第二十七章 圆与正多边形（9大题型）（45道压轴题专练）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（沪教版）

第二十七章 圆与正多边形（9大题型）（45道压轴题专练） 压轴题型一 垂径定理问题 1．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接、，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 2．如图，在中，，，于D，O为上一点，以O为圆心，为半径的圆交于G，交于E、F，且． (1)求的长； (2)连接，求的余切值． 3．如图，已知平行四边形的三个顶点、、都在半径为5的上，且，垂足为点，．    (1)求平行四边形的边的长； (2)延长线段交于点，求点到的距离． 4．如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，， (1)求：的长度 (2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离 5．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 压轴题型二 圆周角与圆心角问题 6．如图，点在上，顺次连接，且，． (1)求的度数； (2)若的半径为2，求的面积． 7．已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且． (1)如图1，如果平分，求证：； (2)如图2，如果，求的值； (3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 8．如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 9．如图，是的直径，以为腰作等腰，底边交于点，连接，延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 10．如图，的边是的直径，点在上，点是边上的一点，点和点关于对称，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点，线段交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)联结，当时，求证：． 压轴题型三 直线与圆的位置关系问题 11．如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 12．如图①，已知：在矩形的边上有一点O，，以O为圆心，长为半径作圆，交于M，恰好与相切于H，过H作弦，弦．若点E是边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线交于F，再把沿着动直线对折，点C的对应点为G．设，与矩形重叠部分的面积为S． (1)求矩形的周长； (2)的直角顶点G能落在上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由； (3)求：S与x之间的函数关系式及其定义域，并直接写出与相切时，S的值． 13．如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接、． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 14．如图，是的直径，连接交于点，连接、，使得． (1)试判断与的位置关系并说明理由 (2)若点是的中点，与交于点，求证：． 15．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 压轴题型四 正多边形问题 16．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 17．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图②，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °． 对角线：…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_______． (2)如图③，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图④，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 18．在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 19．如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 20．【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 压轴题型五 弧长、扇形面积问题 21．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 22．如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 23．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求、、的度数． (3)过点作于点，若，，求的长． 24．如图，内接于，为直径，的平分线交于点D，交于点，过点D作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 25．如图，在中，，．过点，与交于点，连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，刚好过的中点，交弦于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 压轴题型六 圆中多结论问题 26．图1是一张圆形纸片；如图2，将圆形纸片作两次对折，且折痕，垂足为点；如图3，把纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点，重合，折痕与相交于点，连接，，，．下列四个结论中错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．为等边三角形 C． D． 27．已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 28．如图，正方形中，E是上一点， 将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 29．如图，在菱形中，，对角线，交于点，动点在边上（不与点重合），连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，现有以下结论：①点，之间的距离为定值；②；③的值可以是；④或．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 30．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的 ．（填序号） ；当时，点恰好落在弧上；当与半圆相切时，；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是． 压轴题型七 圆中翻折、旋转问题 31．如图，在等边三角形中，，点E是射线上的一个动点，点D随着点E的运动而在射线上运动，连接，始终有，是的外接圆． (1)为如图1，若点D在边上，求证：是的切线； (2)如图2，若圆心O在边上时，求的长； (3)如图3，当点E运动到边的延长线上时，将的优弧沿直线翻折，交的垂线于点F，若，求弧的长． 32．点D是以为直径的⊙O上一点，点B在延长线上，连接交⊙O于点E．    (1)如图1，当点E是的中点时，连接，求证：； (2)连接将沿所在的直线翻折，点B的对应点落在⊙O上的点F处，作交于点G． ①当E，G两点重合时（如图2），求与的面积之比； ②当时，求的长． 33．在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质． 【操作探究】（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点旋转，得到，当的顶点恰好落在的斜边上时，斜边与交于点． ①猜想：__________； ②证明：； 【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知，，求的长； 【拓展提升】（3）如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 34．【问题背景】 已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当时， °； 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F． ①如图2，若，求证： ②如图3，当， 时，请仿照图2补全图形． (a)判断过点O、E、C三点能不能作一个圆，并说明理由； (b)探究与之间的数量关系，并写出探究过程． 35．已知在等边中，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转，若，则 ，四边形的面积为 ； (2)在图中依题意补全图形，并求的度数； 取的中点，连接，交直线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 压轴题型八 圆中新定义问题 36．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 37．我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，且相似比为，则原三角形叫做“友好三角形”； (1)如图1，已知在中，，，求证：是“友好三角形”； (2)如图2，在的网格图中，点A、B在格点上，请在图中画出一个符合条件的“友好三角形”，要求点在格点上； (3)如图3，在（1）的条件中，作的外接圆，点是上的一点，，连接DE； ①设，，求关于的函数关系式； ②当时，求的半径． 38．在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”． (1)如图1，是的弦，作作、，分别交于点，连接交于点E．求证：、是的等垂弦； (2)如图2，的半径为5，、是的等垂弦，与交于点，，求的长． 39．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； 【深入研究】 （1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，顶点、的坐标分别为、．则的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角中，，，则的最小覆盖圆的半径为______． 【生活应用】 某地有四个村庄，，，（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为______． 40．（1）如图1，在中，，，，若的半径为2，点在上，是线段上一动点，连接，求线段的最小值，并说明理由．    新定义：在平面直角坐标系中，已知点为定点，对点给出如下定义，在射线上，若（，且为整数），则称是点的“倍点”． （2）如图2，点是半径为1的上一点，且，是点的“二倍点”，点为直线上一点，是否存在点，使得线段最小；若存在，请求出的最小值，并直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．    压轴题型九 圆中各类最值问题 41．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点． (1)在图中确定点的位置，使最小． (2)求的最小值． 42．问题提出 （1）如图①，半圆O的直径，C是的中点，点D在上，且，P是上的动点，试求的最小值． 问题解决 （2）如图2，扇形花坛的半径为，．根据工程需要，现想在上选点P，在边上选点E，在边上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形，试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计） 43．如图1，已知矩形中，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以长为半径作． (1)如图2，当与相切时，求的半径长． (2)当点O运动到何处时，的半径最小?求出最小半径． (3)在点O运动的过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 44．【问题提出】 （1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由． 45．已知抛物线经过点．    (1)求抛物线解析式和直线的解析式； (2)若点是第四象限抛物线上的一点，若，求点的横坐标； (3)如图2，点是线段上的一个动点（不与重合），经过三点的圆与过且垂直于的直线交于点，求当最小时点的坐标及最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 圆与正多边形（9大题型）（45道压轴题专练） 压轴题型一 垂径定理问题 1．如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接、，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂径定理得出，利用线段垂直平分线定理得出，利用等腰三角形三线合一性质得出，利用等边对等角得出，等量代换得出，可证，再利用相似三角形的性质即可得证； （2）在中，利用勾股定理求出半径，在中，利用勾股定理求出，然后利用（1）中相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵直径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴， 设半径为r， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 整理得， 解得 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解是解题的关键． 2．如图，在中，，，于D，O为上一点，以O为圆心，为半径的圆交于G，交于E、F，且． (1)求的长； (2)连接，求的余切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，垂径定理，三线合一定理等等： （1）先由垂径定理，三线合一定理得到，，进而得到，，可得，证明，可得，解方程即可得到答案； （2）过点G作于M，则，可证明，利用相似三角形的性质得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 设，则 又∵， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：如图所示，过点G作于M，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 3．如图，已知平行四边形的三个顶点、、都在半径为5的上，且，垂足为点，．    (1)求平行四边形的边的长； (2)延长线段交于点，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1，连接，由题意知，，由，可得，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）如图2，连接，作于，则为点到的距离，证明，则，即，可求，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，             图1 由题意知，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为； （2）解：如图2，连接，作于，则为点到的距离，          图2 ∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴点到的距离为． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构如图2所示，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端E，F与台面下方相连，与的下端P，Q与直径为的脚轮（侧面是圆）相连（衔接之间的距离忽略不计），直线型支架与的上端C，D与台面下方相连，下端G，H与，相连，圆弧形支架分别与，在点G，H相连，且，已知，， (1)求：的长度 (2)当所在的圆经过点P、Q时，求：所在的圆的圆心到台面之间的距离 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用，理解和灵活运用垂径定理，并能够熟练地解直角三角形是解答本题的关键． （1）过点，交于点M．连接．根据已知条件求出、，由勾股定理计算的长度； （2）设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N．由垂径定理求得、，由勾股定理和半径相等列方程，求出，进而求出圆心到的距离． 【详解】（1）解：过点G作，交于点M．连接． 由题意可得：，， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设点O为所在圆的圆心．连接、、、，过点O作OK⊥GH，交GH于点K，交PQ于点N． 由垂径定理，得， ∴． ∴． ∵，，且， ∴， ∴，即， 解得． ∴． ∴所在的圆的圆心到台面之间的距离为． 5．新定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)若是“近直角三角形”，，，则______度； (2)如图1，在中，，，．若是的平分线，在边上是否存在点（异于点），使得是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连接交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的值． 【答案】(1)20 (2)存在， (3)的值为或 【分析】（1）不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则 （2）由，则，即，即，解得：，即可求解 （3）①如图2所示，当时，设，则，则，即，解得：，即可求解； ②如图3所示，当时，，则，则（圆的半径），点是的中点，则，在中，，由三角函数可求解． 【详解】（1）解：不可能是或， 当时，，，不成立； 故，，，则， 故答案为20； （2）存在，理由： 在边上是否存在点（异于点，使得是“近直角三角形”， ，，则， 则， 设，则， ∴， ∴， ∵， 则， 即，即，解得：， 则； （3）①如图2所示，当时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则，则， ， 过点作于点， 设，则， 则，即，解得：； ，则， 则； ②如图3所示，当时， 过点作交于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴点是圆的圆心（的中垂线与直径的交点）， ∴， ，， ， ∴， 则， 则，则（圆的半径）， ∵点是的中点，G为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ，， ， ， 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定与性质，三角函数值，圆周角等知识．属于圆的综合题，解决本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来． 压轴题型二 圆周角与圆心角问题 6．如图，点在上，顺次连接，且，． (1)求的度数； (2)若的半径为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆中弧、弦、角的关系，垂径定理以及勾股定理等知识点，掌握相关结论即可． （1）根据即可求解； （2）求出的度数可得，过点作交于点，连接，分别求出即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． （2）解：∵，， ∴， ， 如图，过点作交于点，连接， 则过， 由（1）可得． 因为 ∴是等边三角形， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴． 7．已知是的一条弦，点在上，连接并延长，交弦于点，且． (1)如图1，如果平分，求证：； (2)如图2，如果，求的值； (3)延长线段交弦于点，如果是等腰三角形，且的半径长等于2，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明即可解决问题． （2）如图2中，作于，于，设．首先证明，解直角三角形求出，（用表示）即可解决问题． （3）由，推出，分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，分别求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， 平分， ， ， ，， ， ， ∴， ， ． （2）解：如图2中，作于，于，设． ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ． （3）解：如图中，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 解得或（舍弃）， ． 如图中，当时，可得是等腰直角三角形， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题． 8．如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明； （2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵为半圆的中点， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴． （2）证明：连接，，交于， 由（1）可知平行四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 9．如图，是的直径，以为腰作等腰，底边交于点，连接，延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径为 【分析】（1）根据是的直径可得，根据等腰三角形的“三线合一”可得平分，再根据同弧所对圆周角相等即可求证； （2）根据题意可得，是直角三角形，根据，可得，设，在中，可求出，结合（1）中等腰三角形，可用含的式子表示的长，在中运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵是的直径， ∴，即， ∴平分，即， 在中，圆周角与圆周角所对弧相同， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴是直角三角形，且由（1）可知，，则， ∵圆周角与圆周角所对弧相同， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴，则， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴的半径为 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，掌握等腰三角形的判定和性质，同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角，正切值的计算方法，勾股定理等知识的综合运用是解题的关键． 10．如图，的边是的直径，点在上，点是边上的一点，点和点关于对称，交边于点，过点作的垂线交的延长线于点，线段交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)联结，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用三个角是直角的四边形是矩形，即可得证； （2）证明比例式，首先化成乘积式，然后找到相似的三角形，再证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 点和点关于对称， ， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）如图，连接， ， ， ， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， ， ， ， ， 即， 由得， ， ， 即． 【点睛】本题考查了矩形的判断、三角形相似，解题的关键是熟练矩形的判断方法，以及三角形相似的判断方法． 压轴题型三 直线与圆的位置关系问题 11．如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以为圆心，为半径的圆与边交于、两点． (1)当圆与边相切时，求的长； (2)设，的面积为，求y关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当圆与平行四边形的边有个交点时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)，定义域为： (3)或 【分析】本题考查圆与平行四边形综合，涉及圆的切线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，函数的解析式，定义域，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键． （1）设圆与相切于点，连接，证明，利用相似对应边比相等列式求解即可； （2）过点作于点，通过解得，，利用垂径定理求出，求出，即可求解析式，由点在边上，求出当点与点重合时的值，即可求解； （3）①由题可得当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点；②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点；分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，设圆与相切于点，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，如图， 可得， 则， 由点在边上， 则定义域为：， 综上，，定义域为：； （3）解：当过点时， ∵， ∴此时点也在上， ①当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点， 又当与边相切时， 由（1）可得此时， 当与边相切时，如图，设切点为点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当与边相切后，至与边相切前，与平行四边形的边有四个交点，此时的取值范围为：； ②当过点、、时，与平行四边形的边有四个交点， 由（2）可知此时； 综上，的取值范围为：或． 12．如图①，已知：在矩形的边上有一点O，，以O为圆心，长为半径作圆，交于M，恰好与相切于H，过H作弦，弦．若点E是边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线交于F，再把沿着动直线对折，点C的对应点为G．设，与矩形重叠部分的面积为S． (1)求矩形的周长； (2)的直角顶点G能落在上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由； (3)求：S与x之间的函数关系式及其定义域，并直接写出与相切时，S的值． 【答案】(1) (2)能， (3)， 【分析】（1）连接，可以求出，，从而可以求出； （2）当点落到上时，可以证到点与点重合，可求出． （3）当时，如图①，，只需求出，就可得到与之间的函数关系式；当时，如图④，，只需求出、，就可得到与之间的函数关系式．当与相切时，如图⑤，得，．再由即可求出，从而求出． 【详解】（1）证明：连接，如图①所示． 四边形是矩形， ，，． ， ． ． ． ， ． 与相切于点， ． ． ． ． ． ，． ． ∴矩形的周长； （2）的直角顶点能落在上． 如图②所示，点落到上． ， ． ， ． 由折叠可得：． ． ， ．． ． ． ，． ． ． ． 点与点重合． 此时的直角顶点落在上，对应的的值为2． 当的直角顶点落在上时，对应的的值为2． （3）如图①， 在中， ． ． ． 如图③， ，， ． ， ． ． ． ， ． ． 综上所述： 当与相切于点时，延长交于点，过点作，垂足为，如图④所示． 四边形是矩形， ， ． ， ． ． ， 四边形是矩形． ，． ． 在中，． ． ． 解得：． ， ． 与相切时，的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强． 13．如图1，在边长为6的正方形中，E是边的动点，以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F，连接并延长交于点G，连接、． (1)求证：； (2)如图2，与相交于点H，连接并延长交于点K，当满足时，试判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与的位置关系是相切，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理和性质定理，找出全等三角形是解题关键． （1）根据正方形的性质和圆的切线的性质，可证，进而推出，利用“”即可证明； （2）同（1）理可证：，推出，从而得出，证明，得到，进而得到，证明出是的切线，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 以E为圆心，为半径作圆，与相切于点F， ，， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：与的位置关系是相切，理由如下： 四边形是正方形， ， 同（1）理可证：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， 是半径， 是的切线． 14．如图，是的直径，连接交于点，连接、，使得． (1)试判断与的位置关系并说明理由 (2)若点是的中点，与交于点，求证：． 【答案】(1)相切，理由见详解 (2)见详解 【分析】（1）由圆周角定理得到，证得，根据相似三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可证得结论； （2）由弧和圆周角的关系证得，根据直角三角形的性质和三角形的外角定理证得，由等腰三角形的判定定理即可证得结论． 【详解】（1）解：相切，理由如下， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）证明：∵， ∴， 点是的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧和圆周角的关系，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 15．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）如图，连接，过点作于，证明，得到，即可求证； （）连接，并反向延长交于，连接，可得，得到，，进而得为等腰直角三角形，得到，设的半径为，则，，可得，即得，得到，即可得，得到，，再由可得，得到，最后利用勾股定理得到，进而利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 压轴题型四 正多边形问题 16．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 17．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）—猜想—推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图①，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图②，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为 ▲ °． 对角线：…… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_______． (2)如图③，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图④，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】（1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过全等很容易证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一：作法二：． 【点睛】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． 18．在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）由正多边形的性质证明，可得，再证明是等边三角形，从而可得结论； （2）①按照题干的要求作线段的垂直平分线，再作圆即可；②过点O作，垂足为P，连接， 证明．结合，，．从而可得结论； 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴点H，G三等分． （2）①解：如图，即为所求作．    ②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴是①所作圆的切线． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键． 19．如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． 20．【问题提出】 在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案． 说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面．喷洒覆盖率，为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积． 【数学建模】 这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题． 【探索发现】 （1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率______． （2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；，以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由． （3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点F，G，H，E，使得，设，的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值． 【问题解决】 （4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率？（直接写出结果即可） 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）；当取得最小值时；（4） 【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解； （2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解； （3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （4）根据（3）的结论可得当圆为正方形的外接圆时，面积最小，则求得半径为的圆的内接正方形的边长为，进而将草坪分为个正方形，即可求解． 【详解】（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积． 正方形草坪的面积． 故喷洒覆盖率． （2）对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为． 因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为． 这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用． （3）如图所示，连接， 要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积． ∴都经过正方形的中心点， 在中，，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，此时 解得： （4）由（3）可得，当的面积最小时，此时圆为边长为的正方形的外接圆， 则当时，圆的内接正方形的边长为 而草坪的边长为，，即将草坪分为个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少， ∴至少安装个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率 【点睛】本题考查了正方形与圆综合问题，二次函数的应用；本题要求我们先理解和计算喷洒覆盖率，然后通过调整喷洒装置的数量和喷洒半径来分析喷洒覆盖率的变化，最后在一个特定的条件下找出喷洒面积和喷洒半径之间的函数关系．解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案． 压轴题型五 弧长、扇形面积问题 21．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”． (1)如图1，是的一条弦（非直径），若在上找一点C，使得C是“圆等三角形”，则这样的点C能找到_______个． (2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线和均为“圆等三角形”，且． ①当时，求的度数； ②如图3，当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)4 (2)①或或，② 【分析】本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题． （1）根据等腰三角形的画法画图即可判断； （2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答； ②连结、、，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，使得是“圆等三角形”，则这样的点能找到4个， 故答案为：4． （2）解：①∵四边形是圆内接四边形，，， ，， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，的度数为或或； ②连结、、． ∵四边形是圆内接四边形，， ， ∵是圆等三角形， ∴是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扇形的面积为：， 阴影部分面积为：． 22．如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． (1)把沿翻折，点O的对称点为点Q． ① 当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ② 如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为 H，，求的长，猜想并直接写出三者之间的数量关系； (2)如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】(1)①；②，，理由见解析 (2) 【分析】（1）①连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解；②过点O作，垂足为点G，则，根据可得，由此即可求解； （2）将沿着翻折得，过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D，则四边形是矩形，中，可求出，在中，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：连接，由翻折得    ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴弧长为：； ②过O作，垂足为点，则（垂径定理），    ∴， ∵翻折， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴，，即， ∴， ∴； （2）如图所示，将沿着翻折得 过点Q作，垂足为点H，过点P作，垂足为点D    ∵ ∴四边形是矩形 由折叠和 (1) 可知， ∵， ∴ ∴， 中， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：． (2)若，求、、的度数． (3)过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理推知，然后由等腰三角形的性质证得结论； （2）连接，，根据已知条件得到，，所以根据三角形内角和定理求得的度数，即可得解； （3）根据等腰三角形的性质可求出，再利用相似三角形的判定和性质得出，进而求出，进而求出，再由三角形中位线定理以及正三角形的性质求出相应的圆心角度数和圆的半径，由弧长公式可求出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接． 是圆的直径， ． 又， ． （2）解：连接，， ，， ， ， ， 在中，， 又， ， ， ，， ． （3）解：如图，连接， ，， ， 又， ， ， 由于，可设，则，， ， 解得， 经检验是原方程的根， 即， ， ，， 是的中位线， ，， ， 是正三角形， ， 弧的长为． 【点睛】考查了三角形综合题，综合应用了圆周角定理，圆心角定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． 24．如图，内接于，为直径，的平分线交于点D，交于点，过点D作，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由是的直径，得，则，所以，由，，即可证明是的切线； （2）先证明，得，则，设，则，即，由勾股定理理，即可求得，再由求出图中阴影部分的面积即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：，， ， ， ，， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积是． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、平行线的性质、切线的判定定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 25．如图，在中，，．过点，与交于点，连接并延长，交于点，交于点，连接并延长，刚好过的中点，交弦于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先求出，再证明，得到，则可证明，进而推出，据此可证明结论； （2）先由同弧所对的圆周角相等得到．再由，即可证明． （3）连接．可得，则．即可证明是等边三角形，则，再根据进行求解． 【详解】（1）证明：，， ． ，且为的中点， ， ， ， ，即． 又为的直径， 为的切线． （2）证明：， ． 又， ． （3）解：如图，连接． ， ， ∵， ∴ ． 又， 是等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，求不规则图形面积，同弧所对的圆周角相等，熟知相关知识是解题的关键． 压轴题型六 圆中多结论问题 26．图1是一张圆形纸片；如图2，将圆形纸片作两次对折，且折痕，垂足为点；如图3，把纸片展开后，再将圆形纸片沿弦折叠，使两点，重合，折痕与相交于点，连接，，，．下列四个结论中错误的是（    ） A．四边形是菱形 B．为等边三角形 C． D． 【答案】D 【分析】由翻折性质以及垂径定理证明菱形即可判断A；由等边对等角作出判断即可；先判断为等边三角形，再根据勾股定理即可得出结论；利用扇形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ． 由垂径定理知垂直平分， ，互相垂直平分， 四边形是菱形，故选项A正确，不符合题意； ， ， ． ， ， ，． 同理可得， ， 是等边三角形，故选项B正确，不符合题意； ， ，， ． ，， 是等边三角形， ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 设圆的半径为，则， ， ，故选项D错误，符合题意． 故选：D 【点睛】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，平行线的判定，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系是关键． 7．已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 【答案】C 【分析】由题意得到点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动，在上取点M，使得，连接，根据动点的运动轨迹，结合点到圆上的最值距离，利用勾股定理逐一求值判断即可． 【详解】解：如图，由题意可得：点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动， 在上取点M，使得，连接， A、当点三点共线时，即点M与点Q重合，有最小值， ， ， 的最小值为3，正确，不符合题意； B、当点三点共线时，即点P与点N重合，有最小值， ， ， 最小值为，正确，不符合题意； C、为定值， 有最大值时，有最大值， 如图，当点三点共线，且点B在点D与点P中间时，有最大值， ， ，此时， 的最大值是，错误，符合题意； D、， ， ， 当点三点共线时，即点P与点G重合，有最小值，最小值为的长， ， ， 的最小值为5，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点到圆上距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正确作出辅助线找到动点轨迹是解题的关键． 28．如图，正方形中，E是上一点， 将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等腰直角三角形的性质与判定，先由折叠的性质可得，再由角平分线的定义可得，进而证明，则是等腰直角三角，即可判断①；证明四点共圆，即可判断②；证明四点共圆，即可判断③；在中，由勾股定理得，由等面积法得到，则，即，即可判断④． 【详解】解：根据翻折可知，点A和点F关于对称， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴．故①正确； 如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴，故②正确； 如图所示，连接， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴，故③正确； ∵正方形的边长为2，点E是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有4个， 故选：D． 29．如图，在菱形中，，对角线，交于点，动点在边上（不与点重合），连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，，现有以下结论：①点，之间的距离为定值；②；③的值可以是；④或．其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】本题考查菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，连接，根据菱形的性质和垂直平分线得到是的中位线，得到，然后逐个推理即可． 【详解】解：如图，连接， 由题可得是的中点，是的中点， 是 的中位线， ， 点在平行于的直线上运动， 点，之 间的距离不为定值， ①说法错误； 当点在线段上时， 四边形是菱形，， ，，， ， ； 当点在线段上时，此时点在直线上方， ∴， 或， ④说法正确； ∵是的垂直平分线， ， 菱形的对角线，交于点， ， 点，，，在以线段为直径的圆上， ∴， ∴， 在中，， ②说法正确； 当点与点重合时，取最小值， 此时， ∵为定值， ∴取最小值时，得最小值， 最小值大于，故不可能取到． 故③说法错误． 故答案为：②④． 30．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的 ．（填序号） ；当时，点恰好落在弧上；当与半圆相切时，；当点从点运动到点时，线段扫过的面积是． 【答案】 【分析】由点与点关于对称可得，再根据即可证到；连接，证明，，，是等边三角形即可，连接，，易证是等边三角形，，根据含角的直角三角形的性质求出长，首先根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故正确， 连接，如图所示： ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴点与点重合， 即：与重合， ∴， ∴点恰好落在弧上，故正确， 连接，，如图所示： ∵与半圆相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴，故错误， ∵点与点关于对称，点与点关于对称， ∴当点从点运动到点时，点的运动路径与关于对称，点的运动路径与关于对称， ∴扫过的图形面积就是图中和面积， ∴， ， ∴扫过的面积为，故错误， 综上正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，切线的性质，轴对称的性质，含角的直角三角形判定和性质，求图形面积等知识，熟练掌握几何图形的性质和判定是解题的关键． 压轴题型七 圆中翻折、旋转问题 31．如图，在等边三角形中，，点E是射线上的一个动点，点D随着点E的运动而在射线上运动，连接，始终有，是的外接圆． (1)为如图1，若点D在边上，求证：是的切线； (2)如图2，若圆心O在边上时，求的长； (3)如图3，当点E运动到边的延长线上时，将的优弧沿直线翻折，交的垂线于点F，若，求弧的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 (3) 【分析】（1）连接交于点，连接，得出，结合是等边三角形，得出，，，即可证明； （2）当圆心O在边上时，则 ，得出，，根据，得出，即可得，结合，即可求出； （3）连接．根据是等边三角形，得出，结合，得出，判断出垂直平分， 再证明垂直平分，即可得为翻折后的圆心，解得，根据弧长公式即可求解； 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：当圆心O在边上时， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： 连接． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ， ， ∴． 垂直平分，， ∵， ∴是等边三角形， 垂直平分， ∴为翻折后的圆心， ， ， ∴弧的长． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，切线的判定，弧长公式，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 32．点D是以为直径的⊙O上一点，点B在延长线上，连接交⊙O于点E．    (1)如图1，当点E是的中点时，连接，求证：； (2)连接将沿所在的直线翻折，点B的对应点落在⊙O上的点F处，作交于点G． ①当E，G两点重合时（如图2），求与的面积之比； ②当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②当交点G在E的下方时，，当交点G在E的上方时， 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和圆周角性质得出即可； （2）①证明四边形是菱形，再求出即可；②分类讨论，当交点G在E的下方时和当交点G在E的上方时，画出图形，再解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：∵为⊙O的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：由折叠可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为⊙O的直径， ∴， 设，则，，， 由折叠可知与的面积相等， 与的面积之比就等于； ②如图，当交点G在E的下方时，直线和直线交点为M， 由折叠可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为⊙O的直径， ∴， ∵， ∴，， 作于P，则， ∵， ∴∽，，，， ∴，，四边形是矩形，， ∴，， 设，则，， ， ∴， 解得，（舍去）， ， ，    如图，当交点G在E的上方时，直线和直线交点为M， 同理可求，，， 作于P，则， 设，则，， ， ∴， 解得，（舍去）， ， ， ．    【点睛】本题考查圆的综合与相似三角形的判定与性质，解题关键是恰当作出辅助线，利用圆的性质和相似等知识进行推理证明与计算． 33．在学习图形的旋转时，创新小组同学们借助三角形和菱形感受旋转带来图形变化规律和性质． 【操作探究】（1）如图1，已知，，将绕着直角边中点旋转，得到，当的顶点恰好落在的斜边上时，斜边与交于点． ①猜想：__________； ②证明：； 【问题解决】（2）在（1）的条件下，已知，，求的长； 【拓展提升】（3）如图2，在菱形中，，，将菱形绕着中点顺时针旋转，得到菱形，当菱形的顶点分别恰好落在菱形的边和对角线上时，菱形的边与边相交于点N，请直接写出的长． 【答案】（1）①，②证明见解析；（2）；（3）的长为或． 【分析】（1）①依据题意，可得从而在以G为圆心，为半径的圆上，根据圆周角定理可得到的度数； ②依据题意，由旋转的性质可知，，又，进而可以得解； （2）依据题意可求出的长，又的锐角顶点恰好落在的斜边上，从而可得在以为圆心，为半径的圆上，则，进而求出，再结合，可得设，则，，进而建立方程计算可以得解； （3）依据题意，分两种情形进行讨论：①当落在上时，②当落在上时，分别求解即可． 【详解】解：①由题意可知，， ∴、、在以为圆心，为半径的圆上， ， 故答案为：； ②证明：由旋转的性质可知， ， ； （2）∵，，， ∴，， 的锐角顶点恰好落在的斜边上， ， ∴在以为圆心，为半径的圆上， ， ， ， ， ∵， ， 设，则，， ， ∴解得：， 经检验，是方程的解， ∴， ， （3）①当E落在上时，如图所示，连接， 由是中点和旋转可知，， 又∵， ， ， ， 又∵四边形是菱形， ， ∴和在同一直线，在的延长线上，由（1）①可知，(已证)， ， ， ∵菱形中，，，如图所示， ，， ， ， 又∵， ， 在中，，， ， 和菱形等底等高， ， ， ， ； ②当落在上时，如图所示，作交于点，如图： 由旋转可知，， ， ∵四边形是菱形， ，， ∴在对角线的中点上，即在和的交点上， ∵是的中点，是的中点， ，，，， 由旋转可知，， ， ， ， ∴四点共圆， 如图所示，连接和， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ∴的长为或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 34．【问题背景】 已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当时， °； 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F． ①如图2，若，求证： ②如图3，当， 时，请仿照图2补全图形． (a)判断过点O、E、C三点能不能作一个圆，并说明理由； (b)探究与之间的数量关系，并写出探究过程． 【答案】（1）40；（2）①见解析；②图见解析；(a)过点O、E、C三点能不能作一个圆，理由见解析；(b) ，过程见解析 【分析】（1）由切线的性质得，进而求出，由等角对等边得，然后由三角形内角和即可求解； （2）①先证明，然后根据证明得，进而可证明结论成立； ②仿照图2，根据题意画出图形即可； (a)证明点O，C，E共线即可得出结论； (b) 过点O作于点G，于点H，可求，由等腰，结合等腰三角形的性质及勾股定理，求得，可证明，故在中，，进而可得出结论． 【详解】（1）∵是的切线， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：40； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②补全图形如图： (a) 过点O、E、C三点能不能作一个圆，理由： 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点O，C，E共线， ∴过点O、E、C三点能不能作一个圆； (b) 过点O作于点G，于点H， 在，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴设， ∴由勾股定理得， ∴， ∴在中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 35．已知在等边中，将线段绕点旋转，得到线段，连接，． (1)如图，将线段绕点顺时针旋转，若，则 ，四边形的面积为 ； (2)在图中依题意补全图形，并求的度数； 取的中点，连接，交直线于点，连接．用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)，； (2)；，理由如下见解析． 【分析】（）由是等边三角形，，，证明，，则，，由即可求解，由旋转可知，，则， 同理可得:，然后利用角度和差即可求解； （）设， 则，进而表示出和，进一步得出结果； 在上截取，连接，设则，，根据等腰三角形的性质得，，则，，再证明共圆，根据圆周角定理的，，从而证明是等边三角形，最后，根据全等三角形的性质和线段和差即可求证． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角度和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，圆周角定理等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 设，交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 同理可得:， ∴， 故答案为：，； （2）如图， 设，则， ∵， ∴， ， ∴； ，理由如下： 如图， 在上截取，连接， 设则，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴共圆， 如图， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 压轴题型八 圆中新定义问题 36．新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形． 【问题提出】 （1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊的边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，最大为 【分析】本题主要考查了新定义美好四边形，勾股定理，圆的性质，三角形的面积等知识，证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大是解题的关键． （1）过作于，先利用勾股定理求出，再分别求和； （2）先证明对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大，最大值为对角线乘积的一半，再确定的最大值，即可得到答案． 【详解】解：（1）过作于，如图1， ，，， ， 四边形是美好四边形，， ， ， ， 在中，， ，， ； （2）存在这样的点，满足，且使得四边形的面积最大，理由如下： 当对角线相等的四边形对角线不垂直时，如图2， 过点作于，过点作于， 则， ，， ， ． 当对角线相等的四边形对角线垂直时，如图3， 则， 当对角线相等的四边形对角线垂直时，面积最大． 点到湖泊的最近距离为，的半径为， ， 又， 当、、依次共线时最长，如图4， 又时，， 此时四边形面积最大， 此时， ， 故四边形的面积最大为． 37．我们定义：过三角形的一个顶点的线段将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，且相似比为，则原三角形叫做“友好三角形”； (1)如图1，已知在中，，，求证：是“友好三角形”； (2)如图2，在的网格图中，点A、B在格点上，请在图中画出一个符合条件的“友好三角形”，要求点在格点上； (3)如图3，在（1）的条件中，作的外接圆，点是上的一点，，连接DE； ①设，，求关于的函数关系式； ②当时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）先求出，再证明，再由，即可证明； （2）如图所示，取与格线的交点D，易证明，再由，则可证明； （3）①由相似三角形的性质得到，，则，再证明，得到，接着证明，得到，则，即可得到；②连接，证明是等边三角形，得到，则，解得，（不合题意，舍去），得到， ， ， 过点作于点， ， ∴，， 在中，， ， 的半径为． 【详解】（1）证明：， ，，， ， ， ， 是友好三角形； （2）解：如图所示，即为所求； 易求出， ∴， 再由，则可证明； （3）解：①， ，， ， ， ， 四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 与的函数关系式为：； ②连接、， ， ， 是等边三角形， ， ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ， ， ， 过点作于点， ， ∴，， 在中，， ， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 38．在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”． (1)如图1，是的弦，作作、，分别交于点，连接交于点E．求证：、是的等垂弦； (2)如图2，的半径为5，、是的等垂弦，与交于点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆心角相等可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论； （2）作，垂足为，作，垂足为，可证矩形为正方形，利用勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：如图①，连接，     ，， ， ， ， ， ， 同理， ，即， ，， 、是的等垂弦； （2）解：如图②，作，垂足为，作，垂足为， 则，   、是的等垂弦， ，， ，， ∴四边形是矩形， 又， ， ， 矩形为正方形， ， ，， ， 在中，， 即， 解得， 则． 【点睛】本题为与圆有关的新定义问题，综合性较强，根据题意理解等垂弦的定义并结合圆的有关知识是解题的关键，还考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 39．定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆． 例如：如图1，线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆； 【初步思考】 （1）边长为的正方形的最小覆盖圆的半径是______； （2）如图2，边长为的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是______； 【深入研究】 （1）请分别作出图3中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）如图4，在正方形网格中建立的平面直角坐标系中，的顶点位于坐标原点，顶点、的坐标分别为、．则的最小覆盖圆的圆心坐标为______，半径长为______；如图5，钝角中，，，则的最小覆盖圆的半径为______． 【生活应用】 某地有四个村庄，，，（其位置如图6所示），现拟建一个5G网络信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），经过工程人员测量得到及图中相关各角度等数据，四边形区域最小覆盖圆的半径为______． 【答案】【初步思考】（）；（）；【深入探究】（）见解析；（），，；【生活应用】． 【初步思考】（）边长为的正方形的最小覆盖圆，就是以以正方形的对角线为直径的圆，从而求出答案； （）两个正方形组合而成的矩形的最小覆盖圆就是以矩形的对角线为直径的圆； 【深入探究】（）按题意画出图形即可； （）网格中找出和垂直平分线交点，再根据勾股定理求得半径，的中点是覆盖圆圆心，是半径； 【生活应用】的外接圆就是四边形的最小覆盖圆，由直角三角形的性质可得出答案． 【详解】【初步思考】（）∵正方形的边长为， ∴由勾股定理，得正方形的对角线长为：， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； （）∵矩形的长为，宽为，由勾股定理，得矩形的对角线长为， ∴最小覆盖圆的半径是， 故答案为：； 【深入探究】（）如图所示：分别作垂直平分线即可； （）如图， 和垂直平分线的交点在， 由网格可知：， 如图， 将两点覆盖，到最小距离是点的位置，即，此时可以覆盖点， ∴的最小覆盖圆的半径是； 故答案为：，，； 【生活应用】解：∵的最小覆盖圆可以将四边形覆盖， ∴四边形的最小覆盖圆是的外接圆， 作直径，连，如图， ∵， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， ∴，即， ∴ ∴四边形的最小覆盖圆半径为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理，勾股定理，垂直平分线，正方形和矩形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 40．（1）如图1，在中，，，，若的半径为2，点在上，是线段上一动点，连接，求线段的最小值，并说明理由．    新定义：在平面直角坐标系中，已知点为定点，对点给出如下定义，在射线上，若（，且为整数），则称是点的“倍点”． （2）如图2，点是半径为1的上一点，且，是点的“二倍点”，点为直线上一点，是否存在点，使得线段最小；若存在，请求出的最小值，并直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）线段的最小值为；（2）存在，的最小值为，此时点坐标为 【分析】 （1）过点作交于点，此时的长有最小值，求出的长即可； （2）延长至使，连接，点在以为圆心，2为半径的圆上，可求，过作垂直直线交于点，交圆于点，当、、三点共线时，的值最小，延长交轴于点，交轴于点，求出，即为的最小值；求出，，即可求． 【详解】 解：（1）过点作交于点，此时的长有最小值，    ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为； （2）存在，理由如下： 是点的“二倍点”， ， 延长至使，连接，    ， ， ， 点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 点在以为圆心，2为半径的圆上， ， ， 直线与轴的夹角为， ， 过作垂直直线交于点，交圆于点， ， 当、、三点共线时，的值最小， 延长交轴于点，交轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 的最小值为，此时点坐标为． 【点睛】 本题考查一次函数的图象及性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆的相关性质，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据题意能够确定点的轨迹是解题的关键． 压轴题型九 圆中各类最值问题 41．如图，是的直径，，点在上，，为的中点，是直径上一动点． (1)在图中确定点的位置，使最小． (2)求的最小值． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查运用轴对称求最短距离问题、勾股定理、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作点的对称点，连接交于点，利用轴对称和两点之间线段最短可知此时最小； （2）连接、、，根据圆周角定理推出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，点即所求作的点． （2）解：由（1）可知，的最小值为的长，连接、、． 点关于的称点，， ，                        又是中点， ，                            ，               又 在中，， 的最小值为． 42．问题提出 （1）如图①，半圆O的直径，C是的中点，点D在上，且，P是上的动点，试求的最小值． 问题解决 （2）如图2，扇形花坛的半径为，．根据工程需要，现想在上选点P，在边上选点E，在边上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的为等腰三角形，试求的值最小时的等腰的面积．（安装损耗忽略不计） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）如图，作点C关于的对称点，连接交于P，连接，此时的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． （2）如图，连接，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接，，，，此时的周长最小，再证明，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）如图，作点C关于的对称点，连接交于P，连接， 则， ∴， 由两点之间，线段最短，可知此时的值最小， 　 根据圆的对称性质，知：点在上，且为的直径， ∴． ∵是直径，C是的中点，则， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴，， ∴在中，， ∴的最小值为； （2）如图，连接，作点P关于的对称点M，点P关于的对称点N，连接交于E，交于F，连接，，，， 同时，由两点之间，线段最短，可知此时的周长最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 由轴对称可知，，， ∴， ∴． 当时等腰三角形时，则是等腰直角三角形， ∴，设， ∴，则有， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称最短问题，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题． 43．如图1，已知矩形中，，点P是对角线的中点，点O为射线上的一个动点，连接，以长为半径作． (1)如图2，当与相切时，求的半径长． (2)当点O运动到何处时，的半径最小?求出最小半径． (3)在点O运动的过程中，与的三条边有四个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是或 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据即可求解； （2）利用垂线段最短解决问题即可； （3）求出三种特殊位置，当经过点C时，当与相切时，当经过点A时，即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∵点P是对角线的中点， ∴ ∵与相切 ∴ ∴ ∴，解得： ∴的半径为； （2）当时，的值最小，如图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）当经过点C时，如图，此时有三个交点，过点O作，如图，此时 ∴ ∴ ∴ ∴ 当与相切时，此时有三个交点，由（1）得： ∴ 此时的取值范围是 当经过点A时，如图，此时有三个交点，过点O作，如图，此时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 此时，的取值范围是 综上：的取值范围是或 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系，矩形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 44．【问题提出】 （1）如图1，在中，°，，点O是的中点，以点O为圆心，为半径向上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接，则线段的最小值为______； 【问题探究】 （2）如图2，在等边中，，点P为内一点，连接，，求线段长度的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形，其边长米，现计划在小区内部（正方形内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即），过点E作于点G，在的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离最小，请问是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）连接，，根据即可求解；（2）由题意可推出，结合，为定值以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解；（3）连接，延长，可推出，以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，据此即可求解； 【详解】解：（1）连接，，如图所示： ∵ ∴ 由题意得：， ∴ 故答案为： （2）由题意得： ∵ ∴ ∴ ∵，为定值 以为底边作底角为的等腰三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示： ∴ ， ∵ ∴ 即：线段长度的最小值为 （3）连接，延长，如图所示： ∵，点是的内心 ∴ ∵， ∴ ∵平分 ∴垂直平分线段 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为定值， 以为底边等腰直角三角形，则点在以点为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示： ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 作，则 ∴， ∴ 【点睛】本题考查了与线段最值有关的轨迹圆问题，难度较大，解题关键在于找到“定长+定角度”，从而确定动点的轨迹． 45．已知抛物线经过点．    (1)求抛物线解析式和直线的解析式； (2)若点是第四象限抛物线上的一点，若，求点的横坐标； (3)如图2，点是线段上的一个动点（不与重合），经过三点的圆与过且垂直于的直线交于点，求当最小时点的坐标及最小值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将、、的坐标代入即可求出抛物线的解析式，将，两点的坐标代入一次函数解析式即可求出直线的解析式． （2）可设点的横坐标为，用含的代数式表示出点的纵坐标．过点作轴，过点作轴，过点作轴平行线，分别交、于点、，构造梯形，得到面积等于梯形减去和的面积和，列方程即可求出值，从而确定点的坐标． （3）由即可得为圆的直径，进而得到圆周角，所以等于与的乘积．设的横坐标为，其纵坐标可用表示，再设的横坐标为，根据圆的性质可求得的值．分别过、作轴的垂线，构造三垂直模型，即得到、的关系式，进而得到与的长度比值，故能用的二次函数关系式表示，即求得最小值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ， 把点代入得：， ， 抛物线解析式为：， 设直线的解析式为：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）过点作轴，过点作轴，过点作轴平行线，分别交、于点、， ，，， 设点，， ， ， ， ， ， 解得：（舍去），， 点的横坐标坐标为．    （3）连接、、，取中点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 设，，的横坐标为， ，，， ， ， 为过、、三点的圆的直径， 为圆心，， ， ， ， ， 圆心在的垂直平分线上， ， 为中点， ， ， ， ， ， 当时，最小值， ， 点坐标为时，最小值为．    【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，二次函数求最值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$