专题03 圆与相似、函数、新定义的结合（五大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题03 圆与相似、函数、新定义的结合 目录 压轴题型讲练 1 类型一、圆与全等三角形的结合 1 类型二、圆与相似三角形的结合 8 类型三、圆与一次、反比例函数的结合 14 类型四、圆与二次函数的结合 22 类型五、圆与新定义的结合 30 压轴能力测评 40 类型一、圆与全等三角形的结合 例1．如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【详解】（1） 证明：连接 ， ，， 四边形是圆内接四边形， ，且， ； （2） 证明：连接 为直径， ， 又， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （3） 解：过点作于点， 又，， ， 在和中， (AAS)， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得，， 的半径的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 变式1-1．如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若于点M．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：连接， ∵是的内心， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：连接交于点E， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 变式1-2．如图，内接于是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：延长到点E，使，连接，过点B作于点F．如图所示： ∵四边形内接于， ， ， ， ， 设 ∵， ． 在和中， ， （舍去）， ． 变式1-3．如图，在中，，于点C，交的外接圆于点D．连接，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)当，时，求线段的长及的外接圆的半径长． 【答案】(1)见解析； (2)， 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点A作于G， 由（1）知， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴的外接圆的半径长为． 类型二、圆与相似三角形的结合 例2．如图，为的直径，为的弦，D为的中点，交于点F．若，则的值为 ． 【答案】/0.8 【详解】连接，过点A作于点E． 是的中点， ， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 的面积为， ， ． 故答案为：． 变式2-1．如图，为圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线上于点，四分之一，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：连接，连接并延长交圆于点， 四分之一，， ，， 是圆的切线， ， 是圆的直径，点在圆， ， ， 即， ， ，， ， 又， ， ，即， 得， ， ， ， 故答案为：． 变式2-2．如图，内接于，且，过点B作于点D，延长交于点E，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点G．若恰好与相切． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点H．如图， 是的切线， ． ， ， ， ∴垂直平分， ． 同理可得垂直平分， ， 是等边三角形， ． 又， ． （2）解：由（1）可知是等边三角形，， ． 在中，， ， ． 由（1）得， ∴是的中位线， ． ， ∴四边形为矩形， ，， ∴在中，由勾股定理得． ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的知识，涉及直径所对的圆周角为直角、同弧所对圆周角相等、垂径定理、相似三角形的判定和性质、切线性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理和解直角三角形等知识点，解题的关键是熟悉熟悉圆的知识和三角形性质得结合． 变式2-3．【图形定义】有两边之比为的三角形称为智慧三角形例如，在图的中，若，就称为智慧三角形． 【灵活运用】如图，是智慧三角形，，是边上的中线，求的值． 【拓展延伸】如图，是的内接三角形，是直径，过的中点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是智慧三角形； （2）若，则的值为______ ． 【答案】【灵活运用】；【拓展延伸】（1）详见解析；（2） 【详解】灵活运用： 解：是的中线， ， ， ， ， ∽， ； 拓展延伸： （1）证明：点是的中点， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是智慧三角形； （2）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用参数表示线段的长是解题的关键． 类型三、圆与一次、反比例函数的结合 例3．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图．    令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 变式3-2．在平面直角坐标系中，的半径为1，A为任意一点，B为上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“关联距离”，记作． (1)如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数． ①___； ②若点M在线段上，求的取值范围． (2)若点N在直线上，求的取值范围． (3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值． 【答案】(1)①2；② (2) (3)最小值为，最大值为 【详解】（1）解：①到的距离的最小值，最大值， ， 故答案为：2； ②当在点处，， 当在点处，， ； （2）设， ，， ， 点在直线上， 设直线交轴于点，交轴于点，如图1， 则时，，时，， ，，， ，， ， 当时，最小， ，即， ， 无最大值， ； （3）如图2，的最小值为1，最大值为， 两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为， ， 的最小值是， 在中，，，， ， 解得：（舍去）或； 的最小值为，最大值为． 【点睛】此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 变式3-3．对于平面直角坐标系中的点P和，给出如下定义：若上存在点A，使得，则称P为的半角关联点．当的半径为1时 (1)在点中，的半角关联点是 ； (2)直线l：交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点是⊙O的半角关联点，求m的取值范围． 【答案】(1)D，E (2) 【详解】（1）解：由题意可知在圆上存在点A使和， ∴D，E是的半角关联点． 故答案为D，E． （2）解：由直线解析式可得：， 以O为圆心，长为半径画圆，交直线于点G，可得， 设小圆与y轴负半轴的交点为H， 连接 ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴轴， ∴点G的纵坐标为，代入，可得其横坐标为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了半圆关联点、圆的性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，理解半圆关联点的定义是解答本题的关键． 类型四、圆与二次函数的结合 例4．如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】解：∵线段，且轴， ∴设点，则， 把点，代入，得 ，解得， ∴，， 设过A，B两点作半径为5的圆（圆心在AB下方）为，连接，过I作于D，如图， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵Q是的中点， ∴当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动， ∴当经过圆心K时，此时最大， ∵，， ∴的中点， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴将AB下方的部分沿直线AB向上翻折，翻折后抛物线的顶点坐标为， ∴翻折后抛物线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的几何变换，点的坐标，勾股定理，垂径定理，本题属抛物线与几何图形综合题目，解题关键是得出当P在上运动时，点Q在以中点K为圆心，为半径的圆上运动，所以当经过圆心K时，此时最大． 变式4-1．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． (1)求∠AOB的度数； (2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 【答案】(1)45° (2)①（4，0）或（8，4）；② 【详解】（1）∵，点B为抛物线顶点， ∴点B的坐标为（4，－4）． 作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4， ∴∠AOB＝45°． （2）①，解得，， ∴ A点坐标为（8，0）． 作OB的垂直平分线交⊙A于、两点， ∵⊙A半径为4，AH＝4， ∴点H在⊙A上，此时OH＝BH， ∴点H与点重合， ∴坐标为（4，0）． 连接， ∵，， ∴，则坐标为（8，4）， 综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）． ②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8）， 连接MD， ∵点N为OM中点， ∴ ． 如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值， 当点M在点E处时，MD有最小值， ∵点A、D横坐标相同， ∴此时MD⊥x轴， ∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了抛物线与圆的综合知识，抛物线解析式化为顶点式，求抛物线与坐标轴的交点，圆的半径相等的性质，直径是圆中最长的弦，以及等腰三角形三线合一的性质，综合掌握各知识点是解题的关键． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上， ∴a=1， ∴点A的坐标为（1，1）， ∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由题意得平移后的直线解析式为， 如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E， ∴点H的坐标为（0，m） ∴OH=m， ∵点C（-2，2）， ∴CE=OE=2， ∴∠COE=45°， ∴∠DOH=45°， 同理可证∠BOE=45°， ∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB， ∵直线与直线AB平行， ∴OC与直线垂直， 又∵直线与圆C相切于点C， ∴CD与直线垂直， ∴C、O、D三点共线， ∵圆C的半径为1， ∴， ∵∠ODH=90°，∠DOH=45°， ∴∠DHO=45°， ∴， ∴， ∴ 同理当切点D在圆O上方时可以求得， 综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或； （3）解：如图所示，连接PB，PC，BC， 由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点， ∴点B的坐标为（-1，-1）， ∵Q是AP的中点， ∴OQ是△APB的中位线， ∴， ∴要想OQ最大，则PB最大， ∵， ∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC， ∵点C（-2，2），点B（-1，-1）， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 变式4-3．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标为，经过三点，且圆心在轴上． (1)求的值． (2)求的半径． (3)过点作直线，交轴于点，当直线与抛物线只有一个交点时直线是否与相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线与的另外一个交点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)不相切，交点为 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴的值为4； （2）在中， 令，可得， 解得：， ∴， ∴， ∴的半径为； （3）直线与相交． 在中，令，得， ∴， 设直线解析式为，将点代入，可得， ∴直线解析式为， ∵直线与抛物线只有一个交点， ∴方程有两个相等的实数根， 整理，得， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线与的另外一个交点的坐标为， ∵，的半径为5， 则， 解得 （舍去）或， 将代入到，可得， ∴直线与的另外一个交点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、一元二次方程的根的判别式、两点之间的距离等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 类型五、圆与新定义的结合 例5．在平面直角坐标系中，设的半径为，对于外一点，给出如下定义：若上存在点，使点绕点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，则称点是点关于的“逆转点”． (1)如图，当，时， ①点，，中，点 是点关于的“逆转点”； ②若点是点关于的“逆转点”，则点的横坐标的最大值是 ； (2)当时，已知点是直线上一点，记点的横坐标为，当点是点关于的“逆转点”时，求出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：①∵，，则 ∴点绕时针旋转后的对应点在的外部，点绕时针旋转后的对应点在的外部 ∵，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴ ∴     ∴ ∴点绕时针旋转后的对应点为，在内部， ∴点是点关于的“逆转点”； 故答案为：． ②由①可得点绕 逆时针旋转 得到点， ∴点在以为圆心,半径为的上或内部， ∴点横坐标最大值为 （2）点绕上任意一点顺时针旋转得到 ∴ ∴点在以为圆心，为半径的上或内部，且在外部 随着点的运动，则点的轨迹可以生成一个半径为与的圆环，如图所示， ∴点是直线上一点，记点的横坐标为， ∴当到距离为时， 解得：或， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，点与圆的位置关系，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 变式5-1．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)的半径为或 (4) 【详解】（1）解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：或； （2）证明：∵， ∴，，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； （3）解：分别为的中点，连接，，则， ∴， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， 当在圆心同侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； 当在圆心两侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； ∴的半径为或； （4）解：连接，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 变式5-2．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，最大为 【详解】解：（1）过作于，如图1， ，，， ， 四边形是美好四边形，， ， ， ， 在中，， ，， ； （2）存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大，理由如下： 当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2， 过点作于，过点作于， 则， ，， ， ． 当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3， 则， 当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大． 点到湖泊的最近距离为，的半径为， ， 又， 当、、依次共线时最长，如图4， 又时，， 此时四边形面积最大， 此时， ， 故四边形的面积最大为． 变式5-3．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 1．如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接． 为圆O的切线， ． 平分， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． 是的切线．    （2）解：， ， ， ． ． 是直径， ， ， ． 在中，，， ． ． 2．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等知识．属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 3．如图，在中，为直径， 弦于点，连接． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，连接，过点作于点，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，，连接，，，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 (3)的长为 【详解】（1）证明：∵是直径，弦， ∴，且， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵是直径， ∴，，， ∴，点是的中点，且点是的中点， ∴，即， 由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 由（1）可知，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 由（2）可得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握垂径定理，圆周角定理，直径所对圆周角为直角，三角形中位线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用是解题的关键． 4．如图1，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点． 在平面直角坐标系中： (1)如图2，已知点，点在直线上． ①若点，点，则在点O，C，A中，点__________是关于点的内联点； ②若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围； (2)已知点，点，将点绕原点旋转得到点，若关于点的内联点存在，请求出当点落在第四象限时的最大值． 【答案】(1)①，；② (2) 【详解】（1）解：①如图1中，根据点为关于点的内联点的定义，观察图象可知，点，点是关于点的内联点． 故答案为：，． ②如图2中，当点时，此时以为半径的圆与线段有唯一的公共点，此时点是关于点的内联点， 当点时，以为半径的圆，与线段有公共点，此时点是关于点的内联点，观察图象可知，满足条件的的值为． （2）解：如图3中，过点作轴于，过点作轴于． ， ，， ， 点在第四象限，当时，设交于， ，，， ， ， ，， 在中，则有， 解得， ，， ∵轴, , ∴, ∵， ∴， ∴即, 解得， ∵关于点的内联点存在， ∴观察图象可知，满足条件的的最大值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了点为关于点的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题． 5．如图，为的直径，与相交于点，过点的切线，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 为的直径， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， 设的半径为， 则，， ， 解得：（舍，， 的半径长为． 6．如图，是的直径，为上一点，平分交于点．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，即，且， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，交于， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（1）可得，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点时的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，平行性的判定和性质，切线的证明，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合，切线的证明方法，相似三角形的判定，合理构造辅助线是解题的关键． 7．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； (3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)2或4 (3)8 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点，对称轴为直线 、关于对称轴对称， ， 解得：， 即，， 把A、B两点坐标代入中，得， 解得： 则所求函数解析式为； （2）解：对于，令，得， ， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 所以直线的解析式为， 设点， 轴，点Q在抛物线上， Q的坐标为， ； 当与x轴相切时； ， 即，或， 解得：，或， 显然时点P、Q与点A重合，不合题意，则及， 当时，；当时，， 此时的半径分别为2或4； 当与y轴相切时； ， 即，或， 解得：，，或，， 显然时点P、Q与点C重合，不合题意，则及， 此时的半径分别为4或2； 综上，与坐标轴相切时，的半径分别为2或4； （3）解：当时，， 直线过点， ， 轴，且； 联立直线与抛物线的解析式得：， 消去y得：， ， ，， ， ， ， 当时，有最小值16，从而的面积有最小值． 【点睛】本题是二次函数与一次函数、圆、三角形的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，圆的相切，三角形面积，解一元二次方程等知识，综合性强，灵活运用这些知识是关键． 8．新定义：有两边之比为1：的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断和△是否是“勤业三角形”并证明 (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的余弦值 【答案】(1)③④ (2)都是“勤业三角形”，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：①等边三角形各边的比值为1，故等边三角形不是“勤业三角形”； ②等腰直角三角形两直角边的比值为1，直角边与斜边的比为，故等腰直角三角形不是“勤业三角形”； ③设含角的直角三角形的最短边长为a，则斜边长为2a，另一条直角边长为，，故含角的直角三角形是“勤业三角形”； ④如图：中，AB=AC，，过点A作于点D， ， 设，则， ， ， ， 含角的等腰三角形是“勤业三角形”； 故答案为：③④； （2）解：△和△都是“勤业三角形”， 证明如下： 如图：连接，设 ， ， ， ， 又 ， ，即 ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 和都是“勤业三角形”； （3）解：如图：过点G作交DE于点I， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即． 【点睛】本题考查的是新定义问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数的定义等有关知识，作出辅助线是解决本题的关键． 9．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在上存在一点，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O的近距点． （1）在点，，，中，⊙O的近距点是___． （2）若直线上存在⊙O的近距点，求b的取值范围； （3）若点P在直线上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】解：（1）由题意得：OQ=1， ∵P1(1，1)，P2(-，)，P3(0，-)，P4(2，1)， ∴OP1==，则OP1-OQ＜P1Q＜OP1+OQ，即-1＜P1Q＜+1， 故存在P1Q≤1，故点P1符合题意； OP2=，故点P2不符合题意； OP3=，故点P3不符合题意； OP4= =，则-1＜P4Q＜+1，故不存在P4Q≤1，故点P4不符合题意； 故答案为P1； （2）如图1，平移直线l至图示与半径为2的圆相切的位置，即l和l′的位置， 当直线l位于图示l和l′之间的位置时，直线l：y=x+b上存在⊙O的近距点， 设直线l与圆切于点A，则△OAB为等腰直角三角形，则OB=OA=2=b， 同理当直线l处于l′的位置时，b=-2， 故b的取值范围为-2≤b≤2； （3）如图2，作半径为2的同心圆O，与直线y=x+1交于点B、C， 设直线y=x+1与半径为1的圆交于点E、F，则点P点在BE和CF之间的位置时，符合题意， 设点B的坐标为（x，x+1）， 过点B作BH⊥y轴于点H，连接OB、OC， 在Rt△OBH中，OB2=BH2+OH2，即（x+1）2+x2=22，解得x=（舍去负值）， 故=xB， 同理可得，xC=-， 故0＜xP≤或-≤xP＜-1． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、新定义、勾股定理的运用以及一元二次方程的解法等知识，以及数形结合、分类讨论的数学思想，正确理解新定义是解答本题的关键． 10．已知顶点为M（1，）的抛物线经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）． (1)求抛物线的解析式； (2)若P（，），Q（，）是抛物线上的两点，当，时，均有，求m的取值范围； (3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值． 【答案】(1) (2) (3)CI的最小值为 【详解】（1）设抛物线的解析式为， 将C（0，4）代入，得． ∴， ∴ 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，函数的对称轴为：x=1，则x=5和x=－3关于对称轴对称，故其函数值相等，又，时，均有， 结合函数图象可得：，解得：； （3）连接DI，AI，OI， ∵I为△ADG的内心， 所以∠DIA=135°，∠DAI=∠OAI， 又∵IA=IA，DA=OA， ∴，     ∴∠OIA=∠DIA=135°， ∴I在以OA为弦，圆心角∠ANO=90°的圆N的劣弧OA上， 又A（4，0），OA=4，   ∴在等腰Rt△AON中，， ∴ N（2，－2），， 连接NC， ∴， ∴当C、I、N三点共线时，CI最小， ∴CI的最小值为． 【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，待定系数法求抛物线的解析式，三角形内心的理解，三点共线问题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 11．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕着点旋转，可以得到的弦（分别是的对应点）则称线段是以点为中心的的“关联弦”． (1)如图1，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，以点为中心的的“关联弦”是______； (2)如图2，点，，线段是以点为中心的的“关联弦”，求出点的坐标； (3)如果经过点的直线上存在以点为中心的的“关联弦”，求出这条直线与y轴交点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)当，时，；当，时， (3) 【详解】（1）解：作以为中心的对称圆，如图： 只有在上， 故以点为中心的的“关联弦”是； 故答案为：； （2）∵线段是以点为中心的的“关联弦”， ∴为的弦，且，， ∴四边形为平行四边形， 如图： 当时，满足题意，此时； 当时，也满足题意，此时：，即：； （3）作关于的对称圆，过点作的两条切线，切点为，连接，过点作，则：，，，如图， ∵， ∴轴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴； ∴当时，； ∴直线与轴的交点： 同法可得：，直线的解析式为：， ∴当时，， ∴直线与轴的交点： ∴当过点的直线与轴的交点的纵坐标时，满足题意． 【点睛】本题考查成中心对称，平行四边形的判定和性质，切线的性质，一次函数与几何的综合应用等知识点，熟练掌握成中心对称的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 12．已知：对于平面直角坐标系中的点和，的半径为4，交轴于点A，，对于点给出如下定义：过点的直线与交于点，，点为线段的中点，我们把这样的点叫做关于的“折弦点”． (1)若 ①点，，中是关于的“折弦点”的是______； ②若直线（）上只存在一个关于的“折弦点”，求的值； (2)点在线段上，直线上存在关于的“折弦点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①、；②k的值是. (2) 【详解】（1） 解：①如图，∵P为MN的中点， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上， ∵， ∴点P在以为圆心，1为半径的圆上， ∵，，， ∴点，在该圆上，不在该圆上， ∴点，是关于的“折弦点” 故答案为， ②由①可知, 点P在以为圆心，1为半径的圆上， 设圆心为, ∵直线（）上只存在一个关于的“折弦点”， ∴直线（）与相切， 过点D作垂直直线于点F， 当，，解得，当，， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）由（1）可知点P在以为直径的圆上， ∵直线上存在关于的“折弦点”， ∴直线与相交或相切， 点D作垂直直线于点F， ∵直线与y轴交于点，与x轴交于点， 当点C与点A重合时，b有最大值，此时, ∴, 解得或（舍去）， 当点C与点B重合时，b有最小值，此时, ∴, 解得（舍去）或 ∴ 当时，直线上存在关于的“折弦点”. 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，圆的切线性质定理，弄清定义，会画图分析是解题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 圆与相似、函数、新定义的结合 目录 压轴题型讲练 1 类型一、圆与全等三角形的结合 1 类型二、圆与相似三角形的结合 3 类型三、圆与一次、反比例函数的结合 4 类型四、圆与二次函数的结合 6 类型五、圆与新定义的结合 8 压轴能力测评 10 类型一、圆与全等三角形的结合 例1．如图，是的外接圆，为直径，是上一点，且，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的半径长． 变式1-1．如图，I是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)若于点M．求证：． 变式1-2．如图，内接于是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式1-3．如图，在中，，于点C，交的外接圆于点D．连接，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)当，时，求线段的长及的外接圆的半径长． 类型二、圆与相似三角形的结合 例2．如图，为的直径，为的弦，D为的中点，交于点F．若，则的值为 ． 变式2-1．如图，为圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线上于点，四分之一，连接，若，，则的长度为 ． 变式2-2．如图，内接于，且，过点B作于点D，延长交于点E，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点G．若恰好与相切． (1)求证：； (2)若，求的长． 变式2-3．【图形定义】有两边之比为的三角形称为智慧三角形例如，在图的中，若，就称为智慧三角形． 【灵活运用】如图，是智慧三角形，，是边上的中线，求的值． 【拓展延伸】如图，是的内接三角形，是直径，过的中点作，垂足为，交于点，连接交于点． （1）求证：是智慧三角形； （2）若，则的值为______ ． 类型三、圆与一次、反比例函数的结合 例3．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 变式3-1．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 变式3-2．在平面直角坐标系中，的半径为1，A为任意一点，B为上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在上时，），最大值为q，那么把的值称为点A与的“关联距离”，记作． (1)如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数． ①___； ②若点M在线段上，求的取值范围． (2)若点N在直线上，求的取值范围． (3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足的最小值为1，最大值为，直接写出m的最小值和最大值． 变式3-3．对于平面直角坐标系中的点P和，给出如下定义：若上存在点A，使得，则称P为的半角关联点．当的半径为1时 (1)在点中，的半角关联点是 ； (2)直线l：交x轴于点M，交y轴于点N，若直线l上的点是⊙O的半角关联点，求m的取值范围． 类型四、圆与二次函数的结合 例4．如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是 ． 变式4-1．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB． (1)求∠AOB的度数； (2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM， ①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标； ②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围． 变式4-2．如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 变式4-3．如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的左侧），与轴相交于点，点的坐标为，经过三点，且圆心在轴上． (1)求的值． (2)求的半径． (3)过点作直线，交轴于点，当直线与抛物线只有一个交点时直线是否与相切？若相切，请证明；若不相切，请求出直线与的另外一个交点的坐标． 类型五、圆与新定义的结合 例5．在平面直角坐标系中，设的半径为，对于外一点，给出如下定义：若上存在点，使点绕点逆时针旋转后的对应点落在的内部或上，则称点是点关于的“逆转点”． (1)如图，当，时， ①点，，中，点 是点关于的“逆转点”； ②若点是点关于的“逆转点”，则点的横坐标的最大值是 ； (2)当时，已知点是直线上一点，记点的横坐标为，当点是点关于的“逆转点”时，求出的取值范围． 变式5-1．定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 变式5-2．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 变式5-3．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 1．如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 2．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 3．如图，在中，为直径， 弦于点，连接． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，连接，过点作于点，求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，点在弧上，，连接，，，求的长． 4．如图1，对于的顶点及其对边上的一点，给出如下定义：以为圆心，为半径的圆与直线的公共点都在线段上，则称点为关于点的内联点． 在平面直角坐标系中： (1)如图2，已知点，点在直线上． ①若点，点，则在点O，C，A中，点__________是关于点的内联点； ②若关于点的内联点存在，求点纵坐标的取值范围； (2)已知点，点，将点绕原点旋转得到点，若关于点的内联点存在，请求出当点落在第四象限时的最大值． 5．如图，为的直径，与相交于点，过点的切线，垂足为点． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 6．如图，是的直径，为上一点，平分交于点．过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． 7．如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，对称轴轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AC上一动点，过点P作轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作，当与坐标轴相切时，求的半径； (3)直线与抛物线交于M，N两点，求面积的最小值． 8．新定义：有两边之比为1：的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断和△是否是“勤业三角形”并证明 (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的余弦值 9．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O和⊙O外的点P，给出如下的定义：若在上存在一点，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为⊙O的近距点． （1）在点，，，中，⊙O的近距点是___． （2）若直线上存在⊙O的近距点，求b的取值范围； （3）若点P在直线上，且点P是⊙O的近距点，求点P横坐标的取值范围． 10．已知顶点为M（1，）的抛物线经过点C（0，4），且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右边）． (1)求抛物线的解析式； (2)若P（，），Q（，）是抛物线上的两点，当，时，均有，求m的取值范围； (3)若在第一象限的抛物线的下方有一个动点D，满足DA=OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值． 11．在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕着点旋转，可以得到的弦（分别是的对应点）则称线段是以点为中心的的“关联弦”． (1)如图1，点的横、纵坐标都是整数．在线段中，以点为中心的的“关联弦”是______； (2)如图2，点，，线段是以点为中心的的“关联弦”，求出点的坐标； (3)如果经过点的直线上存在以点为中心的的“关联弦”，求出这条直线与y轴交点的纵坐标的取值范围． 12．已知：对于平面直角坐标系中的点和，的半径为4，交轴于点A，，对于点给出如下定义：过点的直线与交于点，，点为线段的中点，我们把这样的点叫做关于的“折弦点”． (1)若 ①点，，中是关于的“折弦点”的是______； ②若直线（）上只存在一个关于的“折弦点”，求的值； (2)点在线段上，直线上存在关于的“折弦点”，直接写出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$