2.1.3 方程组的解集课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019)必修第一册

2.1.3 方程组的解集 1 【学习目标】 1.会解二元一次方程组和三元一次方程组; 2.掌握二元二次方程组的解法. 2 知识点一 方程组解集的定义 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到 的______称为这个方程组的解集. 交集 课 前 预 习 3 知识点二 方程组解集的分类 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有_________ 元素，解集为无限集.此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知 数往往能用____________表示出来. 无穷多个 这些未知数 课 前 预 习 4 【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）方程组的解集是 .( ) × （2）方程组的解集是 .( ) √ （3）三元一次方程组的解集是 .( ) × （4）方程组的解集是， .( ) √ （5）方程组的解集是,， }.( ) √ 课 前 预 习 5 探究点一 一次方程组的解法 ［探索］ 如何求解多元一次方程组？ 解：多元一次方程组的解法主要是应用加、减法进行减元运算. 课 中 探 究 6 例1（1） 若关于，的方程组的解集为，则 ( ) D A.4 B. C.6 D. [解析] 关于，的方程组的解集为， 解得 .故选D. 课 中 探 究 7 （2）已知，，且则 ___________. [解析] 两式相加得，即 ，代入①式 可得，所以 . 课 中 探 究 8 变式 若关于，的方程组与 的解集相等，则 ___． 4 [解析] 由题知4个方程有公共解，由解得 显然该解满足 方程，代入整理可得，解得或. 当 时，代入得，此时有； 当时， 不满足.综上所述， . 课 中 探 究 9 ［素养小结］ （1）解方程组的最主要方法是代入消元法和加减消元法. （2）解三元一次方程组在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消 去可以使计算量相对较小的未知数；消去的未知数一定是同一未知数. 课 中 探 究 10 探究点二 二元二次方程组的解法 例2 求方程组的解集： （1） 课 中 探 究 11 解：已知 方法一：由②得,将③代入①得 ,整 理得 ,解得，. 把代入③，得；把 代入③，得 . 所以原方程组的解是或 所以方程组的解集为 . 课 中 探 究 12 方法二：由①得，即或 . 原方程组可转化为或解得或 所以方 程组的解集为 . 课 中 探 究 （2） 解：已知 由①得 ， 即，则或 . 由得或 由得或所以原方程组的解集为 ， ，， . 课 中 探 究 14 变式（1） 若两相异实数，满足则 的值为 ( ) D A.3 B.4 C.5 D.6 [解析] 两式相减得，因为，所以 ，所以 ，，故，是方程 的两根， 由根与系数的关系得 则 . 故选D. 课 中 探 究 15 （2）某人在解方程组 时，采用了 “整体代换”的方法：将方程 ②变形为，即 ，将方程①代入③得 ，解得，将代入①得 ，所以方程组的解为 请据此解决以下问题： （ⅰ）应用 “整体代换”法解方程组 解：由题知方程组为将方程②变形为 ，即 ， 将方程①代入③得，解得,将代入①得 ，所以方 程组的解为 课 中 探 究 16 （ⅱ）已知，满足方程组求 的值. 解：由题知方程组为 由①得 , 即，把③代入②得,解得 ， 将代入③得 , . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 二元二次方程组也可如一次方程组那样使用代入法和加减消元法求解，同时要 注意在求解一元二次方程时，可先用判别式判断方程是否有解，若有解再代入 求解未知数，从而求得方程组的解. 课 中 探 究 18 探究点三 一元方程组的实际应用 例3 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题： “今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等.交易其一，金轻十三两.问金、银 一枚各重几何？”意思是：现在有黄金9枚（每枚黄金重量相同），白银11枚 （每枚白银重量相同），称重量恰好相等，互相交换1枚后，黄金多的部分轻了 13两，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重 两，根 据题意可列方程组为__________________________. [解析] 由题意得 课 中 探 究 19 变式 某商店有方形、圆形两种巧克力，某人如果购买3块方形和5块圆形巧克 力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8 元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下( ) D A.8元 B.16元 C.24元 D.32元 [解析] 设方形巧克力每块元，圆形巧克力每块元，该人带了 元钱，则 两式相加得， ， ，， ， ， ，即若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32 元.故选D. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 列方程组解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关 系，一般来说有几个未知量就必须列出几个方程.所列方程需满足： （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边所表示的数量要相等. 课 中 探 究 21 1.方程组 的解集是( ) C A. B. C. D. 课 堂 评 价 22 2.某校运动员分组训练，若每组7人，则余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员 人数为，组数为 ，则列方程组为( ) C A. B. C. D. [解析] 由题知 故选C. 课 堂 评 价 23 3.[2023·辽宁省实验中学高一月考] 已知关于,的方程组 的解 为正数，则实数 的取值范围为________. [解析] 方程组的解为由题得解得 ， 故实数的取值范围为 . 课 堂 评 价 24 4.若，且，则 ____. 26 [解析] 由已知得由①得④，由②得 ，把 ④⑤代入③并化简，得，解得 . 课 堂 评 价 25 5.方程组 的解集为_________________. ， [解析] 由，得，代入，得 ， 解得或.当时，；当时， .故方程组 的解集为, . 课 堂 评 价 26 二元二次方程组的解法归纳 1.解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”，将二 元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法.因此， 掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键. 备 用 习 题 27 2.二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别 称为Ⅰ型和Ⅱ型.“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程 组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组. （1）“二·一”型方程组的解法：代入消元法（即代入法）. 代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值； ④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值 （如果代入二元二次方程求另一个未知数的值，会出现“增根”的问题）； ⑤写出解集. 备 用 习 题 28 例1 求方程组 的解集. 解： 把①代入②得 , 即,解得或 . 当时，;当时， . 所以原方程组的解集为, . 备 用 习 题 29 （2）“二·二”型方程组的解法. ①当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的 两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程联立，组成两个 “二·一”型方程组，解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. ②当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个 二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所 得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可以得到四个二元一次方程组，解 这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解. ③两个二元二次方程作差，将二次项消去，从而得到一个二元一次方程，再将 其代入两个二元二次方程中的一个，求解一元二次方程即可. 注意：“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程 组时，既不要漏解，也不要增解. 备 用 习 题 30 例2 解方程组 解：由，可得 ， 所以或 ， 所以原方程组可化为或 解得或或或 所以原方程组的解集为，，，， }. 备 用 习 题 31 $$