练案11 第二章 2.1.3 方程组的解集-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教B版）

..由根与系数的关系，得m+n=2t,mn=t-2t+4, 解得k=1+2或k=1-√2， .(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=+2t+8=(t+1)2 +7. (1)知当方程有两个实数根时，6≤？且≠0， 方程有两个实数根， 所以k=1-√2 .4=(-2t)2-4(t-2t+4)=8t-16≥0t≥2. 6.(1)根据题意，得4=(2m+1)2-4(m2-2)≥0， .(t+1)2+7≥(2+1)2+7=16，即(m+2)(n+2)的最小值 是16. 解得m≥一子 rm≠0 .m的最小整数值为-2. 2.A由题知， 4=(m+22-4m·平>0， (2)根据题意，得x1+02=-(2m+1),x12=m2-2. (x1-x2)2+m2=21, 解得m>-1且m≠0. .(x+x2)2-4x12+m2=21, +62=m+2 m x12=4, .[-(2m+1)]2-4(m2-2)+m2=21, m+2 整理，得m2+4m-12=0.解得m1=2,m2=-6. ++=m=4m, 由1)可知m≥ 9 4 ∴.m的值为2 ∴.m=2或-1， C组创新拓展 又.m>-1且m≠0，.m=2 (1)设x2=a,则原方程可化为a2-10a+9=0, 3.ACD设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2,方程y2+2ny 即(a-1)(a-9)=0. +2m=0的两根为y1y2.由题意知xx2=2n>0,y1y2=2m> 解得：a=1或a=9, 0,又无1+x3=-2m<0,y1+为2=-2n<0,.这两个方程的 当a=1时，x2=1,.x=±1： 根都是负根，故A正确，B不正确；·4m2-8n≥0,4n2-8m≥ 当a=9时，x2=9,.x=±3. 0,m2-2n≥0，n2-2m≥0，.(m-1)2+(n-1)2=m2-2n .原方程的解是x1=1,x2=一1，x3=3,x4=-3. +1+n2-2m+1=(m2-2n)+(n2-2m)+2≥2，故C正确。 由根与系数的关系可得： (2)设x+-y 2m-2n=yy2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1, 则原方程可化为：y2-2-3y=2,即y2-3y-4=0, 由y,2均为负整数，得： .(y+1)(y-4)=0, (y1+1)(2+1)≥0，故2m-2n≥-1. 解得：y=-1或y=4, 同理可得2n-2m=x1x2+x1+2=(x1+1)(x2+1)-1,得2n 1 -2m≥-1， 即x+ =-1(方程无解，舍去)或x+元 ∴.-1≤2m-2n≤1，故D正确 故x+1=4 4.{-1,3}把后面一个方程m(x+a-2)2+n=0中的x-2 看作整体，相当于前面一个方程中的x 练案[11] :关于x的方程m(x+a)2+n=0的解集是{-3,1}， :A组 .方程m(x+a-2)2+n=0可变形为m[(x-2)+a]2+n= 基础巩固 0,此方程中x-2=-3或x-2=1,解得x=-1或x=3. rx+y=1①， 1.C ∴关于x的方程m(x+a-2)2+n=0的解集是{-1,3. 因为{y+z=5②， z+x=6③ 5.(1)k≤7(2)1-万(1)当k=0时，方程为-2x+1=0, 所以①+②+③得2x+2y+2z=12, 解得x=之，符合题意： 即x+y+z=6④ ④-①得z=5; 当k≠0时，4=[2(k-1)]2-42=-8k+4≥0， ④-②得x=1;④-③得y=0. 解得≤子且k≠0， 所以方程组的解集为{(1,0,5). 综上，当≤2时，方程有实数根 2.B因为1(，1(2,1)是方程组-3-1的解集， lx+by=5 (2)设方程的两个实数根为x,2, 则有=2=京 所以把x=2,)=1代人方程组，得2a-3=-1, l2+b=5, 所以，a=1, 所+广---2-=8 b=3. :3.A绳索长x尺，竿长y尺，由绳索比竿长5尺可得x=y+5; -201 由绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得x=y-5, y=孕代人2，得：=-头 把x=), rx=y+5, 由此可得方程组{1 所以原方程组的解集为列(-宁竿。} l2x=y-5. 10.将①代人②，整理得2x2+(2k-4)x+1=0, ③ 3x2+y2=7, ① 4.C (①当k=0时，-4x+1=0,解得x=子 1x2-3x+2y2=6,② 由①×②-②得5x2+3x-8=0, 解得=号或=1 方程组的解为 Ly=2. 「k≠0， 把=-号代人0得产1-紧<0（无解）. 时，原方程组有一 L4=(2k-4)2-42=-16(k-1)=0 把x=1代人①得y2=4,∴.y=±2 个实数解，解得k=1. 所以方程组的解集为{(1,2)，(1，-2)}. 当=1时，方程组为=x+2①， 5.ABC关于x,y的方程组 1y2-4x-2y+1=0②， fax+(2a-1)y=a2+2a-1① ③为x2-2x+1=0,解得x=1, Lx+ay=2a②， 由x+ay=2a,可得ax+a2y=2a③， 把x=L,代入①得y=3方程组的解为=1， y=3. ③-①得(a2-2a+1)y=a2-2a+1, ∴.k=0或k=1时，方程组有一个实数解。 当a=1时，为恒等式，有无穷多解； 时，原方程组有两个不同的实数 当a≠1时，y=1,x=a,有唯一解. (2)当/0， 4=-16(k-1)>0 6.1两式相加得3(x+y）=3-3k,由x+y=0,得3-3k=0,解 解，解得k<1且k≠0. 得k=1. ∴.k<1且≠0时，原方程组有两个不同的实数解 7.753 设人数为x,物价是y(钱)，则 8x-y=3,解 (3)当0， 时，原方程组没有实数解，解得k y-7x=4, L4=-16(k-1)<0 得x7, >1, y=53 .当k>1时，方程组无实数解。 x-y=2 ① B组素养提升 8.-5 y-z=3, ② rx-z+4=0, ① z+x=1. ③ 1.A由题意，得{z-2y+1=0, ③ ①+②，得x-z=5, ④ x+y-z+1=0. ③ 将③0组成方程组+↓解得=3， ③-①，得y=3. x-2=5, lz=-2. 把y=3代入②，得z=5. 把x=3代入①，得y=1. 把z=5代人①，得x=1. r=3, 所以x+y+z=1+3+5=9.故选A. 故原方程组的解是{y=1, 2.D两式作差消元得：(x-y)(x+y-1)=0→x+y=1(x≠ z=-2 y),反代回去得x2-x-1=0,同理可得y2-y-1=0,所以 代入3x+my+2z=0,得9+m-4=0,解得m=-5. 「y=-1, 所以x3-2y+y3=x(2-y)+2+y(2-x)=2(x+ 9(1)将①代人②，③，消去2，得4-y=5, [x+y=1, L2x+3y=13 y）-2xy+2=2+2+2=6. 解得=2把x=2,y=3代人①，得：=5. 3.BC对于A,关于x的方程x+=c+。的解是x=c或x y=3. 所以原方程组的解集为(2,3,5). (c≠0)，放A说法不正确：对于B,方程组+加=68 1z+z=23 的 (2)①-②，得x+2y=11. ④ ⑤ 正整数解有2组， ①+③，得5x+2y=9. ④与⑤组成方程组+2y=11, 方程组y+2=63,① xz+3z=23,② 5x+2y=9. 因为xy、z是正整数，所以x+y≥2，又因为23只能分解为23 「x= 29 ×1,方程②即为(x+y)z=23,所以只能是z=1,x+y=23,将 解得 23 Y=4 1代人原方理组可得”郑得女 1x+y=23,④ —202 「x=20 所以这个方程组的正整数解是(2,21,1)、(20,3,1)， y=3. 解这个方程组，得=↓， y=1. 放B说法正确：对于C,关于，y的方程组：+3y4-,其 把y=1代入③，得z=1, Ix-y=3a, 所以原方程组的解集为(1,1,1). 中-3≤a≤1，解得任=1+2a, .x+y=2+a,当a=1时，x+ 练案[12] ly=1-a, y=3,故方程组的解也是方程x+y=4-a=3的解，故C说法A组 基础巩固 1 1.B选项A,若a=4,b=2,c=5,显然不成立，选项C不满足倒 「x= 正确；对于D,解方程组-2x=2, 4 数不等式的条件，如a>b>0,c<0<d时，不成立；选项D只 得 1 12x+y=3 5 点(4)在 y= 有a>b>0时才可以.否则如a=-1,b=0时不成立，故选B. 2 2.C.a<b<0,.a-b<0,a<0,.(a-b)a>0. 第一象限，故D说法不正确.故选BC 又：1-16 4.一8因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为 a-6日aa-面<0,6<，可知A错误： ①/3x-y=5, 4ax+5by=-22 当c<0时，ac>bc→a<b,故B错误； 2x+3y=-4:ax-by=8. 是台c0,又6>0，a<6,故C正确 解方程组①，得=1， ly--2. 取a=c=2,b=d=1,可知D错误 代人方程组②，得 4a-106=-22, 3Aya,6,c均为正数，且02=16=9+2√望，B2=9 La+2b=8. 解得02， 214,c2=9+2√18，.c2>b2>a2,.c>b>a.故选A 1b=3. 4.B x(a+b)+y(a-2b)=a+3b, 所以(-a)=(-2)3=-8. (x+y)a+(x-2y)b=a+3b, 牛0 5 放∫+y三1，解得x=3,y=-? 3 lx-2y=3, 526已知得兮-专，2 3 因为+2+后 3,所以 x+y+z=102,③ 3sa+36s1. 1 0得y“2,@ 所以a+36的取值范图是[-号， 2得：-，⑤ 5.ACD因为cl≥0，则a>b>|cl≥0，且a>b>c, 把④⑤代入③并化简，得12x-6=306」 所以ab>bc,a2>c2,故A,C正确； 解得x=26. 当c=0时，ac=bc=0,故B错误； 6.(1)设A,B两种型号台灯每台分别x,y元，依题意可得 因为a>b>c,所以a-c>b-c>0, 「2x+6y=610 x=50, 所以a(a-c)>b(b-c),故D正确. L6x+2y=470 解得 y=85, 6.①2④1<6-“<0，所以①2④能使它成立 a<6台b 所以A,B两种型号台灯每台分别50元，85元 7.>a2+62+c2-[2(a+b+c)-4] (2)设能采购B型台灯a台，依题意可得50(30-a)+85a≤ =a2+b2+c2-2a-2b-2c+4 2200,解得a≤20. =(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+1≥1>0， 所以最多能采购B型台灯20台. 故a2+b2+c2>2(a+b+c)-4. C组创新拓展 3 y 由于a>b>c,且a+b+c=0 根据规定，得 =3x-2y=1, 2 x 所以a>0,c<0,b=-a-c,-a-c<a,2a>-c,C>-2, =5x+3z=8, -35 -a-czc,-az2c,a 3x-2y=1,① 63y=6e=-3,所以5x+3z=8.回 所以-2<<-2 1 3y-6z=-3,③ ②×2+③，得10x+3y=13.④ 9.设 =9=k,依题意可知d>0,k>1且c>d,b>d b d r3x-2y=1, .∴.a+d-(b+c)=bk+d-b-dh=(b-d)(k-1)>0, 将①与④组成二元一次方程组 L10x+3y=13. ∴.a+d>b+c. -203练案[11] 第二章 等式与不等式 2.1[2.1.3 方程组的解集] A组基础巩固 :7.我国古代书籍《九章算术》中“盈不足”专讲盈亏问题 一、选择题 及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人 1.（2025·东营高一检测)三元一次方程组 出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四 [x+y=1, (钱)，问人数、物价各几何”，则本题中的人数是 y+z=5,的解集是 ,物价是 （钱). z+x=6 [x-Y=2, A.{(1,0,4)} B.{(1,2,4) 8.已知方程组{y-z=3,的解也是方程3x+my+2z=0 C.(1,0,5) D.(4,1,0) (z+x=1 的解，则m的值为 2.已知(，)1(2,1)是方程组x-3y=-1, Ix+by=5 的解三、解答题 集，则a,b的值为 )9解下列三元一次方程组： [z=y+x, A.a=-1,b=3 ① B.a=1,b=3 C.a=3,b=1 D.a=3,b=-1 (1)2x-3y+2a=5, ② lx+2y+z=13; ③ 3.(2026·营口高一检测)我国古代数学著作《增删算 r2x+3y+z=11, ① 法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索 (2)x+y+z=0, ② 比竿子长一托.折回索子来量竿，却比竿子短一托.” 3x-y-z=-2. ⊙ 其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳 索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿 短5尺.设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程 组是 ( ) x=y+5, x=y-5, A.1 B |2x=y-5 |2x=y+5 C.[=y+5, D. x=y-5, 12x=y-5 12x=y+5 r3x2+y2=7, 4.方程组 的解集为 )10.k为何值时，方程组 x2-3x+2y2=6 [y=x+2, ① a{g.12} 1y2-4x-2y+1=0.② (1)有一个实数解，并求出此解； B.{(1,2),(-1,-2) (2)有两个不同的实数解； C.{(1,2),(1,-2)} (3)没有实数解。 D.{(2,1),(-2,1) 5.(多选题)关于，y的方程组+2m-1y=0+2a-1, 则 Ix +ay =2a, 下列说法正确的是 A.一定有解 B.可能有唯一解 C.可能有无穷多解 D.可能无解 二、填空题 6.若方程组 「2x+y=1-3k, lx +2y =2 的解集满足x+y=0,则k 的值为 —121 B组素养提升 C组创新拓展 一、选择题 ; 规定：bd a c =ad-be.例如，3 -1 =2×0-3× 1.已知lx-2+4|+|-2y+11+1x+y-z+1川=0，则x 0 +y+z= (-1)=3. A.9 B.10 C.5 D.3 /3 =1, 2若相异两实数，y满足+y-2=0则r-2+ 2 x 1y2+x-2=0, 的值为 解方程组 =8 ( -35 A.3 B.4 C.5 D.6 3 =-3. 3.(多选题)给出以下说法，其中正确的为 6 y A关于x的方程x+】=c+1的解是x=c(c≠0) B.方程组厂y+=63, 的正整数解有2组 x2+yz=23 C已知关于x,y的方程组+3)4-0，其中-3≤ lx-y=3a, ≤1，当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4-a 的解 D.以方程组)-2x=2 的解为坐标的点(x,y)在第 2x+y=3 二象限 二、填空题 4.已知关于x,y的方程组3x-y=5, 4ar+5by=-22和 1:1 2x+3y=-4, 有相同的解，则(-a)的值为 ax-by=8 5(2026:莲坊商一检测)若号--号3，且x+y +z=102,则x= 三、解答题 6.(2026·潍坊高一检测)现有A,B两种型号台灯.若 购买2台A型台灯和6台B型台灯，共需610元；若 购买6台A型台灯和2台B型台灯，共需470元. (1)求A,B两种型号台灯每台分别多少元？ (2)采购员小红想采购A,B两种型号台灯共30台， 且总费用不超过2200元，则最多能采购B型台灯多 少台？ —122