2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、选择题 1.用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时,方程变形正确的是 (　 ) A.(x-1)2=2 B.(x-1)2=4 C.(x-1)2=1 D.(x-1)2=7 2.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是 (　 ) A.-3 B.-2 C.3 D.6 3.已知集合A={x|2x2-x-3=0},B={x|ax2-x-3=0},若B⊆A,则实数a的取值集合为 (　 ) A.{2} B.{2,0} C. D.{2}∪ 4.若关于x的方程x2-6x+2=0的两根分别是x1,x2,则+= (　 ) A.6 B.7 C.8 D.9 5.关于x的方程(m-1)x2+2mx+m-1=0有两个不相等的实数根的一个充分不必要条件是(　 ) A.m> B.m< C.m>且m≠1 D.<m<1 6.若m,n是方程x2+2023x-1=0的两个实数根,则m2n+mn2-mn= (　 ) A.-2023 B.2023 C.-2024 D.2024 7.设实数m,n分别满足19m2+20m+1=0,n2+20n+19=0且mn≠1,则= (　 ) A. B.- C. D.- 8.(多选题)已知等腰三角形的三边长分别为a,b,3,且a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,则m的值可能为 (　 ) A.15 B.16 C.17 D.18 9.(多选题)已知关于x的方程x2-px+q=0的两实根为α,β,且以α2,β2为根的一元二次方程仍是x2-px+q=0,则数对(p,q)可能是 (　 ) A.(0,0) B.(1,0) C.(2,1) D.(-1,1) 二、填空题 10.已知x+1是多项式x2-mx+3的一个因式,则m=　　　　.  11.方程+=的解集是　　　　　　　　.  12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-m2x+n=0的两个实数根,y1,y2是关于y的一元二次方程y2-3my+6=0的两个实数根,其中m,n是常数,且x1+y1=x2+y2=2,则8m+n=　　　　.  三、解答题 13.若x1,x2是方程x2+2x-2023=0的两个根,试求下列各式的值: (1)+; (2)+; (3)(x1-5)(x2-5); (4)|x1-x2|. 14.[2023·上海杨浦高中高一月考] (1)已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2-3x+2=0},若A∪B=B,求实数p,q满足的条件. (2)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-(a2+1)x+a2+a=0的两根都是整数,求满足条件的整数a的值. 15.若关于x的方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,且3x1+2x2=18,则m=　　　　.  16.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根. (1)若|x1-x2|=,求实数k的值. (2)是否存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. (3)若+-2∈Z,求整数k的值. 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.B　[解析] x2-2x-3=0,移项得x2-2x=3,两边都加上1得x2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4.故选B. 2.A　[解析] 关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,设方程的另一个根为t,可得2+t=-1,解得t=-3.故选A. 3.D　[解析] 由题得A={x|2x2-x-3=0}=.若B=∅,则a≠0且Δ=1+12a<0,解得a<-.若B中只有一个元素,①B中的方程为一元二次方程,则解得a=-,此时B={-6},不符合题意;②B中的方程为一元一次方程,则a=0,此时B={-3},不符合题意.当B=A时,a=2,符合题意.综上,实数a的取值集合为{2}∪.故选D. 4.C　[解析] 因为x1,x2是方程x2-6x+2=0的两根,所以x1+x2=6,x1x2=2,所以+====8.故选C. 5.D　[解析] 由解得m>且m≠1,所以方程有两个不相等的实数根的充要条件是m∈∪(1,+∞).结合选项可得方程有两个不相等的实数根的一个充分不必要条件是m∈.故选D. 6.D　[解析] 因为m,n是方程x2+2023x-1=0的两个实数根,所以m+n=-2023,mn=-1,所以m2n+mn2-mn=mn(m+n-1)=-1×(-2023-1)=2024.故选D. 7.B　[解析] 易知n≠0,由n2+20n+19=0,得19+20·+1=0,因为19m2+20m+1=0,mn≠1,所以m,是方程19x2+20x+1=0的两个根.所以m+=-,=,所以=2m++=2+3×=2×+=-.故选B. 8.BC　[解析] 若3为等腰三角形的底边长,则a=b,因为a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,所以a+b=8,解得a=b=4,此时三角形的三边长分别为3,4,4,这样的三角形存在,所以ab=m-1=16,解得m=17.若3为等腰三角形的腰长,则a,b中有一个为3,不妨设a=3,因为a,b是关于x的方程x2-8x-1+m=0的两根,所以a+b=8,所以b=8-3=5,此时三角形的三边长分别为3,3,5,这样的三角形存在,所以ab=m-1=15,解得m=16.综上,m=17或m=16.故选BC. 9.ABC　[解析] 根据题意得,α+β=p①,αβ=q②,α2+β2=p③,α2β2=q④,由②④可得α2β2-αβ=0,解得αβ=1或αβ=0,即q=1或q=0.由①②③及α2+β2=(α+β)2-2αβ得p2-2q=p,即p2-p-2q=0.当q=0时,p2-p=0,解得p=0或p=1,即或代入原方程中可知符合题意;当q=1时,p2-p-2=0,解得p=-1或p=2,即或代入原方程中可知不符合题意,舍去.所以数对(p,q)可能是(0,0),(1,0)(2,1).故选ABC. 10.-4　[解析] 因为x+1是多项式x2-mx+3的一个因式,所以x=-1是关于x的方程x2-mx+3=0的一个根,代入可得(-1)2+m+3=0,解得m=-4. 11.　[解析] ∵+=,∴ +=.令t=,可得t+=,∴ 3t2-10t+3=0,∴ t=3或t=.由=3,可得3x2-x+3=0,无解.由=,可得x2-3x+1=0,解得x=.故原方程的解集为. 12.2　[解析] 因为y1,y2是关于y的一元二次方程y2-3my+6=0的两个实数根,所以所以m≤-或m≥.因为x1,x2是关于x的一元二次方程x2-m2x+n=0的两个实数根,所以因为x1+y1=x2+y2=2,所以x1+x2+y1+y2=2+2=4,所以m2+3m=4,解得m=-4或m=1(舍去),所以n=x1x2=(2-y1)(2-y2)=4-2(y1+y2)+y1y2=4-2×3×(-4)+6=34,所以m4-4n≥0成立,所以8m+n=8×(-4)+34=2. 13.解:由题意得x1+x2=-2,x1x2=-2023. (1)+=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2×(-2023)=4050. (2)+===. (3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-2023-5×(-2)+25=-1988. (4)|x1-x2|====4. 14.解:(1)由x2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2,所以B={1,2}.因为A∪B=B,所以A⊆B.若A={1,2},则解得若A={1},则解得若A={2},则 解得若A=∅,则Δ=p2-4q<0. (2)由题知a≠1,(a-1)x2-(a2+1)x+a2+a=(x-a)[(a-1)x-(a+1)]=0,解得x=a或x=,因为==1+为整数,所以满足条件的整数a的值可以为-1,0,2,3. 15.12　[解析] 因为关于x的方程x2-8x+m=0的两根为x1,x2,所以Δ=64-4m≥0,即m≤16,因为 且3x1+2x2=18,所以3x1+2x2=18=2(x1+x2)+x1=16+x1,所以x1=2,x2=6,所以m=x1x2=12. 16.解:(1)因为x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根, 所以解得k<0,则x1x2=,x1+x2=-=1.因为|x1-x2|=,所以(x1-x2)2=,即(x1+x2)2-4x1x2=,即1-4×=,即=,解得k=-16. (2)由(1)知k<0,x1x2=,x1+x2=1,假设存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立,则(2x1-x2)(x1-2x2)=2(x1+x2)2-9x1x2=2-=-成立,解得k=,因为k<0,所以不存在实数k,使(2x1-x2)(x1-2x2)=-成立. (3)由(1)知k<0,x1x2=,x1+x2=1,则+-2=-2=-4=-4=-,因为+-2∈Z,所以-∈Z,又k为整数,所以k+1=±1,±2,±4,又k<0,所以k=-2或-3或-5. 学科网（北京）股份有限公司 $$