广东省江门市新会第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2024～2025学年度第一学期期中考试 高二级数学试题 班别： 学号： 姓名： 成绩： 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（    ） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定 2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 3．若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 5．给定组数，则错误的是（    ） A．中位数为3 B．标准差为 C．众数为2和3 D．第85百分位数为4 6．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（   ） A． B． C． D． 7．设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ）    A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数<中位数<平均数 C．图（2）的众数<平均数<中位数 D．图（3）的平均数<中位数<众数 10．下列事件中，是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（    ） A．当时， B．直线与所成的角不可能是 C．若，则二面角平面角的正弦值为 D．当时，点到平面的距离为 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12．经过两点的直线的方向向量为,则 . 13．如图，在平行六面体中， ，，则 ． 14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15．（本小题13分） 已知的顶点分别为，，. (1)求边的中线所在直线的方程； (2)求边的垂直平分线的方程. 16．（本小题15分） 为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.    (1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀. 17．（本小题15分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 18．（本小题17分） 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． (1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？ （参考数据：，） 19．（本小题17分） 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； (3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小. 高二级数学答案 一、单选题：本大题共8小题，共40分. 1．在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（    ） A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些 B．与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等 C．与第几次抽样有关，最后一次抽到的可能性要大些 D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一定 2．某烟花爆竹厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有5件不合格，那么请你估计该厂这20万件产品中不合格产品约有（    ） A．1万件 B．18万件 C．19万件 D．20万件 3．若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 5．给定组数，则错误的是（    ） A．中位数为3 B．标准差为 C．众数为2和3 D．第85百分位数为4 6．已知向量，，从6张大小相同分别标有号码的卡片中，有放回地抽取两张，、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足的概率是（   ） A． B． C． D． 7．设，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在空间直角坐标系Oxyz中，，，，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，共18分. 9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ）    A．图（1）的平均数=中位数=众数 B．图（2）的众数<中位数<平均数 C．图（2）的众数<平均数<中位数 D．图（3）的平均数<中位数<众数 10．下列事件中，是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为正面”，“第二次为反面” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为3或4” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段上的动点，则（    ） A．当时， B．直线与所成的角不可能是 C．若，则二面角平面角的正弦值为 D．当时，点到平面的距离为 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12．经过两点的直线的方向向量为,则 2 . 13．如图，在平行六面体中， ，，则 7 ． 14．由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分. 15．（本小题13分） 已知的顶点分别为，，. (1)求边的中线所在直线的方程； (2)求边的垂直平分线的方程. 解：（1）设中点的坐标为， 则，……2分 边的中线过点两点， 所在直线方程为，……4分 即；……7分 （2）的斜率，……9分 的垂直平分线的斜率，……11分 直线的方程为，即.……13分 16．（本小题15分） 为鼓励青年大学生积极参与暑期社会实践，某高校今年暑假组织返乡大学生积极参与了当地的暑假社区儿童托管服务.现抽样调查了其中100名大学生，统计他们参加社区托管活动的时间（单位：小时），并将统计数据制成如图所示的频率分布直方图.另外，根据参加社区托管活动的时间从长到短按3：4：3的比例分别被评为优秀､良好､合格.    (1)求的值，并估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)试估计至少参加多少小时的社区托管活动，方可以被评为优秀. 解：（1）由题意得，，解得………4分 因为，…………8分 所以可以估计该校学生在暑假中参加社区托管活动的时间的平均数约为38.25小时.……9分 （2）由题意得，因为， 那么第70百分位数位于之间. 设第70百分位数为，则，解得.………………14分 故至少参加42小时的社会实践活动，方可被评为优秀. ……………15分 17．（本小题15分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面 是的中点，作交于点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面的夹角的大小． 证明：（1）在四棱锥中，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，…………1分 ， 设平面的法向量为， 则，令，得，…………3分 则， 而平面， 所以平面.…………5分 （2）由（1）知，， 由，得， 又，且平面， 所以平面.…………9分 （3）解：由（1）知，，且， 设平面的法向量为，则， 取，得，…………11分 ，而， 则，即， 则的一个法向量为，…………12分 因此，…………14分 而，则， 所以平面与平面的夹角为.…………15分 18．（本小题17分） 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． (1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (3)若乙想击中目标的概率不低于，乙至少需要射击多少次？ （参考数据：，） 解：（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件，…………1分 依题意，，所以，…………3分 ，所以，…………5分 所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 则………6分 ，………9分 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率；………10分 （3）设乙射击次，则至少有一次击中目标的概率为， 令，所以，………13分 所以，………16分 又为正整数，所以，即甲至少要射击次. ………17分 19．（本小题17分） 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； (3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小. 解：（1）由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为，………2分 设直线与平面所成角为，则有，………3分 所以，.………4分 直线与平面所成角的正弦值为   （2）由题可知平面的法向量为，且过点，.………6分 因为，所以， 所以点到平面的距离为..………8分 （3）（i）建立空间直角坐标系， 先分别画平面，.………10分 然后得到几何体为几何体是底面边长为的正方形，高为2的长方体， 故几何体的体积为，.………12分 （ii）由（i）可知，的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，得， 画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角，   计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为，.………15分 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为..…17分 高二级数学科试题第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $$