3.1.1函数及其表示方法第3课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

3.1.1 函数及其表示方法 第3课时 分段函数 1 【学习目标】 通过具体实例,理解分段函数的概念,会描绘出分段函数的大致图象,能正确 地求出分段函数在某点的函数值. 2 知识点一 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的_______ ___，则称其为分段函数. 对应方式 课 前 预 习 3 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数 可以表示为分段函数.( ) √ （2）分段函数各段上的函数值构成的集合的交集为 .( ) × 2.分段函数是由几个不同的函数构成的吗？ 解：不是.分段函数的定义域只有一个，只不过在定义域的不同区间上对应关系 不同，所以分段函数是一个函数. 课 前 预 习 4 知识点二 取整函数 对于任意一个实数，表示不超过的最大整数， 通常称为取整函数. 课 前 预 习 5 知识点三 常数函数 值域只有一个元素的函数，通常称为常数函数.常数函数中所有自变量对应的函 数值都相等. 课 前 预 习 6 探究点一 分段函数求值和解不等式问题 例1 已知函数 （1）求，， ； 解:， ， . 课 中 探 究 7 （2）若，求实数 的取值范围. 解：因为，所以 ，所以不等式 可化为，解得或，故实数 的取 值范围是 . 课 中 探 究 8 变式 已知函数 （1）求, 的值; 解：由题可得 ,因为 , 所以 . 课 中 探 究 9 （2）若,求实数 的值; 解：①当时,,解得 ,不合题意,舍去; ②当时,,即,解得或 , 因为,,所以 ; ③当时,,解得,符合题意.综合①②③知, 或 . 课 中 探 究 10 （3）若,求实数 的取值范围. 解：由,得或 或 解得或或 , 故实数的取值范围是 . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ （1）分段函数求值的方法： ①先确定要求的值属于哪一段区间； ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止，当出现 的形式时，应 从内到外依次求值. （2）已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得 自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函 数值的取值范围，确定解析式后再求解. 课 中 探 究 12 探究点二 分段函数的图象及应用 例2 [2023·陕西西安高一期中]定义, 设函数 ，.记函数,，且函数 在 区间上的取值范围为，则区间 长度的最大值为( ) D A.1 B. C. D.2 [解析] 令，即，解得 ，所以 , 课 中 探 究 13 则的图象如图所示.易知 ， .要使函数在区间 上的取值范围为 ，当时,，当 时, ，所以当，时区间 的长 度取得最大值，最大值为2.故选D. 课 中 探 究 14 变式 作出函数的图象，并求出 的最大值． 解：当时，； 当 时， ； 当时， . 综上， 根据函数的解析式作出 图象，如图所示． 由图可知，当时， 取得最大值，最大值为2. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 分段函数图象的画法： （1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对 值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象； （2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管 定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别 注意接点处点的虚实，保证不重不漏. 课 中 探 究 16 探究点三 分段函数的实际应用 例3 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情 况下，隧道内的车流速度和车流密度 满足关系式 ．研究表明，当隧道内的车流密度 时造成堵塞，此时车流速度 ． （1）若车流速度，求车流密度 的取值范围； 课 中 探 究 17 解：由题意可知，当时， ， 所以，解得 ， 所以 当时，，解得，所以 ； 当时，，解得，所以 . 综上可得，车流速度时，车流密度的取值范围为 . 课 中 探 究 18 （2）定义隧道内的车流量为，求隧道内的车流量 的最大值，并指出 当车流量最大时的车流密度 ． 解：由（1）可得 当时， ，由 二次函数的性质可知当时，取得最大值1350；当 时， ， 课 中 探 究 19 （当且仅当，即 时取等号）， 所以当时， 取得最大值2600. 综上可知， 的最大值为2600，此时车流密度为80. 课 中 探 究 变式 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： （1）以内（含 ），票价2元； （2）以上，每增加，票价增加1元（不足的按 计算）. 如果某条线路的总路程为 ，请根据题意写出票价与路程之间的函数解析 式，并画出函数的图象. 解:设票价为元，路程为 . 由题意可知，的取值范围是，则 课 中 探 究 21 函数的图象如图所示. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 分段函数的实际应用： （1）当目标在不同区间有不同的计算方式时，往往需要用分段函数模型来表示 两变量间的对应关系，而分段函数的图象也需要分段画； （2）分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区 间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式. 课 中 探 究 23 1.已知函数则 的值为( ) C A. B. C.3 D.0 [解析] 由题意得 ，故选C. 课 堂 评 价 24 2.[2023·贵阳高一期中]已知函数则 ( ) D A.38 B.36 C.34 D.32 [解析] 由题意可得，则 ， 故选D. 课 堂 评 价 25 3.函数 的定义域为________. [解析] 由题知函数的定义域为，即 . 课 堂 评 价 26 4.已知函数若，则实数 的值为_________. 或1 [解析] 当时，由，可得；当时，由 ，可 得.故实数的值为 或1. 课 堂 评 价 27 5.已知函数则不等式 的解集为________. [解析] 当时,令，解得，所以; 当 时，令，解得，所以. 综上，不等式 的解集为 . 课 堂 评 价 28 关于分段函数 （1）分段函数是一个函数，而不是几个函数. （2）研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数 的图象时，可将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象. （3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集，写定 义域时，区间端点应不重不漏. （4）求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式 求解. 备 用 习 题 29 例1 （1）函数 的定义域为_________________，值域为________________. [解析] 定义域为各段的并集，即 . 因为，所以 ，由于值域为各段的并集，所以函数的值域为 . 备 用 习 题 30 （2）函数的图象如图所示，则函数 的解析式为 _ ______________________________. 备 用 习 题 31 [解析] 当时,设,由题图得 解得 故; 当时,设 ,由题图得解得 故; 当时, .综上所述, 备 用 习 题 例2 已知若，则 的取值范围是____________ _______. [解析] 当时，，由，得，解得 ，故 ；当时，，由，得 ，解得 ，故.综上的取值范围是 . 备 用 习 题 33 例3 （多选题）[2024·重庆一中高一期末] 波恩哈德·黎曼是德国著名的数学家. 他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的 广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为 ，其解析式为 下列关于黎曼函数 的说法正确的是( ) AB A. B. C. D.关于的不等式的解集为 备 用 习 题 34 [解析] 对于选项A，当时，，当时， ， ； 当时，，若是无理数，则 是无理数， 则， 若是有理数，则是有理数，当 （为正整数,为最简真分数）时， （ 为正整数,为最简真分数）， 此时， 综上，当 时，，所以选项A正确. 备 用 习 题 35 对于选项B，当,,1或, 为无理数时，， 显然有； 当,（,,, 是正整数，,是最简真分数）时， ， ，故； 当,时，， ，有 ； 当,时，， ，有； 当为无理数，时， ， 有.综上 ，所以选项B正确. 备 用 习 题 36 对于选项C，取,，则， 而 ，所以选项C错误. 对于选项D，若或或为 内的无理数，此时 ，显然不成立； 当（,为正整数，, 互质）时，由，得， 整理得，又,为正整数，, 互质， 所以,或,，所以可以取或，所以选项D错误.故选 . 备 用 习 题 例4 如图，已知正方形的边长为4，点从 出发，沿 线段,,运动到点（不包括点,），用表示点 的 运动路程，表示的面积，求函数 的解析 式． 解：当点在上运动，即时，；当点在 上运 动，即时，；当点在上运动，即 时， . 综上可知， 备 用 习 题 38 $$