专题02 隐圆问题（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题02隐圆问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、动点定长模型 2 类型二、直角圆周角模型 6 类型三、定弦定角模型 9 类型四、四点共圆模型 14 压轴能力测评 20 模型 原理 动点定长模型 若为动点，但， 则三点共圆，圆心，半径 原理：圆中， 备注：常转全等或相似证明出定长 直角圆周角模型 固定线段所对动角恒为 则三点共圆，AB为直径 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 定弦定角模型 固定线段所对动角∠P为定值， 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 原理：弦所对同侧圆周角恒相等 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 则四点共圆 原理：圆内接四边形对角互补 备注：点A与点C在线段AB异侧 四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 则四点共圆 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 备注：点P与点C需在线段AB同侧 类型一、动点定长模型 例1．如图，四边形中，，且，若，则 ， ． 变式1-1．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 变式1-2．如图，四边形ABCD中，，若，则 度 变式1-3．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为 ． 类型二、直角圆周角模型 例2．如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 变式2-1．如图，在四边形中，，是直线上的任意一点，且矩形的一边始终经过点，连接，则的最大值为（   ） A． B． C．8 D． 变式2-2．如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ． 变式2-3．如图，在中，是左侧一动点，且，则线段长度的最大值是 ．    类型三、定弦定角模型 例3．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 变式3-1．如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ． 变式3-2．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 变式3-3．如图，在四边形中，，，，E是边上一点，连结，若，，，则的面积为 ． 类型四、四点共圆模型 例4．如图，在等边三角形中，点D，E分别是上的点，且，，交于点P，连接，若时，则 ；设的面积为，四边形的面积为，则 ． 变式4-1．如图，在四边形中，已知，，，对角线，交于点，且，点为的中点，求证：    (1)； (2)． 变式4-2．如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式4-3．如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．    1．四边形是边长为4的正方形，点E在边上，连接，F为中点，连接，点G在上且，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在凸四边形中，已知，，，，且四边形对角线，相交于，则的度数是 ． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4 4．如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为 ． 5．如图，正方形的边长为4，点E为对角线上任意一点（不与B，D重合），连接，过点作，交线段于点，以，为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③四边形的周长最小值为；④当时，的面积为3，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 6．如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 7．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02隐圆问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、动点定长模型 2 类型二、直角圆周角模型 6 类型三、定弦定角模型 9 类型四、四点共圆模型 14 压轴能力测评 20 模型 原理 动点定长模型 若为动点，但， 则三点共圆，圆心，半径 原理：圆中， 备注：常转全等或相似证明出定长 直角圆周角模型 固定线段所对动角恒为 则三点共圆，AB为直径 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 定弦定角模型 固定线段所对动角∠P为定值， 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 原理：弦所对同侧圆周角恒相等 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 则四点共圆 原理：圆内接四边形对角互补 备注：点A与点C在线段AB异侧 四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 则四点共圆 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 备注：点P与点C需在线段AB同侧 类型一、动点定长模型 例1．如图，四边形中，，且，若，则 ， ． 【答案】 84°/84度 14°/14度 【详解】解：， 点，，在以A为圆心的圆上， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 变式1-1．如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点C为坐标平面内一点，且， ∴点C在以O为圆心，5为半径的上运动， ∴当减去半径时，最小． ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值． 故答案为：． 变式1-2．如图，四边形ABCD中，，若，则 度 【答案】 【详解】∵AB=AC=AD， ∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点， ∴∠CBD是弧CD对的圆周角，∠CAD是弧CD对的圆心角； ∵∠CAD=76°， ∴∠CBD=∠CAD=×76°=38°． 【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度适中，解题的关键是根据题意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后利用圆周角定理求解． 变式1-3．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，，绕点A旋转过程中，的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：连接， ∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，， ∴ ∴，， ∵绕点A旋转， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当三点共线时，的值最大， 即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上． 类型二、直角圆周角模型 例2．如图，四边形为矩形，，点P是线段上一动点，，垂足为P，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】设的中点为O，以O点为圆心，为半径画圆， ∵四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴点M在O点为圆心，以为半径的圆上， 连接交圆O与点N， ∵点B为圆O外一点， ∴当直线过圆心O时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∵． 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，勾股定理，直径所对　圆周角是直角等知识，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识． 变式2-1．如图，在四边形中，，是直线上的任意一点，且矩形的一边始终经过点，连接，则的最大值为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【详解】四边形为矩形，且其中一边始终经过点， ， 点的运动轨迹为以为直径的半圆，即（点除外）． 如图：取的中点，点即为圆心，连接并延长交于点，此时最大，． ， ， ． 故选：C． 变式2-2．如图，在四边形中，，，，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ． 【答案】8 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，如图， 设与的交点为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：8． 变式2-3．如图，在中，是左侧一动点，且，则线段长度的最大值是 ．    【答案】/ 【详解】如图，以为直径作圆O，    ∵， ∴， ∴点P在圆O上运动， 连接并延长，交圆O于点D，当点P与点D重合时，最大，即为线段的长度， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 类型三、定弦定角模型 例3．如图，等边三角形边长为2，点D在边上，且，点E在边上且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：∵等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为弦、所对圆周角为的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接，如图， 则（当且仅当三点共线时取）， ∴的最小值即为， 设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为；． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理以及圆的相关知识，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 变式3-1．如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为 ． 【答案】2 【详解】解：如图，连接CE． ∵AP∥BC， ∴∠PAC=∠ACB=60°， ∴∠CEP=∠CAP=60°， ∴∠BEC=120°， ,为定值，则点E的运动轨迹为一段圆弧 如图，点E在以M为圆心，MB为半径的上运动，过点作 ∴中优弧度数为=240°，则劣弧度数为120° ∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°， ∵∠BCM=30°，BC=， ∴MB=MC=8， ∴连接MA交于E′，此时AE′的值最小． ∵∠ACB=60°，∠BCO=30°， ∴∠ACM=90°， ∴MA==， ∴AE的最小值为=． 故答案为：2 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题． 变式3-2．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，设AD的中点为点E，则 由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上 由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值， 连接BD AB为半圆O的直径 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键． 变式3-3．如图，在四边形中，，，，E是边上一点，连结，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【详解】∵，，， ∴， 过点A作于点F， 则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴点A在的外接圆上，斜边为直径，设圆心为O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形，圆周角，全等三角形，锐角三角函数（或相似三角形）．熟练掌握勾股定理解直角三角形，矩形的判定和性质，圆周角定理及其推论，全等三角形的判定和性质，正切定义（或相似三角形的判定与性质），是解决本题的关键． 类型四、四点共圆模型 例4．如图，在等边三角形中，点D，E分别是上的点，且，，交于点P，连接，若时，则 ；设的面积为，四边形的面积为，则 ． 【答案】 2 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、D、P、E四点共圆， ∵， ∴， 即点P恰好落在以为直径的圆上，点P也落在以为直径的圆上， ∵， ∴， 如图，连接，则， ∴， ∵， ∴； 如图，过点D作，交于点F， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2； 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、含30度角直角三角形的性质、三角形面积计算、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 变式4-1．如图，在四边形中，已知，，，对角线，交于点，且，点为的中点，求证：    (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：，，， ， ，，，四点共圆，为直径，为该圆的圆心， 作于点，连接， 点为的中点， ， ， ； （2）作于点，则． 又，， ， ， ， 又， ∴， 故， ．    【点睛】本题考查了四点共圆，三角形全等的判定与性质．关键是判断，，公共斜边，利用圆周角定理求相关的角． 变式4-2．如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为圆心，为半径作，连接． 在格点上． 在上 又的直径是 点在上 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、四点共圆及三角函数的应用，解题的关键在于连接，证明点在以为圆心，为半径的同圆上． 变式4-3．如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．    【答案】/ 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则， ∵，， ∴、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、 ∴，则， 过作，交于，交圆于，过、分别作圆得切线，交于，连接交于，连接、，    ∵，， ∴，， ∴，， ∵，与圆相切， ∴， ∴（SSS） ∴， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号） ∴的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了四点共圆，垂径定理，切线长定理，解直角三角形，平行四边形的判定及三角形的三边关系，构造辅助线，利用圆的相关性质转化线段长度及角度，构造三角形三边关系是解决问题的关键，属于中考压轴题． 1．四边形是边长为4的正方形，点E在边上，连接，F为中点，连接，点G在上且，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接，    四边形是正方形， ， 是的中点， ， 又， 点在半径为的上， ， 取的中点H，则， 在上， 当H，G，C三点共线时，取得最小值， 最小值为．    故选：C． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 2．如图，在凸四边形中，已知，，，，且四边形对角线，相交于，则的度数是 ． 【答案】/95度 【详解】解∶作的外接圆．设的延长线交外接圆于K，如图所示．连接，， 则有． 又， ∴． 即， ∴． ∵，又， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴D点是外接圆的圆心． ∵是圆心角，，也是圆心角，． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴． 故答案为： 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　） A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4 【答案】C 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°，即∠PBC+∠PBA=90°， ∵∠PBC＝∠PAB， ∴∠PBA+∠PAB=90°，即∠APB=90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接CO交⊙O于点P， 此时PC取得最小值， ∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6， ∴OB=OP=AB=4， 由勾股定理得CO=， PC= 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离． 4．如图，四边形为矩形，，，点P为边上一点，以为折痕将翻折，点A的对应点为点，连接交于点M，点Q为线段上一点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：由折叠可知，，即， ∴点M在以为直径的上，如图， 作点A关于的对称点点，连接交于M，交于点Q，此时的值最小，为的长， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理以及圆外一点到圆上一点的最短距离问题，判断出点M的运动轨迹是解题的关键． 5．如图，正方形的边长为4，点E为对角线上任意一点（不与B，D重合），连接，过点作，交线段于点，以，为邻边作矩形，连接．给出下列四个结论：①；②；③四边形的周长最小值为；④当时，的面积为3，其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【详解】解：①如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， 、、、在以为直径的圆上， ，， ， ，故①正确； ②如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形，点在上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 假设，则， ，即、是的三等分点， 而当点在上运动时，点会在线段上运动，故②不正确； ③由①得，， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 随的增大而增大， 当时，最小，的值最小， 此时， 的最小值为，故③正确； ④如图，若设的中点为，则点在上时，连接，过点作于点， ，， ， 由③知四边形是正方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ． ④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键． 6．如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【答案】A 【详解】解：连接，； ∵为的外心； ∴； ∵正方形； ∴； ∴； ∴是的外心； 故正确．    对于，连接，； ∵； ∴不是的外心； 故错误．    对于，连接； ∴； ∴，，，三点共圆； ∴； ∵ 即； 故正确．    对于， ∵， ∴，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴，，三点共线； 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形； ∵； 过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； 在中， ； ∴； ∴； ∵； ∴； 故正确．    对于，如下图所示；作EM和EN关于和的对称线段； ∴，； ∴； 当，，，四点共线时，周长最小； 即 连接， ∴， 连接； ∴是等腰三角形； ∵，； ∴； ∵； ∴； ∴三角形是以为顶角的等腰三角形； 过点作的垂线，垂足为， ∵； ∴； 在中； ∴； ∴； 即； 故错误；    综上所述，①③④正确； 故选． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如等腰三角形三边之比为． 7．如图，在四边形中，，对角线平分，，且．    (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证：∵， ∴， ∵， ∴， ∴、、、四点共圆， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，， ∵、、、四点共圆， ∴， ∴在中，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$