. 【知识点】已知函数类型求解析式、列出指数函数模型的解析式、反函数的性质应用 【分析】利用互为反函数的两函数图象对称性可得函数也过，代入点的坐标待定系数可得. 【详解】由函数的图象与其反函数的图象关于对称， 又其反函数的图象过点，则函数的图象过点. 则，解得. 又函数的图象过点， 则，解得. 故. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3对数函数 知识点一 对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). 知识点二 对数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0) 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 知识点三 反函数 对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 知识点四 几个结论 1.在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴． 2.对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”． (1)当0<x<1,0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同正”； (2)当0<x<1，a>1或x>1,0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”． 题型一 对数函数的判断与求值 解题技巧提炼 对数函数的解析式同时满足： ①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x. 1．（25-26高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④．其中是对数函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）若，则 . 题型二 求对数函数的解析式 解题技巧提炼 待定系数法． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知对数函数的图象过点，则此对数函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 6．（23-24高一·上海·课堂例题）若对数函数（且）的图象经过点，求此对数函数的表达式. 题型三 根据对数函数求参数 解题技巧提炼 1.对含参问题的讨论可通过构造函数或方程，利用函数与方程知识综合解决． 2.根据图象和性质，布列关于参数的方程，解方程即得． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）设（且），若图象经过和，则 ． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 题型四 对数（型）函数图象的辨识 解题技巧提炼 识图的三种常用方法 （1）抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．⑤从函数的特征点，排除不合要求的图象. (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． (4)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． 9．（21-22高一上·陕西渭南·期中）若，且函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，，则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2013高一·全国·竞赛）函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 13．（2024·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 题型五 对数函数图象过定点问题 解题技巧提炼 对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，. 14．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）函数的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（    ） A． B． C．3 D．9 15．（24-25高二上·山西·开学考试）函数的图像恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．8 16．（24-25高三上·上海·开学考试）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 题型六 对数函数图象的应用 解题技巧提炼 1.对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.有关对数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的对数型函数图象，数形结合求解． 3.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.即在第一象限内从左到右底数逐渐增大. 17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（　　） A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 18．（2024高三下·全国·专题练习）已知直线的图象恒在曲线的图象上方，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19.（多选）（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 对数（型）函数的定义域、值域 解题技巧提炼 1.定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性． 2.对数型复合函数的值域 对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)解f(x)>0，求出函数的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． 20．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数的定义域是 . 21．（24-25高三上·北京·阶段练习）函数的定义域是 . 22．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，的最小值是 . 23．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的值域： (1)； (2)． 24．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 题型八 根据对数（型）函数的定义域、值域（最值）求参数 解题技巧提炼 复合函数问题，往往利用换元法，即把对数式看做一个变量，将问题加以转化. 25．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 26．（2013高一·全国·竞赛）若函数在上的最大值是2，则的值为（    ）． A． B． C． D． 27．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）若函数（其中，且）的最小值是3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25高三上·福建·阶段练习）函数的值域为R，则实数a的取值范围是 ． 题型九 对数（型）函数的单调（性）区间 解题技巧提炼 复合函数的单调性遵循“同增异减”. 29．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数，函数定义域 ；函数单调增区间 ． 30．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)若的最小值为0，求a的值. 31．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 题型十 根据函数的单调性、奇偶性求参数 解题技巧提炼 1.构建关于参数的方程（组）或不等式（组）. 2.已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种： ①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列关于参数的方程(组)，解之得结果． ②由f(－a)＝f(a)或f(－a)＝－f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验． 32．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（23-24高二下·上海金山·期末）若为常数，且函数是奇函数，则的值为 ． 33．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知函数满足． (1)若函数的定义域为，求a，b的值； (2)若，且函数在上单调递增，求a的取值范围． 题型十一 对数（型）函数单调性应用 解题技巧提炼 1.比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性． (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较． (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较． (4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． 2.根据单调性求参数问题，要注意转化成“恒成立”问题，建立不等式（组）求解. 3.用定义证明形如y＝logaf(x)函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系． 4.求解含“f”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))． 34．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（   ）. A． B． C． D． 35．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高一下·全国·课堂例题）若，则实数x的取值范围是 ． 38．（23-24高一上·天津南开·期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 ． 题型十二 对数（型）函数性质综合应用 解题技巧提炼 1.利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 2.常见的对数不等式有三种类型： (1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论． (2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解． (3)形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解． 39．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1． (1)求的值； (2)若，求函数的最小值． 40．（23-24高一上·浙江宁波·期中）设，已知函数的表达式为. (1)当时，求不等式的解集； (2)设，若存在，使得函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围. 题型十三 对数函数与奇偶性、单调性综合问题 解题技巧提炼 1.对于奇偶性的应用，主要是应用定义和图象的对称性；对于单调性的应用，较为广泛，如比较函数值大小、解不等式、研究不等式恒成立问题等． 2.要注意函数奇偶性及单调性的“变形”表达形式. 41．（23-24高三下·全国·开学考试）函数是（   ） A．是奇函数，不是增函数 B．是增函数，不是奇函数 C．既是奇函数，也是增函数 D．既不是奇函数，也不是增函数 42．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）设函数，则不等式的解集为 . 44．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知，，（且）. (1)若，，解不等式； (2)若. （ⅰ）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （ⅱ）当时，若的最小值为，求的值． 题型十四 指数函数、对数函数性质综合应用 解题技巧提炼 1.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 2.利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用． 45．（24-25高三上·河南焦作·阶段练习）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 46.（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知函数且. (1)若在区间上的最大值为2，求实数的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数的取值范围. 47．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 48．（24-25高三上·福建·阶段练习）已知函数． (1)若，求满足的x的取值范围； (2)若对任意，恒成立，求a的取值范围． 题型十五 互为反函数图象对称性及其应用 解题技巧提炼 1.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换. 2.互为反函数图象关于直线y=x对称，即函数图象上点（a,b）的对称点（b,a）在其反函数图象上. 49．（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 50．（22-23高三上·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则的表达式是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$