湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题（B卷）

期中考试数学参考答案 1．答案：D 解析：因为，则四边形是平行四边形，结合题图， ，A错误； ，B错误； 与方向不相同，C错误； ，D正确. 故选：D. 2．答案：C 解析：因为，所以，即，，则.故选：C. 3．答案：A 解析：由斜率的坐标计算公式可知过两点，的直线的斜率为. 故选：A. 4．答案：D 解析：圆心为，点到直线的距离为.故选D. 5．答案：B 解析:由题意, 平面内点P到,的距离之和是10, 动点P的轨迹为椭圆,焦点在轴上, ,,解得:, , 轨迹方程为:, 故选:B. 6．答案：D 解析： 7．答案：A 解析：因为圆与圆外切， 所以，解得. 故选：A 8．答案：D 解析：依题意，得圆心，半径，直线恒过定点.，点D在圆C内部，的值最小时，直线AB与CD垂直.又，.故选D. 9．答案：CD 解析：对于A,直线AC的斜率为,故A错误; 对于B,直线AB的斜率为,所以直线AB的倾斜角为钝角,故B错误; 对于C,设BC边的中点为,则,即点,故C正确; 对于D,BC边上的中线AD所在的直线方程为,整理得,故D正确. 故选:CD. 10．答案：AC 解析：对于A中,由圆, 可得圆的圆心坐标为,半径为,所以A正确; 对于B中,由直线,可化为, 令,解得,,所以直线恒过点,所以B不正确; 对于C中,由圆心坐标为和定点,可得, 根据圆的性质,当直线与CP垂直时,直线与圆相交且所截的弦长最短, 则最短弦长为,所以C正确; 对于D中,由直线恒过定点,且,即点在圆内,所以直线与圆相交,所以D不正确. 故选：AC. 11．答案：AD 解析：以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设, 则,,,,,. ,,,. A选项,因为,所以,A正确. B选项,设平面的法向量为, 则, 令得,,,故, 因为, 所以与不垂直,则直线DF与平面不平行,B错误. C选项,若平面,则. 因为,所以直线BF与直线不垂直,矛盾,C错误. D选项,,D正确. 故选:AD 12．答案：1或 解析：因为直线， 直线，且， 所以， 解得或. 故答案为：1或. 13．答案： 解析：由题意可得解得,故实数k的取值范围是. 故答案为：. 14．答案：/ 解析：依题意，解得， 所以圆，即，故圆心坐标为， 即的外心坐标为，又的重心坐标为， 又点、均在直线上，所以的欧拉线方程为. 故答案为：. 15．答案：（1） （2）或 解析：（1）斜率是直线的斜率的的直线斜率, 利用斜截式可得:,化为一般式:. （2）直线经过原点时满足条件,可得直线方程为:,即; 直线不经过原点时,截距不为0, 设直线方程为:,把点代入可得:,解得, 化为一般式:; 综上:所求直线为或. 16．答案：（1） （2） 解析：（1）因为圆C的直径为AB，故其圆心为， 其半径为， 故圆C的方程为：. （2）因为，故P在圆C上，连接PC， 而直线的斜率：，故圆C在P处的切线的斜率为， 故所求切线的方程为：. 17．答案：(1) (2) 解析：(1)因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． (2)设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 18．答案：（1）证明见解析；（2） 解析：（1）证明：连 几何体为正方体， ， ，平面，平面，平面； （2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系. 令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为， ， ，所成角的余弦值为. 19．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系,设. 依题意得,,,, 所以,, 故. 所以. 由已知,且,,平面, 所以平面. （2）已知,由（1）可知平面平面,所以,故是平面与平面的夹角. 设点F的坐标为,则, 因为,所以, 即,,, 设,则, 所以,点F的坐标为,即, 又点E的坐标为,所以, 所以, 又为锐角,所以,即平面与平面的夹角大小为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年衡阳县四中高二第一学期期中考试 数学试卷（B卷） 姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每小题5分，共40分） 1．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，，则下列向量相等的是( ) A.与 B.与 C.与 D. 2．已知空间向量，，且，则( ) A.10 B.6 C.4 D. 3．过下列两点,的直线的斜率为( ) A.1 B.0 C.-1 D.不存在 4．圆的圆心到直线的距离为( ) A.2 B. C.1 D. 5．平面内点P到,的距离之和是10,则动点P的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 6．已知直线l的方向向量是,平面的一个法向量是,则l与的位置关系是( ) A. B. C.l与相交但不垂直 D.或 7．已知圆：与圆：外切，则r的值为( ) A．1 B．5 C．9 D．21 8．已知直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9．已知的三个顶点,,,则下列说法正确的是( ) A.直线AC的斜率为 B.直线AB的倾斜角为锐角 C.BC边的中点坐标为 D.BC边上的中线所在的直线方程为 10．已知圆与直线,下列选项正确的是( ) A.圆的圆心坐标为 B.直线过定点 C.直线与圆相交且所截最短弦长为 D.直线与圆可以相离 11．如图,在正方体中,E,F分别为的中点,则( ) A. B.平面 C.平面 D.直线DF与直线CE所成角的余弦值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知直线，直线．若，则实数a的值为______． 13．方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是__________. 14．欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线.已知，，，且为圆内接三角形，则的欧拉线方程为______. 四、解答题（共77分） 15．（13分）求满足题意的直线方程: （1）求过点,斜率是直线的斜率的的直线方程; （2）求过点,且在x轴上的截距等于在y轴上截距的直线方程. 16．（15分）已知圆C上有两个点，，且AB为直径. （1）求圆C的方程； （2）已知，求过点P且与圆C相切的直线方程. 17．（15分）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 18．（17分）如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线，所成角的余弦值. 19．（17分）如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,E是的中点,作交于点F. （1）求证：平面; （2）求平面与平面的夹角的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$