复数专题突破练-2025届高三数学一轮复习

复数专题突破练-2025年高考数学一轮复习 一．选择题（共8小题） 1．（2024•攀枝花三模）已知复数z＝（a+1）﹣ai（a∈R），则|z|＝1是a＝0的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024•泰安二模）若复数z满足，则＝（　　） A． B．2 C． D．1 3．（2024•盐湖区一模）复数z满足z（1﹣i）＝4+2i，则z＝（　　） A．1+3i B．3+3i C． D． 4．（2024•洪山区校级模拟）＝（　　） A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i 5．（2024•龙凤区校级模拟）已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•四川模拟）已知复数z＝（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2024•喀什地区模拟）已知复数z满足，则复数z的共轭复数的模＝（　　） A． B． C． D． 8．（2024•南海区校级模拟）欧拉公式eix＝cosx+isinx（x∈R）是瑞士数学家欧拉发现的，若复数的共轭复数为，则＝（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•船营区校级一模）已知方程z2+2z+3＝0的两个复数根分别为z1，z2，则（　　） A． B．z1+z2＝2 C． D． （多选）10．（2024•南通模拟）已知复数z1，z2，满足|z1|•|z2|≠0，下列说法正确的是（　　） A．若|z1|＝|z2|，则 B．|z1+z2|≤|z1|+|z2| C．若z1z2∈R，则 D．|z1z2|＝|z1||z2| （多选）11．（2024•朝阳区校级模拟）设z1，z2，z3为复数，下列命题正确的是（　　） A．|z1•z2|＝|z1|•|z2| B．|z1|2＝ C．若z1+z2∈R，则z1﹣z2为纯虚数 D．若，且z1≠0，则||＝|| 三．填空题（共3小题） 12．（2024•红桥区一模）i是虚数单位，复数＝　 　． 13．（2024•普陀区校级模拟）设复数z满足z+6＝3+16i，则|z|＝　 　． 14．（2024•松江区二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i•z＝　 　． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•蜀山区校级模拟）计算： （1）÷（1+i）2； （2）（）3． 16．（2022•上海模拟）设复数z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，其中θ∈[0，π]． （1）若复数为实数，求θ的值； （2）求|3z1+z2|的取值范围． 17．（2022•宝山区校级二模）已知虚数z＝a+icosθ，其中a，θ∈R，i为虚数单位． ①若对任意θ∈R，均有|z+2﹣i|≤3，求实数a的取值范围； ②若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ的值． 18．（2023•株洲模拟）已知复数Zn＝an+bni（an、bn∈R），满足Z1＝1，Zn+1＝+1+2i（n∈N*），其中i为虚数单位，表示Zn的共轭复数 （Ⅰ）求|Z2|的值； （Ⅱ）求Z100． 19．（2023•启东市校级模拟）已知复数z1＝sin2x+ti，z2＝m+（m﹣cos2x）i，（i为虚数单位，t，m，x∈R），且z1＝z2． （1）若t＝0且0＜x＜π，求x的值； （2）设t＝f（x），已知当x＝a时，t＝，试求cos（4α+）的值． 复数专题突破练-2025年高考数学一轮复习 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•攀枝花三模）已知复数z＝（a+1）﹣ai（a∈R），则|z|＝1是a＝0的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：∵z＝（a+1）﹣ai（a∈R），|z|＝1， ∴（1+a）2+a2＝1，解得a＝0或a＝﹣1． 故|z|＝1是a＝0的必要不充分条件． 故选：B． 2．（2024•泰安二模）若复数z满足，则＝（　　） A． B．2 C． D．1 【解答】解：由，得， 所以，故． 故选：C． 3．（2024•盐湖区一模）复数z满足z（1﹣i）＝4+2i，则z＝（　　） A．1+3i B．3+3i C． D． 【解答】解：∵z（1﹣i）＝4+2i，则． 故选：A． 4．（2024•洪山区校级模拟）＝（　　） A．﹣1 B．1 C．1﹣i D．1+i 【解答】解：i3＝i2•i＝﹣i， 则． 故选：C． 5．（2024•龙凤区校级模拟）已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为i4＝1，所以i2024＝（i4）506＝1， 由， ∴，其虚部为． 故选：A． 6．（2024•四川模拟）已知复数z＝（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：z＝＝＝， 则， 故复数在复平面内对应的点（）在第三象限． 故选：C． 7．（2024•喀什地区模拟）已知复数z满足，则复数z的共轭复数的模＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：＝＝＝， 则， 故． 故选：B． 8．（2024•南海区校级模拟）欧拉公式eix＝cosx+isinx（x∈R）是瑞士数学家欧拉发现的，若复数的共轭复数为，则＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意可得， 所以． 故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024•船营区校级一模）已知方程z2+2z+3＝0的两个复数根分别为z1，z2，则（　　） A． B．z1+z2＝2 C． D． 【解答】解：根据题意，z2+2z+3＝0，即（z+1）2＝﹣2， 解可得z1＝﹣1+i，z2＝﹣1﹣i， 依次分析选项： 对于A，z1＝，A正确； 对于B，z1+z2＝﹣2，B错误； 对于C，z1z2＝|z1|2＝3，C正确； 对于D，由于z1＝﹣1+i，z2＝﹣1﹣i，则|z1﹣z2|＝2，D正确． 故选：ACD． （多选）10．（2024•南通模拟）已知复数z1，z2，满足|z1|•|z2|≠0，下列说法正确的是（　　） A．若|z1|＝|z2|，则 B．|z1+z2|≤|z1|+|z2| C．若z1z2∈R，则 D．|z1z2|＝|z1||z2| 【解答】解：对选项A，设， 则，，不满足，故A错误； 对选项B，设z1，z2在复平面内表示的向量分别为，且， 当方向相同时，， 当方向不相同时，， 综上|z1+z2|≤|z1|+|z2|，故B正确； 对选项C，设z1＝1+i，z2＝1﹣i，z1z2＝（1+i）（1﹣i）＝2∈R， ，故C错误； 对选项D，设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d≠0， z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i， 则， ， 故D正确． 故选：BD． （多选）11．（2024•朝阳区校级模拟）设z1，z2，z3为复数，下列命题正确的是（　　） A．|z1•z2|＝|z1|•|z2| B．|z1|2＝ C．若z1+z2∈R，则z1﹣z2为纯虚数 D．若，且z1≠0，则||＝|| 【解答】解：对于A，由复数的性质可知，|z1•z2|＝|z1|•|z2|，故A正确； 对于B，取z1＝i，则|z1|2＝1＝﹣1，故B错误； 对于C，取z1＝1，z2＝0，则z1+z2∈R，z1﹣z2＝1为实数，故C错误； 对于D，因为|z2|＝||＝|z3|，|z1|≠0， 所以＝＝＝||，故D正确． 故选：AD． 三．填空题（共3小题） 12．（2024•红桥区一模）i是虚数单位，复数＝　1+3i　． 【解答】解：＝＝＝1+3i． 故答案为：1+3i． 13．（2024•普陀区校级模拟）设复数z满足z+6＝3+16i，则|z|＝　5　． 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则a+bi+6＝3a﹣3bi+16i，于是， 解得，则． 故答案为：5． 14．（2024•松江区二模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i•z＝　﹣2+i　． 【解答】解：由题意得：z＝1+2i， 故iz＝i（1+2i）＝﹣2+i， 故答案为：﹣2+i． 四．解答题（共5小题） 15．（2024•蜀山区校级模拟）计算： （1）÷（1+i）2； （2）（）3． 【解答】解：（1）÷（1+i）2＝ ＝＝ ＝ ＝． （2）＝＝＝． 16．（2022•上海模拟）设复数z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ，其中θ∈[0，π]． （1）若复数为实数，求θ的值； （2）求|3z1+z2|的取值范围． 【解答】解：（1）∵复数z1＝1﹣i， ∴＝1+i， ∴z＝（1+i）（cosθ+isinθ）＝（cosθ﹣sinθ）+（sinθ+cosθ）i， ∵复数为实数， ∴sinθ+cosθ＝0，即tanθ＝﹣1， ∵θ∈[0，π]， ∴． （2）∵z1＝1﹣i，z2＝cosθ+isinθ， ∴3z1+z2＝3﹣3i+cosθ+sinθi＝（3+cosθ）+（sinθ﹣3）i， ∴|3z1+z2|＝＝＝， ∵θ∈[0，π]， ∴，即， ∴|3z1+z2|的取值范围为． 17．（2022•宝山区校级二模）已知虚数z＝a+icosθ，其中a，θ∈R，i为虚数单位． ①若对任意θ∈R，均有|z+2﹣i|≤3，求实数a的取值范围； ②若z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求a，θ的值． 【解答】解：z＝a+icosθ， ①若对任意θ∈R，均有|z+2﹣i|≤3，即|a+2+（cosθ﹣1）i|≤3，即（a+2）2+（cosθ﹣1）2≤9， ∵﹣2≤cosθ﹣1≤0， ∴（a+2）2≤9﹣4＝5， ∴﹣2﹣≤a≤﹣2，即a∈[﹣2﹣，﹣2]； ②∵z＝a+icosθ， ∴z2＝a2﹣cos2θ+2acosθi， ∵z，z2恰好是某实系数一元二次方程的两个解， ∴z+z2＝a2﹣cos2θ+a+（cosθ+2acosθ）i∈R，且z•z2＝（a+icosθ）（a2﹣cos2θ+2acosθi）＝a3﹣3acos2θ+（3a2cosθ﹣cos3θ）i∈R， 即， 解cosθ（1+2a）＝0得a＝﹣，或cosθ＝0，此时θ＝kπ+（k∈Z）； 当a＝﹣时，代入3a2cosθ﹣cos3θ＝0，得cosθ（﹣cos2θ）＝0， ∴cosθ＝0，或cosθ＝±，此时θ＝kπ+或θ＝kπ±（k∈Z）． 综上所述，当a＝﹣时，θ＝kπ±（k∈Z）； 当a≠﹣时，θ＝kπ+（k∈Z）． 18．（2023•株洲模拟）已知复数Zn＝an+bni（an、bn∈R），满足Z1＝1，Zn+1＝+1+2i（n∈N*），其中i为虚数单位，表示Zn的共轭复数 （Ⅰ）求|Z2|的值； （Ⅱ）求Z100． 【解答】解：（Ⅰ）因为Z1＝1，Zn+1＝+1+2i（n∈N*），Z2＝a2+b2i， 所以Z2＝，故|Z2|＝＝； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a1＝1，a2＝2，b1＝0，b2＝2， ， 所以Zn+1＝+1+2i＝an+1+（2﹣bn）i， 又Zn＝an+bni， 则Zn+1＝an+1+bn+1i， 所以an+1＝an+1，bn+1＝2﹣bn， 则an+1﹣an＝1，bn+1+bn＝2， 所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列， 则an＝a1+（n﹣1）×1＝n，故a100＝100， 因为b1＝0，b2＝2，所以b3＝0，b4＝2，…，b100＝2， 所以Z100＝a100+b100i＝100+2i． 19．（2023•启东市校级模拟）已知复数z1＝sin2x+ti，z2＝m+（m﹣cos2x）i，（i为虚数单位，t，m，x∈R），且z1＝z2． （1）若t＝0且0＜x＜π，求x的值； （2）设t＝f（x），已知当x＝a时，t＝，试求cos（4α+）的值． 【解答】解：（1）∵z1＝z2，∴， 则t＝sin2x﹣， 若t＝0，则sin2x﹣cos2x＝0，得tan2x＝． ∵0＜x＜π，∴0＜2x＜2π，则2x＝或2x＝， ∴x＝或x＝． （2）∵t＝f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（）， ∵当x＝α时，t＝， ∴，sin（）＝﹣， ∴cos（4α）＝cos2（2α+）＝ ＝． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$