3.2函数与方程、不等式之间的关系第3课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

3.2 函数与方程、不等式之间的关系 第3课时 零点的存在性及其近似值 的求法 1 【学习目标】 1.掌握函数零点存在定理，并会判断函数零点的个数； 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握用二分法求函数零点近似 值的步骤； 3.理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题. 2 知识点一 函数零点存在定理 如果函数在区间 上的图象是__________的，并且_____________ （即在区间两个端点处的函数值异号），则函数在区间 中至少有 一个零点，即_____________________. 连续不断 , 课 前 预 习 3 【诊断分析】 若函数在内有零点，则 一定成立吗？ 解:不一定.可能在或 处无定义，即使有定义，也可能 .如函数在内有零点，但 . 课 前 预 习 4 知识点二 二分法定义 对于在区间上图象连续不断且_____________的函数 ，通过不断地 把它的零点所在的区间__________，使所得区间的两个端点______________， 进而得到零点________的方法叫作二分法. 一分为二 逐步逼近零点 近似值 课 前 预 习 5 知识点三 用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时，给定近似的精度，用二分法求零点 的近 似值，使得 的一般步骤如下： 第一步，检查 是否成立，如果成立，取_________，计算结束；如 果不成立，转到第二步. 第二步，计算区间的中点对应的函数值，若____________，取 ， 计算结束；若 ，转到第三步. 第三步,若，将的值赋给（用 表示，下同），回到 第一步；否则必有，将的值赋给 ，回到第一步. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 用二分法求方程的近似解时，如何决定步骤的结束？ 解:根据精度决定，当零点所在的区间为，且时，取 ， 步骤结束. 课 前 预 习 7 探究点一 零点存在定理的应用 例1（1） 已知函数，则函数 的零点所在区间为( ) C A. B. C. D. [解析] 当时，，此时无零点；当时， ， ，， ，则 ，所以函数的零点所在区间为 .故选C. 课 中 探 究 8 （2）已知函数满足，,则在 上的 零点( ) C A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 [解析] 若，则是一次函数，因为, ,所以 ，可得在上的零点只有一个； 若 ，则是二次函数，若在 上有两个零点， 则必有，与已知矛盾，故在 上有且只有一个零点. 综上所述，在 上的零点有且仅有一个.故选C. 课 中 探 究 9 变式 二次函数 的部分对应值如下表： 0 1 2 3 4 6 6 不求，，的值，判断方程 的两根所在的区间是( ) A A.和 B.和 C.和 D.和 [解析] 因为，，所以在 内有一个零 点，即方程在内必有一个根，又， ，所以 在内有一个零点，即方程在 内必有一个根.故选A. 课 中 探 究 10 探究点二 二分法的概念及应用 例2（1） 下列图象所表示的函数中，能用二分法求零点的是( ) B A. B. C. D. [解析] 函数图象连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能 使用二分法求解，观察四个函数图象，只有B选项符合. 课 中 探 究 11 （2）已知函数， ，用二分法求方程 在区间内的实根，取区间中点为 ，那么下一个有根 的区间是_______. [解析] 因为， ， ，所以 ，所以方程 在区间 内有实根. 课 中 探 究 12 探究点三 求方程的近似解 例3 用二分法求方程 的一个近似解.（精度为0.05） 解:令，由于， ，因此取区间 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数近 似值 取中点作为近似值 时误差小于的值 1.25 0.5 0.25 0.125 课 中 探 究 13 因为 ，所以方程的一个近似解为 . 课 中 探 究 14 变式 求 的近似值.（精度为0.05） 解：令，则.令，则就是函数 的零 点．因为，，所以可取初始区间为 ，用二分法 逐次计算，列表如下： 课 中 探 究 15 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数 近似值 取中点作为近似 值时误差小于的值 0.5 0.25 0.125 因为，所以 的近似值可取为 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 利用二分法求方程零点的近似值时,首先构造一个函数，然后利用二分法，求解 函数值的近似值，不断把零点所在区间“二分”，直到为止， 是题目 给定的精度，然后取 即可. 课 中 探 究 17 1.若函数在区间 上的图象是一条连续的曲线，则下列说法正确的 是( ) C A.若，则不存在实数，使得 B.若，则存在且只存在一个实数，使得 C.若，则有可能存在实数，使得 D.若，则有可能不存在实数，使得 [解析] 根据函数零点存在定理进行判断，若 ，则一定存在实数 ，使得，但的个数不确定，故B，D错误； 若 ，则有可能存在实数，使得， 如， ，但在区间 内有两个零点， 故A错误，C正确.故选C. 课 堂 评 价 18 2.已知函数在区间 上存在零点，则( ) C A.或 B. C.或 D. [解析] 由在区间上存在零点，得 且 ,解得 或 .故选C. 课 堂 评 价 19 3.用二分法求如图所示的图象所表示的函数 的 零点时，不可能求出的零点是( ) C A. B. C. D. [解析] 观察图象可知，附近两边的函数值都为负数，所以 不能用二分法求 得.故选C. 课 堂 评 价 20 4.用二分法求函数的一个正实数零点时,经计算,得, , ,则函数的一个精度为0.025的正实数零点的近似值为( ) C A.0.64 B.0.74 C.0.7 D.0.6 [解析] 因为,,所以零点在区间 内.因为 ,所以所求零点的近似值为 . 课 堂 评 价 21 5.若函数 的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐 次计算，参考数据如下表（函数值为近似值） 1 1.5 1.25 1.375 0.625 0.162 则方程 的一个近似解为__________.（精度为0.02） [解析] 设方程的解为.因为 ，所以； 因为，所以 ；因为, 所以；因为 ，所以； 因为， ， 所以，此时 所以 . 课 堂 评 价 22 求函数零点的近似值 利用二分法求函数在区间 上零点的近似值，需根据图象估计零点所在 区间，然后根据零点存在定理，采用二分法的方式逐步缩小区间“长度”，直到 区间的两个端点符合精度要求. 备 用 习 题 23 例 若函数在 内有一个零点，用二分法计算方程 的一个近似解（精度为0.05）为( ) B A. B. C. D. [解析] 由题知，，故取区间 作为计算的初始区 间，用二分法逐次计算如下： 备 用 习 题 24 零点所在区间 区间中点 中点对应的函数值 因为，所以方程的一个近似解为. 故选B. 备 用 习 题 25 $$