3.1.2函数的单调性第1课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

3.1.2 函数的单调性 第1课时 单调性的定义与证明、函数的最值 1 【学习目标】 1.理解函数单调性的定义，会运用函数的图象理解和研究函数的单调性； 2.会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求具体函 数的单调区间； 3.理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图象和单调性求简单 函数的最值. 2 知识点一 增函数与减函数 1.定义 增函数 减函数 条件 一般地，设函数的定义域为，且如果对任意 , ，当 时 都有 都有 结论 在 上是增函数 （也称在 上单调递增） 在 上是减函数 （也称在 上单调递减） 课 前 预 习 3 增函数 减函数 图示 __________________________________________ __________________________________________ 两种情况下，都称函数在上具有单调性（当为区间时，称 为函数的________ ___，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）. 单调区间 续表 课 前 预 习 4 2.特殊函数单调性的判断 （1）函数当时，函数在 上是增函数；当 时，函数在 上是________. （2）函数当时，函数在区间, 上单调 _______；当时，函数在区间, 上单调递增. 减函数 递减 （3）函数当时，在 上单调递 减，在上单调递增；当时，在 上单调递增，在 上单调递减. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 （1）在增函数和减函数的定义中，能否把“，”改为“， ”？ 解：不能.如函数，虽然，但在 上不是单调函数. （2）如果函数在其定义域内的两个子区间， 上都是增函数，那么 在 上也是增函数吗？ 解： 不一定．如函数在区间和 上都是增函数，但在区 间 上不是增函数. （3）所有的函数在定义域上都具有单调性吗？ 解： 不是，如 在定义域上就没有单调性. 课 前 预 习 6 知识点二 函数的最大（小）值及几何意义 最大值 最小值 条件 一般地，设函数的定义域为，且如果对任意 都有___ 都有___ 结论 称的最大值为，而 称 为 的最大值点 称的最小值为，而 称 为 的最小值点 统称 最大值和最小值统称为______ 最大值点和最小值点统称为________ 最值 最值点 课 前 预 习 7 【诊断分析】 （1）函数总成立，的最小值是 吗？ 解：不是.总成立，但不存在使，所以 的最 小值不是 . （2）有位同学说：“因为，所以的最大值是 .”这个说 法对吗？ 解：不对.因为对于任意，并不总成立，所以 的最大 值不是 . 课 前 预 习 8 知识点三 求函数最值的常用方法 （1）图象法：作出 的图象，观察最高点与最低点，最高（低）点的纵 坐标即为函数的最大（小）值. （2）运用已学函数的值域. （3）运用函数的单调性： ①若函数在区间上是增函数，则 的最大值为_____，最小值 为_____. ②若函数在区间上是减函数，则 的最大值为_____，最小值 为_____. ③若函数是定义在区间或上的连续函数，则函数 的最 大（小）值要根据具体函数而定. 课 前 预 习 9 （4）分段函数的最大（小）值是指各段上的最大（小）值中的最大（小）的那个. 课 前 预 习 10 【诊断分析】 （1）二次函数 的最值是什么？常用哪些方法求二 次函数的最值. 解：当时，函数的最小值为，无最大值；当时， 的最 大值为 ，无最小值. 可利用函数的单调性求最值，也可以用公式法、配方法或图象法求函数的最值. （2）要确定在 上的最值，需要先确定什么？ 解： 需先确定该函数在 上的单调性或画出函数图象，从而确定函数的最值. 课 前 预 习 11 （3）函数 在定义域内的一个区间上具有单调性，那么这个函数在这个区 间上一定有最大（或最小）值吗？ 解： 不一定，如在上单调递减，但没有最值，又如 在 上单调递增，但没有最值. 课 前 预 习 12 探究点一 由函数图象判断函数的单调性或单调区间 例1 （1）已知函数在区间上的图象如图所示，则函数 的单调递 减区间是____________，单调递增区间是______________. , , [解析] 由题图可知,函数的单调递减区间是, ,单调递增区间是 , . 课 中 探 究 13 （2）函数 的单调递减区间是_______________. , [解析] 函数的图象可由函数 的图象向右平移1个单位得到，故函数 的单调递减区间是， . 课 中 探 究 14 （3）作出函数的图象，并根据图象写出函数 的单调区间. 解:根据解析式可作出函数 的图象如图所示，由图可知，函数的单调递增区间为， ，单 调递减区间为， . 课 中 探 究 15 变式 （1）画出函数 的图象，并指出函数的单调区间. 解: 其图象如图所示. 由图可知，该函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 . 课 中 探 究 16 （2）已知函数 的图象如图所示. ①根据函数图象，写出 的单调区间； 解: 由图象知，函数的单调递减区间为， 单调递增区间为 ， . ②若在上单调递增，求实数 的取值范围. 解: 若在上单调递增，则或 ，解得 或，故实数的取值范围是 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 求函数的单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数 等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容 易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间. 课 中 探 究 18 探究点二 函数单调性的判断及证明 例2（1） 利用定义判断在区间 上的单调性. 解:任取，，且 ， 则 . 因为，且，，所以，， ， 所以，所以在区间 上单调递增. 课 中 探 究 19 （2）讨论在 上的单调性. 解: 任取,，且 ,则 . ，，，， ． ①若，则， ， 即，在 上单调递增． ②若，则当时，， ，即 ，在上单调递减； 课 中 探 究 20 当 时， ，，即，在 上单调递增． 综上可知，当时，在上单调递增；当 时， 在上单调递减，在 上单调递增. 课 中 探 究 变式（1） 求证：函数在区间 上单调递增. 证明：任取，，且 ，则 ， 因为，且，，所以， ，所以 ，即 ， 故函数在区间 上单调递增. 课 中 探 究 22 （2）讨论函数在 上的单调性． 解：当时，，则在上不具有单调性.当 时，任取 ,，且 ， 则 ， 因为，，且，所以，， ， 所以 . 当时，，即 ， 所以在 上单调递减； 课 中 探 究 23 当时，，即 ， 所以在 上单调递增． 综上，当时，在 上不具有单调性； 当时，在 上单调递减； 当时，在 上单调递增． 课 中 探 究 ［素养小结］ 证明函数在区间 上的单调性应遵循以下步骤： （1）任取：任取，，且 ; （2）作差：将函数值， 作差; （3）变形：将上述差式变形（因式分解、配方等）; （4）判号：对上述变形结果的正负加以判定; （5）定论：根据定义得出 的单调性. 课 中 探 究 25 拓展（1） 已知函数对任意实数，均有 ，且当 时，，试判断函数 的单调性. 解：任取,,且,则 , 因为当时，，所以 , 因为 , 所以 , 即,所以在 上为增函数. 课 中 探 究 26 （2）已知函数的定义域为，对任意正实数， 均有 ，且当时，，判断函数 的单调性并说 明理由. 解：任取，则,因为当时， ，所以 ,所以,所以 在 上单调递减. ［技巧点拨］ 对于抽象函数单调性的证明，注意抓住题干中当 时, ,确定凑差证明；当时, ,确定凑商证明. 课 中 探 究 27 探究点三 函数单调性的应用 角度1 应用单调性比较大小 例3 已知函数在区间上是减函数，试比较与 的 大小. 解:，与都在区间上.又 在区间上是减函数， . 课 中 探 究 28 变式（1） 已知对任意的,都有,设, , 则( ) C A. B. C. D.， 大小关系不能确定 [解析] 对任意的，都有，在 上单调递 增，，即 ，故选C. 课 中 探 究 29 （2）[2023·黑龙江哈尔滨九中高一月考] 定义在上的函数 满足 ，且，则使成立的 的取值范围是______． [解析] 因为，且,，所以 .令 ，，则原不等式为，因此函数 在 上单调递减.由，得，又 ，所以 ，解得，所以使成立的的取值范围是 . 课 中 探 究 30 ［素养小结］ 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在比较函数值的大小时，要 注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. 课 中 探 究 31 角度2 应用单调性求解不等式 例4 [2023·广东佛山顺德一中高一月考] 已知函数为定义在 上的增 函数，则满足的实数 的取值范围为_______． [解析] 由题知解得 . 课 中 探 究 32 ［素养小结］ 利用函数的单调性解不等式的方法： 若在上是增函数，且,则若在 上 是减函数，且，则 注意：①不等式两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化到同一个单 调区间上，若转化不了，就进行讨论. 课 中 探 究 33 角度3 应用单调性求解参数范围 例5（1） 若函数是上的单调函数，则实数 的取值范 围是( ) B A. B. C. D. [解析] 因为函数的图象开口向上，所以在 上 单调递增，所以在上单调递增，所以解得 .故选 B. 课 中 探 究 34 （2）已知二次函数在上是增函数，则实数 的 取值范围为________． [解析] 二次函数的图象的对称轴为直线 ，开口 向上，若函数在上是增函数，则，解得，故实数 的取值 范围是 . 课 中 探 究 35 ［素养小结］ （1）已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：视参数为已知数，依据函数 的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数. （2）求分段函数单调性问题要保证两点：一是各段单调，二是“节点”单调.例如 上例（1）中，可判断该分段函数为增函数，则当 时，函数为增函数，且 当 时，要满足左侧的函数值小于右侧的函数值，即整体体现上升的趋势， 反之若分段函数为减函数，则各段均为减函数，且在节点处的函数值满足左大 右小，即整体体现出下降的趋势. 课 中 探 究 36 角度4 应用单调性求最值 例6 已知函数 . （1）求证：在 上是增函数； 证明：任取 ， 则 ， 因为，所以， ， 所以，即 ， 所以在 上是增函数． 课 中 探 究 37 （2）求在 上的最大值及最小值． 解：由（1）可知在上是增函数，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 当时，取得最大值，最大值为 . 所以在上的最大值是 ，最小值是2. 课 中 探 究 38 ［素养小结］ （1）利用单调性求最值的一般步骤： ①判断函数的单调性；②利用单调性写出最值. （2）求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大（小） 值. 课 中 探 究 39 1.若函数在上单调递减,且，则实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. [解析] 函数在上单调递减，且， ，解 得 .故选B. 课 堂 评 价 40 2.若函数在上是增函数,则实数 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. [解析] 因为在 上是增函数，所以 解得 .故选D. 课 堂 评 价 41 3.（多选题）下列函数中，在区间 上是增函数的是( ) ABD A. B. C. D. [解析] 借助函数图象可知，，，在 上都是 增函数，在上为减函数．故选 . 课 堂 评 价 42 4.函数, 的最大值为___. 1 [解析] 易知函数在上是减函数，故其最大值为 . 课 堂 评 价 43 5.已知函数有最小值，则实数 的取值范围是 ________. [解析] 当时， ，则在 上的最小值为 .当时，，当时， ，此时 在上有最小值;当时，要满足在 上有最小值，需 解得.综上，实数的取值范围是 . 课 堂 评 价 44 1.利用图象判断函数的单调区间与最值 单调性反映在图象上，图象在区间 上的部分从左到右是上升（下降）的，说 明函数在区间 上单调递增（单调递减）． 函数最大值的几何意义是函数图象最高点的纵坐标，函数最小值的几何意义是 函数图象最低点的纵坐标． 备 用 习 题 45 例1 如图所示的是定义在闭区间 上的函 数 的图象，该函数的单调递增区间为 _____________． ， [解析] 函数在区间和 上的图象呈上升趋势，故函数在这两个区 间上单调递增，故函数的单调递增区间是和 ． 备 用 习 题 46 例2 如图，将气温 关于时间 的函数 记为 ，观察这个函数的图象， 说出函数的最大值、最小值在函数图象 的什么位置取得？函数的最大值、最小 值各是什么? 解：曲线的最高点的纵坐标为函数的最 大值，最大值为9；曲线的最低点的纵坐标为函数的最小值，最小值为 . 备 用 习 题 47 2.利用函数单调性的定义求参数的取值范围 可利用函数单调性的定义，建立关于参数的不等式（组）或方程，同时注意利 用数形结合的思想，运用逆向思维思考问题． 备 用 习 题 48 例3 已知函数在上是增函数，求实数 的取值范围． 解：设，则 . 因为函数在 上是增函数， 所以 ， 因为，所以，即 . 因为， ， 所以，所以 . 故实数的取值范围是 ． 备 用 习 题 49 3.利用函数的单调性解不等式 利用函数单调性的定义解决某些不等式问题. 例4 若函数在定义域上单调递增，且 ，则实 数 的取值范围是________． [解析] 函数在定义域上单调递增，且 ， 解得.故实数的取值范围是 . 备 用 习 题 50 4.利用单调性求函数最值 利用单调性求函数的最值的步骤为： 第一步，利用函数单调性的定义判断函数在所给定义域内的单调性． 第二步，根据单调性确定函数的最大值、最小值． 例5 设函数，若存在实数,，使在 上的 值域为，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 备 用 习 题 51 [解析] 由得，由复合函数的单调性可知函数 为减函数，故 ，.由 得 ，即 ，则 .由得 . 记，，则， ， ，则 ，又因为 ,，且,均为非负数，所以，故当时， 取到最大 值，但取不到最小值，所以实数的取值范围是 .故选A. 备 用 习 题 52 $$