专题01 圆中的辅助线问题（六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

专题01 圆中的辅助线问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、有弦可作半径 2 类型二、有弦可作弦心距 6 类型三、有直径可构造直角 9 类型四、有切线可作半径 14 类型五、有切点可连半径证切线 19 类型六、无切点可作垂直证切线 25 压轴能力测评 32 一、垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 二、切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 常见辅助线做法： ①若已知切点，可连接圆心和切点；②若要证明切线，则作垂直，证明垂直线的长度为半径 类型一、有弦可作半径 例1．如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 变式1-1．如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是中点，与交于点P，若P是中点，则的长是 ． 变式1-2．如图，四边形的四个顶点都在上，其中，平分，连接，且．若，，求的半径． 变式1-3．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 类型二、有弦可作弦心距 例2．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 变式2-1．如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，则弦的长为 ． 变式2-2．在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是 ． 变式2-3．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 类型三、有直径可构造直角 例3．如图，已知的半径为7，是的弦，点P在弦上．若，则的长为 ． 变式3-1．如图1，为的直径，点 D 为下方上一点，点 C 为的中点，连接，． (1)求证： ； (2)如图2，过点 C作垂足为H，交于点 E，求证： 变式3-2．如图，在锐角中，以边为直径的交于点，作，依次交于点E，交于点G，交于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 变式3-3．如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：点D是边的中点． (2)记的度数为α，的度数为β．探究α与β的数量关系． 类型四、有切线可作半径 例4．如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点C旋转，使所得矩形的边与相切，切点为E，边与相交于点F，则的长为（　　） A． B． C．5 D． 变式4-1．如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 变式4-2．如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，求的半径和的长． 变式4-3．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求线段的长． 类型五、有切点可连半径证切线 例5．如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)连接，过点E作于点H，若，，求的长． 变式5-1．如图，为的直径，射线交于C点，的平分线交于D点，过点D作交于E点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 变式5-2．如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 变式5-3．如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 类型六、无切点可作垂直证切线 例6．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为4，求的半径． 变式6-1．如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 变式6-2．如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 变式6-3．如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 1．如图，在中，，，，为边上的一点，以为半径的半圆交于点、交于点．过点作半圆的切线交边于点，且，则的长为 ． 2．如图，是的内接三角形，是直径，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是 ． 4．如图，已知的半径是4，C，D是直径同侧圆周上的两点，，，动点P在上，则的最小值为 ． 5．如图，点，，在上，点为弧的中点．若，求的大小． 6．如图，是的弦，C是上的一点，且．若的半径为6，求弦的长． 7．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 8．如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 9．如图，在等边中，点在边上，以为半径的交于点，过点作于点．      (1)求证：为的切线； (2)连接交于点，若，求的值． 10．如图，内接于． (1)若，的半径是2，求的长； (2)过A点作的切线，求证：． 11．如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． (1)当时，求四边形的面积； (2)当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆中的辅助线问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、有弦可作半径 2 类型二、有弦可作弦心距 6 类型三、有直径可构造直角 9 类型四、有切线可作半径 14 类型五、有切点可连半径证切线 19 类型六、无切点可作垂直证切线 25 压轴能力测评 32 一、垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1： ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法： ①过圆心，作垂线，连半径，造直角三角形，用勾股，求长度；②有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 二、切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端，∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 常见辅助线做法： ①若已知切点，可连接圆心和切点；②若要证明切线，则作垂直，证明垂直线的长度为半径 类型一、有弦可作半径 例1．如图，为的直径，且，弦于点，将沿翻折后交于点，若为中点，则 ． 【答案】 【详解】解：连接， 为的直径，且， ， 为中点， ， 将沿翻折后交于点， 弦于点， ． 故答案为：． 变式1-1．如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是中点，与交于点P，若P是中点，则的长是 ． 【答案】/ 【详解】解：连接，交于F， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵是的直径，半径为5， ∴， ∵P是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，证明是解题的关键． 变式1-2．如图，四边形的四个顶点都在上，其中，平分，连接，且．若，，求的半径． 【答案】 【详解】解：连接，设与交于， ， 平分，即， 在中，， 设的半径为，在中，， ． 变式1-3．如图，是⊙O的弦的中点，是劣弧上一点，半径与线段交于点，已知，． (1)求线段的长； (2)当时，求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：连接，如图所示： 过圆心，且是弦中点， ，， 在中，， ，，即 ； （2）解：在中，， ， 设，则，， ，即，则， 解得（舍，， ，． 在中，． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、勾股定理、解一元二次方程及三角函数定义等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 类型二、有弦可作弦心距 例2．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ， 而， ， ， ， ， ， 而， 为△的中位线， ． 故选：D． 变式2-1．如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，则弦的长为 ． 【答案】 【详解】解：过作于，则， ， ， ， 设， 直径， ， ，过圆心， ， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， ， 故答案为：． 变式2-2．在中，和是两条平行弦，所对的圆心角分别为和，圆O的半径为，则之间的距离是 ． 【答案】或 【详解】解：分为两种情况： ①如图1，过O作于E，延长交于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ， ； ②如图2，同理，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，勾股定理，直角三角形的性质，垂径定理的应用等知识点，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想． 变式2-3．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)的度数为； (2) 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，如图，则， 在中，， ∴， ， ， 在中，， ． 类型三、有直径可构造直角 例3．如图，已知的半径为7，是的弦，点P在弦上．若，则的长为 ． 【答案】5 【详解】解：如图：过O作于C，连接，则， ∵， ∴， ∵，过圆心O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 变式3-1．如图1，为的直径，点 D 为下方上一点，点 C 为的中点，连接，． (1)求证： ； (2)如图2，过点 C作垂足为H，交于点 E，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：如图，连接，设， 则， ∵C是的中点， ∴， ， ， ∵为直径， ∴， ， ， ， ， ； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握与圆有关的综合应用和结论是解答的关键． 变式3-2．如图，在锐角中，以边为直径的交于点，作，依次交于点E，交于点G，交于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ，即， 解得：或， ， ， ． 变式3-3．如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E． (1)求证：点D是边的中点． (2)记的度数为α，的度数为β．探究α与β的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点D是边的中点； （2）证明：，理由如下， 如图，连接， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 即． 类型四、有切线可作半径 例4．如图，在矩形中，，，以为直径作．将矩形绕点C旋转，使所得矩形的边与相切，切点为E，边与相交于点F，则的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接并延长交于点H， ∵矩形绕点C旋转得矩形， ∴，， ∵边与相切，切点为E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，为的直径， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理、旋转的性质．矩形的判定以及性质，切线的性质，勾股定理，作出辅佐线，利用垂径定理求值是解题的关键． 变式4-1．如图，为的直径，点F 在上，，点P 在的延长线上，与相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【详解】（1）证明：如图，连接， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ∴； （2）解：设，则， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（舍去） ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等知识，灵活运用以上知识是解题的关键． 变式4-2．如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5，的长为2 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的切线， ， ， ， 又， ， ， 平分； （2）解：如图，取中点，连接， ， 又∵， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ∴的长是． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识点，解决本题的关键是掌握切线的性质． 变式4-3．如图，为的切线，为切点，过点作，垂足为点，交于点，延长与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中     ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 类型五、有切点可连半径证切线 例5．如图，在中，是直径，是的平分线，分别交于点E，于点F，点D在的延长线上，连接，，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)连接，过点E作于点H，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴． （2）证明：如图，连接，． ∵， ∴ ∵，， ∴，， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （3）∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴，， 在中，． 【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，利用正切值求线段长度等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 变式5-1．如图，为的直径，射线交于C点，的平分线交于D点，过点D作交于E点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：过点作于F， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ 设则 在中，， ∴， 解得， 即的半径为5． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、平行线的判定与性质、矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，正确作出辅助线构造矩形和直角三角形是解答本题的关键． 变式5-2．如图，四边形内接于，是的直径，过点作，垂足为点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为，求出图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 是的直径， ， ， 又， ， ，即， 又是的半径， 是的切线； （2）解：， 又， 是等边三角形， ，， 由（1）可知：， ， 于点， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 四边形为直角梯形， ． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，切线的判定，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，勾股定理，同旁内角互补两直线平行，求扇形面积等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 变式5-3．如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【详解】（1）连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， ∴ 如图，过点E作交于点F， ∴在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 在中， ， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的长是． 【点晴】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定定理、勾股定理，三角形的面积等知识点，正确地作出辅助线是解题的关键． 类型六、无切点可作垂直证切线 例6．如图，为正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点． (1)求证∶与相切； (2)若正方形的边长为4，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明∶过作于，连接， 与相切于点， ， 四边形为正方形， ， ， 又为正方形对角线， ， ∴， ， 与相切； （2）解∶由（1）易知为等腰直角三角形，为半径， 设， ∴ ， 在中，， ∴， ， ． ， ， 的半径为. 【点睛】本题主要考查了圆的性质，正方形的性质，证明某直线是圆的切线，等腰直角三角形的判定以及性质，勾股定理，平行线的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 变式6-1．如图，是等腰直角三角形，，点O为的中点，连接交于点E， 与相切于点D． (1)求证：是的切线； (2)延长交于点G，连接交于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，过点O作于点P， ∵与相切于点D． ∴， ∵是等腰直角三角形，，点O为的中点， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴，， ∵点O为的中点， ∴， ∵ ∴， 在中， 连接，过O作于点H， ∴， ∴ ∵， ∴．    【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键． 变式6-2．如图，在中，O为上一点，以点O为圆心，为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：过点O作OE⊥AB于点E，则， ∵AD⊥BO于点D， ∴∠D＝90°， ∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°， ∵∠AOD＝∠BAD， ∴∠ABD＝∠OAD， 又∵BC为⊙O的切线， ∴AC⊥BC， ∴∠BCO＝∠D＝90°， ∵∠BOC＝∠AOD， ∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD， 在△BOC和△BOE中， ， ∴△BOC≌△BOE（AAS）， ∴OE＝OC， ∵OE⊥AB， ∴AB是⊙O的切线； （2）∵， ∴， ∴中，， 由（1）可得， ∴， ∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°， ∴∠EOA＝∠ABC， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴中，， ∵，， ∴， ∴ ∵，，， ∴，解得． 【点睛】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定、切线长定理、全等与相似三角形的判定与性质及解直角三角形的应用． 变式6-3．如图，是的直径，和分别是的切线，平分，且与交于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：过点O作于F， ∵是的切线， ∴于B， 又∵平分， ∴， ∵是的半径 ∴也是的半径 ∴是的切线． （2）解：由（1）得是的切线，切点为F， ∵和分别是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵和分别是的切线， ∴， 过点D作于H，即， ∴四边形是矩形，， ∴， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】角平分线的性质、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理、矩形的判定与性质、切线长定理、切斜的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 1．如图，在中，，，，为边上的一点，以为半径的半圆交于点、交于点．过点作半圆的切线交边于点，且，则的长为 ． 解：设半径为，接，过作交于，则， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作半圆的切线交边于点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，解得， ∴， 故答案为：． 2．如图，是的内接三角形，是直径，，则（   ） A． B． C． D． 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3．如图，是⊙的直径，、、、是上的点，过点作为切线交延长线于点，若，，则半径是 ． 解：连接，设的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径是是． 故答案为：． 4．如图，已知的半径是4，C，D是直径同侧圆周上的两点，，，动点P在上，则的最小值为 ． 解：如图，作点D关于的对称点F，连接，与交于点P，连接． ∴， ∴， ∴的值就是的最小值． 延长，与圆O交于点E，连接． ∵， ∴， ∴弧的度数为：， ∵， ∴弧的度数为， ∴弧的度数为， ∴弧的度数为：， ∴， 又∵是直径， ∴， ∵的半径为4， ∴， 在中，， ∴， 即的最小值为． 故答案是：． 5．如图，点，，在上，点为弧的中点．若，求的大小． 解：连接交于点， ∵为弧的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，是的弦，C是上的一点，且．若的半径为6，求弦的长． 解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，即， ， ． 7．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 解：（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 8．如图，四边形中，，点是边上一点，且平分，作的外接圆，点在上． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：过点作的垂线，垂足为于，如图： 则四边形为矩形， ∵的半径为， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 9．如图，在等边中，点在边上，以为半径的交于点，过点作于点．      (1)求证：为的切线； (2)连接交于点，若，求的值． 解：（1）证明：连接，   为等边三角形， ， ， ， ，为等边三角形 而， ， ， ∴， ∴为的切线． （2）解：过点作于， ， ， 在中， ∴， 由（1）知：，又有点为中点， ， 在和中 ， ， 在中，， ， ， 在中，， 即．    【点睛】此题考查的是等边三角形的判定及性质、切线的判定、锐角三角函数和全等三角形的判定及性质，掌握等边三角形的判定及性质、切线的判定、锐角三角函数和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键． 10．如图，内接于． (1)若，的半径是2，求的长； (2)过A点作的切线，求证：． 解：（1）解：如图1，连接，则， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为； （2）证明：如图1，连接， ∵过A点作的切线， ∴，则， 同理（1）， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，切线的性质等知识．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，切线的性质是解题的关键． 11．如图，已知圆O的圆心为O，半径为3，点M为圆O内的一个定点，，是圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M． (1)当时，求四边形的面积； (2)当AB变化时，求四边形的面积的最大值． 解：（1）解：如图，作于，于，连接，则四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得，， ∴，即为直径， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （2）解：如图， 设， 由勾股定理得，，即，，， ∴，，， ∴， ∴当时，四边形的最大面积是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$