2.2.4均值不等式及其应用第2课时练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

2.2.4　均值不等式及其应用 第2课时　均值不等式的应用 一、选择题 1.设正实数a,b满足a+b=2,则+的最小值为 (　 ) A. B. C. D. 2.已知x≥0,y>2,且+=,则x+y的最小值为 (　 ) A.4 B.8 C.16 D.32 3.如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是 (　 ) A. B. C.1 D.2 4.若正实数x,y满足4x+y=2xy,且不等式x+<m2-m有解,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-1,2) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(-2,1) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 5.[2023·湖北仙桃中学高一期中] 已知x>0,y>0,且+=,若x+2+y>m2+5m恒成立,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-4,7) B.(-2,7) C.(-4,2) D.(-7,2) 6.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 (　 ) A.3 B.4 C. D. 7.为提高居民的冬季取暖水平,某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比,每月供热费与供热站到社区的距离成正比,如果在距离社区20千米处建立供热站,那么这两项费用分别为5千元和8万元,若要使这两项费用之和最小,则供热站应建在离社区 (　 ) A.5千米处 B.6千米处 C.7千米处 D.8千米处 ★8.(多选题)下列结论正确的是 (　 ) A.当x>0时,+≥2 B.当x>0时,的最小值是2 C.当x<0时,2x-1+的最小值是 D.若x>0,y>0,且x+y=2,则+的最小值是 9.(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.的最小值为2 B.已知x>1,则2x+-1的最小值为4+1 C.若正实数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3 D.设x,y为正实数,若9x2+y2+xy=1,则3x+y的最大值为 二、填空题 10.已知xy>0,若x+=2,则+y的最小值为　　　　.  11.若正数x,y满足x2+3xy-1=0,则x+y的最小值为　　　　.  12.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,其边长分别为a,b,c,则该三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a+b=12,c=8,则此三角形的面积的最大值为　　　　.  三、解答题 13.[2024·江苏南京六校高一期中] 某健身器材厂研制了一种足浴气血养生机,具体原理是:在足浴盆右侧离中心x(0<x<20)厘米处安装臭氧发生孔,产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现,该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用.已知臭氧发生孔工作时,对左脚的干扰度与x2成反比,比例系数为9;对右脚的干扰度与400-x2成反比,比例系数为k,且当x=10时,对左脚和右脚的干扰度之和为0.07. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式; (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值. 14.已知a>0,b>0,且a+b=1,证明:+≤2. 15.若a,b∈(0,1),且2ab=1,则+的最小值为　　　　.  16.(1)若x<-3,求的最大值. (2)已知a>0,b>0,=1,求+的最小值,并求此时a,b的值. 第2课时　均值不等式的应用 1.C　[解析] 因为a+b=2,所以a+1+b+2=5,所以+=(a+1+b+2)=≥=,当且仅当a+1=b+2,即a=,b=时,等号成立,所以+的最小值为.故选C. 2.C　[解析] 因为x≥0,y>2,且+=,所以x+y=4[(x+2)+(y-2)]=4≥4×(2+2)=16,当且仅当x=6,y=10时取等号,故x+y的最小值为16.故选C. 3.B　[解析] 设两个正方形的边长分别为x,y,则x>0,y>0且x+y=1,所以两个正方形的面积之和为x2+y2.由均值不等式可得x2+y2≥2xy,当且仅当x=y时,等号成立,所以2(x2+y2)≥x2+y2+2xy=(x+y)2=1,所以x2+y2≥,当且仅当x=y=时,等号成立,因此这两个正方形的面积之和x2+y2的最小值为.故选B. 4.D　[解析] 由4x+y=2xy,得+=1,则x+==1++≥1+2=2,当且仅当4x=y=4时等号成立,所以x+的最小值为2,若不等式x+<m2-m有解,则m2-m>2,解得m<-1或m>2,故实数m的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).故选D. 5.D　[解析] 因为x>0,y>0,且+=,所以x+2+y=×(x+2+y)=×≥×=14,当且仅当y=x+2=7时取等号,又因为x+2+y>m2+5m恒成立,所以14>m2+5m,解得-7<m<2,所以实数m的取值范围是(-7,2).故选D. 6.B　[解析] 因为x+2y+2xy=8,所以y=>0,所以0<x<8,所以x+2y=x+2·=(x+1)+-2≥2-2=4,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,故x+2y的最小值为4.故选B. 7.A　[解析] 设供热站建在离社区x千米处,则自然消费y1=,供热费y2=k2x.由题意得,当x=20时,y1=,y2=8,所以k1=xy1=10,k2==,所以y1=,y2=x,所以两项费用之和为y1+y2=+≥2=4,当且仅当=,即x=5时,等号成立,所以要使这两项费用之和最小,供热站应建在离社区5千米处.故选A. 8.AD　[解析] 对于A,当x>0时,>0,可得+≥2=2,当且仅当x=1时取等号,故A正确;对于B,当x>0时,x2+4>0,>0,可得=+=+≥2=2,当且仅当=时取得等号,但>2,因此等号取不到,所以没有最小值,故B错误;对于C,因为x<0,所以5-4x>0,则2x-1+=-≤-2=-,当且仅当=时取等号,又x<0,所以等号取不到,故2x-1+没有最小值,故C错误;对于D,因为x>0,y>0,且x+y=2,所以+=(x+y)=+≥+×2=,当且仅当=,即y=2x=时,等号成立,故D正确.故选AD. [易错点] 在用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”必须同时满足,缺一不可,如本题B,C中的等号取不到,则易出现错误判断. 9.BCD　[解析] 当x=-1时,=0<2,故A错误;2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1,当且仅当2(x-1)=,即x=+1时取等号,故B正确;由x+2y=3xy,得+=1,所以2x+y=(2x+y)=++≥2+=3,当且仅当=,即x=y=1时取等号,故C正确;由9x2+y2+xy=1得(3x+y)2=1+5xy=1+×4×3x×y≤1+(3x+y)2,即(3x+y)2≤1,则3x+y≤=,当且仅当3x=y=时取等号,故D正确.故选BCD. 10.8　[解析] 因为x+=2,所以+=1,则+y==4++≥4+2=8,当且仅当x=1,y=4时,等号成立,所以+y的最小值为8. 11.　[解析] 由x2+3xy-1=0,可得y=.又x>0,所以x+y=+≥2=,当且仅当x=时等号成立,所以x+y的最小值为. 12.8　[解析] 由a+b=12,c=8,可得p=(a+b+c)=10,则S==≤·=8,当且仅当a=b=6时取等号,所以此三角形的面积的最大值为8. 13.解:(1)由题意,得y=+,将x=10代入,得+=0.07,解得k=4,故y=+(0<x<20). (2)因为0<x<20,所以0<400-x2<400, 所以y=+=[x2+(400-x2)]=≥==,当且仅当=(0<x<20),即x=4时,等号成立,因此,臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和y的最小值为. 14.证明:因为(+)2=2(a+b)+4+2≤6+2(a+b)+4=12,当且仅当a=b=时取等号,所以+≤2. 15.10　[解析] 因为2ab=1,所以b=<1,所以<a<1,2-2a>0,2a-1>0.+=+=+=++2=++2=[(2-2a)+(2a-1)]+2=++6≥2+6=4+6=10,当且仅当2-2a=2a-1,即a=,b=时,等号成立,故+的最小值为10. 16.解:(1)因为x<-3,所以x+3<0,则=x+=x+3+-3=--3≤-2-3=-5,当且仅当-(x+3)=-,即x=-4时等号成立,故的最大值为-5. (2)方法一:因为=1,所以2a+b=3,则+=·(2a+b)=,因为+≥2=4,当且仅当=,即b=4a时等号成立,所以+≥3,即+的最小值是3,又2a+b=3,所以a=,b=2. 方法二:因为=1,所以2a+b=3,则+=+==,令t=4-b,因为0<b<3,所以1<t<4,则+==,因为t+≥2=4,当且仅当t=2时等号成立,所以4≤t+<5,所以0<5-≤1,所以+≥3, 即+的最小值是3,此时a=,b=2. 学科网（北京）股份有限公司 $$