九年级数学第三次月考卷（北京专用，人教版九年级上册第二十一章-第二十五章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章16%、第二十二章22%、第二十三章24%、第二十四章27%、第二十五章11%。 5．难度系数：0.75。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．该图形是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意. 故选：A． 2．一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（    ） A．3，-6，-1 B．3，-6，1 C．3，6，1 D．3，6，-1 【答案】B 【详解】一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3，-6，1． 故选：B． 3．下列事件为必然事件的是（    ） A．小波参加本次数学考试，成绩是100分 B．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻 C．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 D．某射击运动员射靶一次，正中靶心 【答案】C 【详解】解：A、小波参加本次数学考试，成绩是100分是随机事件，故A不符合题意； B、打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻是随机事件，故B不符合题意； C、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球是必然事件，故C符合题意； D、某射击运动射靶一次，正中靶心是随机事件，故D不符合题意. 故选：C． 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，把代入方程得，， 解得，， ∴， 故选：D ． 5．如图，在中，点是优弧上一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．AD平分 【答案】B 【详解】解： A、由旋转的性质可知：，故A正确，不符合题意； B、由绕旋转任意角度得到， 只是特殊情况，故B错误，符合题意； C、，， ，， ，故C正确，不符合题意； D、过分别作的垂线，垂直分别是， ，，； ，， ， 平分，故D正确，不符合题意. 故选：B． 7．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误； 由图可知，用计算机模拟实验，当投掷次数为1000时，则“钉尖向上”的频率是0.620，由此可得当投掷次数为1000时，则“钉尖向上”的频率在0.620左右，但不代表还是0.620，则“钉尖向上”的情况不一定高于500次，故④错误，不符合题意． 合理的有②． 故选：B． 8．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：∵，是的切线，切点分别是，， ∴， ∵、是的切线，切点是D，交，于点，， ∴，， ∵的周长为4，即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得： ， ∴抛物线的顶点坐标为：． 故答案为：. 10．如图所示，二次函数图象与一次函数的图象交于两点．当时，自变量的取值范围 ． 【答案】或 【详解】两个函数的图象交于两点， 当时，自变量的取值范围是：或， 故答案为：或． 11．如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为 ． 【答案】/72 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，设交于点， 是直径，丄， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．若关于的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】1 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴，且， 解得：， 故答案为：1． 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为， 故答案为：． 15．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量/升 2 3 4 盒子单价/元 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为 元； （2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 ．（写出一种即可） 【答案】 4，4，2 【详解】（1）购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3， 则购买费用为：（元）， 故答案为：； （2）设购买A种型号盒子x个，购买B种型号盒子y个，购买C种盒子型号z个， 根据题意得：， ①当时，， ∵x，y，z都为正整数， ∴时，，（不符合题意舍去）， ②当时，， ∵x，y，z都为正整数， ∴时，， 综合所述，购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为4，4，2． 故答案为：4，4，2． 16．如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 【答案】5 【详解】如图，延长交于E，连接，设，则，， ∵劣弧沿弦折叠交于D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴的半径为5， 故答案为5． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（6分）（1）解方程：； （2）解方程． 【详解】解：（1）两边同时加5得，x2-6x+9=5， 配方得（x-3）2=5， 开方得x-3=±， ∴x1=，x2=； ………………………………………………………………3分 （2）提公因式得（x-3）（2x-1）=0， ∴x-3=0或2x-1=0， ∴x1=3，x2=． ……………………………………………………………………6分 18．（4分）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， …………………………………………………………1分 ， ………………………………2分 ． ……………………………………………4分 19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋ax＋b经过点A（－2，0），B（－1，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为C，连接OB、OC、BC，直接写出△BOC的面积． 【详解】解：(1) 将点A(－2，0)，B(－1，3)代入解析式中： ，解得， 故二次函数解析式为：； ……………………………………………………………3分 (2)∵，∴抛物线的顶点C的坐标为(-3，-1)， 连接OB、OC、BC，如下图所示： ∵OC²=1²+3²=10，OB²=1²+3²=10，BC²=(-1+3)²+(3+1)²=4+16=20， 即：OC²+OB²=BC²， ∴△OBC为等腰直角三角形，∠BOC=90°， ∴, 故答案为：． …………………………………………………………………5分 20．（4分）如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接． (1)判断的形状，并证明； (2)若，则的面积为 ． 【详解】（1）是等腰直角三角形． 证明：在正方形中，，． ∵ F落在边的延长线上， ∴ ．          ∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F， ∴． ∴， ∴． ∵ ， ∴，即． ∴是等腰直角三角形． …………………………………………………………………………2分 （2）∵是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 故答案为： …………………………………………………………4分 21．（5分）如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、．    (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：是的切线， ， ， ， ， ， ， ，即是的平分线； ……………………………………………………3分 （2）解：设的半径为，则， 在中，， 即， 解得，， 则． …………………………………………………………………………5分 22．（5分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【详解】（1）解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； ……………………………2分 （2）解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．…………………………………………………5分 23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到，将右平移6个单位，再向上平移2个单位得到．    (1)画出和； (2)经旋转后点A的对应点分别为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，，的坐标； (3)若直接旋转得到，则旋转点M的坐标是 ． 【详解】（1）∵，，，旋转后三角形位于第三象限，横坐标，纵坐标都是负的， ∴，，， 根据右加上加，得，，，画图如下：    则和即为所求．………………………………………2分 （2）根据题意，得，，，．………………………4分 （3）设， ∵，，，，， ∴ 解得， 故点， 故绕点逆时针旋转得到．……………………………………………6分 24．（6分）已知二次函数． (1)求该二次函数的对称轴及顶点坐标； (2)点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得，求的取值范围． 【详解】（1）解：， 该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； ………………………………………2分 （2）解：， ，二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线， ， 当时，此时在二次函数对称轴的左侧，随的增大而增大， ， 点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得， ， ， 无解，不符合题意； 当时，，此时，故不符合题意； 当时，当时，有最大值，最大值为， 点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得， ， 解得：， 综上所述，点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得，的取值范围为． ………………………………………………………………………………6分 25．（6分）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米．    (1)如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 【详解】（1）由题意得，抛物线的对称轴为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点， 当时，， 故答案为：3； ………………………………………………………………2分 （2）设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，（米）， ∴点M到地面的距离为2.25米． ……………………………………………………………………6分 26．（7分）如图，内接于，为的直径，为的弦，与交于点，若；延长至，使． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：为的直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， 为的直径， 与相切； ………………………………………………………………………………3分 （2）解：如图，连接， ， ， ， 由（1）可得，， ， ， ， ， ，， 为的直径， ， 设，则， 在中，，， ， ， 解得：， ， 在中，，， ． ………………………………………………………………………………7分 27．（7分）把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，连接DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN． （1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是： ； （2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长． 【详解】（1）如图，连接 四边形是正方形，是等腰直角三角形 ， 即 ， 分别是的中点，是直角三角形， ， ， 设，则 即 故答案为：， ……………………………………………………………2分 （2）如图，连接， 四边形是正方形，是等腰直角三角形 ， 即 ， 分别是的中点，是直角三角形， ， ， 设，则 即 ………………………………………………………………………………5分 （3）如图，连接，以为半径，为圆心，作 根据题意，点在当为的切线时，即为到的距离，此时即为点B到直线 DF 的距离最大， , 在中， …………………………………………………………7分 28．（7分）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：记点到轴的距离为，到轴的距离为，若，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”．特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为． 例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“引力值”为．    (1)①点的“引力值”为 ； ②若点的“引力值”为，则的值为 ； (2)若点在直线上，且点的“引力值”为2，求点的坐标； (3)已知点是以为圆心，半径为的圆上的一个动点，直接写出点的“引力值”的取值范围． 【详解】（1）解：①∵点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“引力值”为1． 故答案为：1 ………………………………………………………………………………1分 ②∵点的“引力值”为2，，则，； 故答案为： ………………………………………………………………………………2分 （2）设点的坐标为， 由于点的“引力值”为2，则或，即，或， 当时，，此时点的“引力值”为0，舍去； 当时，，此时点坐标为； 当时，解得，此时点的“引力值”为1，舍去； 当时，，，此时点坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； ………………………………………………………5分 （3）如图，过分别作、轴的垂线，分别交于和，交轴于， ， ， ∴点的“引力值”最小为， 设，过作于， 当时，点的“引力值”最大， ，，， 由勾股定理得：， ， ， 解得： ∴或 ∴点的“引力值”的取值范围是． ………………………………………………………………………………7分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级数学第三次月考卷 数学答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（4 分） 19．（5 分） 20．（4 分） 21．（6 分） 22．（5 分） 23．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8[A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9．______________ 10．______________11．______________12．______________ 13．______________14．______________15．______________16．______________ 三、解答题：本题共 12 小题，共 68分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（6 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（6 分） 25．（6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（7 分） 27．（7 分） 28．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章16%、第二十二章22%、第二十三章24%、第二十四章27%、第二十五章11%。 5．难度系数：0.75。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（    ） A．3，-6，-1 B．3，-6，1 C．3，6，1 D．3，6，-1 3．下列事件为必然事件的是（    ） A．小波参加本次数学考试，成绩是100分 B．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻 C．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 D．某射击运动员射靶一次，正中靶心 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点是优弧上一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．AD平分 7．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是 ． 10．如图所示，二次函数图象与一次函数的图象交于两点．当时，自变量的取值范围 ． 11．如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为 ． 12．如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于 ． 13．若关于的一元二次方程有一个根为0，则 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 15．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量/升 2 3 4 盒子单价/元 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为 元； （2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 ．（写出一种即可） 16．如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（6分）（1）解方程：； （2）解方程． 18．（4分）已知是方程的一个根，求代数式的值． 19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋ax＋b经过点A（－2，0），B（－1，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为C，连接OB、OC、BC，直接写出△BOC的面积． 20．（4分）如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接． (1)判断的形状，并证明； (2)若，则的面积为 ． 21．（5分）如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 22．（5分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到，将右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． (1)画出和； (2)经旋转后点A的对应点分别为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，，的坐标； (3)若直接旋转得到，则旋转点M的坐标是 ． 24．（6分）已知二次函数． (1)求该二次函数的对称轴及顶点坐标； (2)点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得，求的取值范围． 25．（6分）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米． (1)如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 26．（7分）如图，内接于，为的直径，为的弦，与交于点，若；延长至，使． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 27．（7分）把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，连接DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN． （1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是： ； （2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长． 28．（7分）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：记点到轴的距离为，到轴的距离为，若，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”．特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为． 例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“引力值”为． (1)①点的“引力值”为 ； ②若点的“引力值”为，则的值为 ； (2)若点在直线上，且点的“引力值”为2，求点的坐标； (3)已知点是以为圆心，半径为的圆上的一个动点，直接写出点的“引力值”的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D D B B B 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9． 10．或 11．/72度 12． 13．1 14． 15． 4，4，2 16．5 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（6分）（1） 【详解】解：（1）两边同时加5得，x2-6x+9=5， 配方得（x-3）2=5， 开方得x-3=±， ∴x1=，x2=； ………………………………………………………………3分 （2）提公因式得（x-3）（2x-1）=0， ∴x-3=0或2x-1=0， ∴x1=3，x2=． ……………………………………………………………………6分 18．（4分） 【详解】解：是方程的一个根， ， …………………………………………………………1分 ， ………………………………2分 ． ……………………………………………4分 19．（5分） 【详解】解：(1) 将点A(－2，0)，B(－1，3)代入解析式中： ，解得， 故二次函数解析式为：； ……………………………………………………………3分 (2)∵，∴抛物线的顶点C的坐标为(-3，-1)， 连接OB、OC、BC，如下图所示： ∵OC²=1²+3²=10，OB²=1²+3²=10，BC²=(-1+3)²+(3+1)²=4+16=20， 即：OC²+OB²=BC²， ∴△OBC为等腰直角三角形，∠BOC=90°， ∴, 故答案为：． …………………………………………………………………5分 20．（4分） 【详解】（1）是等腰直角三角形． 证明：在正方形中，，． ∵ F落在边的延长线上， ∴ ．          ∵ 将点E绕点D逆时针旋转得到点F， ∴． ∴， ∴． ∵ ， ∴，即． ∴是等腰直角三角形． …………………………………………………………………………2分 （2）∵是等腰直角三角形， ∴， ，， ∴， ∴的面积为． 故答案为： …………………………………………………………4分 21．（5分） 【详解】（1）证明：是的切线， ， ， ， ， ， ， ，即是的平分线； ……………………………………………………3分 （2）解：设的半径为，则， 在中，， 即， 解得，， 则． …………………………………………………………………………5分 22．（5分） 【详解】（1）解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； ……………………………2分 （2）解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为．…………………………………………………5分 23．（6分） 【详解】（1）∵，，，旋转后三角形位于第三象限，横坐标，纵坐标都是负的， ∴，，， 根据右加上加，得，，，画图如下：    则和即为所求．………………………………………2分 （2）根据题意，得，，，．………………………4分 （3）设， ∵，，，，， ∴ 解得， 故点， 故绕点逆时针旋转得到．……………………………………………6分 24．（6分） 【详解】（1）解：， 该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为； ………………………………………2分 （2）解：， ，二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线， ， 当时，此时在二次函数对称轴的左侧，随的增大而增大， ， 点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得， ， ， 无解，不符合题意； 当时，，此时，故不符合题意； 当时，当时，有最大值，最大值为， 点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得， ， 解得：， 综上所述，点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得，的取值范围为． ………………………………………………………………………………6分 25．（6分） 【详解】（1）由题意得，抛物线的对称轴为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， ∴点， 当时，， 故答案为：3； ………………………………………………………………2分 （2）设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得， 解得， ∴抛物线的表达式为， 当时，（米）， ∴点M到地面的距离为2.25米． ……………………………………………………………………6分 26．（7分） 【详解】（1）证明：为的直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即， 为的直径， 与相切； ………………………………………………………………………………3分 （2）解：如图，连接， ， ， ， 由（1）可得，， ， ， ， ， ，， 为的直径， ， 设，则， 在中，，， ， ， 解得：， ， 在中，，， ． ………………………………………………………………………………7分 27．（7分） 【详解】（1）如图，连接 四边形是正方形，是等腰直角三角形 ， 即 ， 分别是的中点，是直角三角形， ， ， 设，则 即 故答案为：， ……………………………………………………………2分 （2）如图，连接， 四边形是正方形，是等腰直角三角形 ， 即 ， 分别是的中点，是直角三角形， ， ， 设，则 即 ………………………………………………………………………………5分 （3）如图，连接，以为半径，为圆心，作 根据题意，点在当为的切线时，即为到的距离，此时即为点B到直线 DF 的距离最大， , 在中， …………………………………………………………7分 28．（7分） 【详解】（1）解：①∵点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“引力值”为1． 故答案为：1 ………………………………………………………………………………1分 ②∵点的“引力值”为2，，则，； 故答案为： ………………………………………………………………………………2分 （2）设点的坐标为， 由于点的“引力值”为2，则或，即，或， 当时，，此时点的“引力值”为0，舍去； 当时，，此时点坐标为； 当时，解得，此时点的“引力值”为1，舍去； 当时，，，此时点坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； ………………………………………………………5分 （3）如图，过分别作、轴的垂线，分别交于和，交轴于， ， ， ∴点的“引力值”最小为， 设，过作于， 当时，点的“引力值”最大， ，，， 由勾股定理得：， ，， 解得： ∴或 ∴点的“引力值”的取值范围是． ………………………………………………………………………………7分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2024-2025学年九年级数学第三次月考卷 数学答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 2 分，共 16 分） 9． ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． ______________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题：本题共 12 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 4 分） 19 ．（ 5 分） 20 ．（ 4 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 21 ．（ 6 分） 22． （ 5 分） 23．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ．（ 6 分） 25 ．（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26．（ 7 分） 27．（ 7 分） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：人教版九年级上册第二十一章16%、第二十二章22%、第二十三章24%、第二十四章27%、第二十五章11%。 5．难度系数：0.75。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（    ） A．3，-6，-1 B．3，-6，1 C．3，6，1 D．3，6，-1 3．下列事件为必然事件的是（    ） A．小波参加本次数学考试，成绩是100分 B．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻 C．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 D．某射击运动员射靶一次，正中靶心 4．已知是关于的方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点是优弧上一点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点为点，的延长线交BC于点D，连接AD．则下列说法错误的是（ ） A． B． C． D．AD平分 7．如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是0.620； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的情况一定高于500次． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 8．如图，过点作的切线，，切点分别是，，连接．过上一点作的切线，交，于点，．若，的周长为4，则的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标是 ． 10．如图所示，二次函数图象与一次函数的图象交于两点．当时，自变量的取值范围 ． 11．如图，正五边形内接于，点F是上的动点，则∠AFC的度数为 ． 12．如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于 ． 13．若关于的一元二次方程有一个根为0，则 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 15．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如下表所示： 盒子型号 A B C 盒子容量/升 2 3 4 盒子单价/元 5 6 9 其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料． （1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，4，3，则购买费用为 元； （2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为 ．（写出一种即可） 16．如图，是的弦，，垂足为C，将劣弧沿弦折叠交于点D，，若，则的半径为 ． 三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17．（6分）（1）解方程：； （2）解方程． 18．（4分）已知是方程的一个根，求代数式的值． 19．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋ax＋b经过点A（－2，0），B（－1，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为C，连接OB、OC、BC，直接写出△BOC的面积． 20．（4分）如图，在正方形中，点E在边上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边的延长线上，连接． (1)判断的形状，并证明； (2)若，则的面积为 ． 21．（5分）如图，是的直径，点在射线上，与相切于点，过点作，交的延长线于点，连接、． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的长． 22．（5分）人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ； (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到，将右平移6个单位，再向上平移2个单位得到． (1)画出和； (2)经旋转后点A的对应点分别为，经平移后点A的对应点为，是的边上一点，经旋转、平移后点P的对应点为，请写出点，，，的坐标； (3)若直接旋转得到，则旋转点M的坐标是 ． 24．（6分）已知二次函数． (1)求该二次函数的对称轴及顶点坐标； (2)点在函数图象上，若当时，至少存在一个点，使得，求的取值范围． 25．（6分）在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，如图1所示，他在会场的两墙、之间悬挂一条近似抛物线，如图2所示，已知墙与等高，且、之间的水平距离为8米． (1)如图2，两墙、的高度是 米，抛物线的顶点坐标为 ； (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙距离为3米，使抛物线的最低点距墙的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离． 26．（7分）如图，内接于，为的直径，为的弦，与交于点，若；延长至，使． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 27．（7分）把一个含45°角的直角三角板 BEF 和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，连接DF，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN． （1）如图 1，点E，F分别在正方形的边CB，AB上，则MA，MN的数量关系是 ；位置关系是： ； （2）如图 2，点E，F分别在正方形的边CB，AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； （3）将直角三角板BEF绕点B旋转一周，若正方形ABCD的边长为6，含45°角的直角三角板 BEF 的直角边长为 4，直接写出旋转过程中点B到直线 DF 的距离最大时线段DF的长． 28．（7分）对于平面直角坐标系中的点，给出如下定义：记点到轴的距离为，到轴的距离为，若，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”．特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为． 例如，点到轴的距离为，到轴的距离为，因为，所以点的“引力值”为． (1)①点的“引力值”为 ； ②若点的“引力值”为，则的值为 ； (2)若点在直线上，且点的“引力值”为2，求点的坐标； (3)已知点是以为圆心，半径为的圆上的一个动点，直接写出点的“引力值”的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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